湖北省武汉市2012-2013学年高二数学下学期期中联考试题 理 2

湖北省武汉市2012-2013学年高二数学下学期期中联考试题 理

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

2

1．经过抛物线x

1

y的焦点,且斜率为 1的直线方程为（ ） 2

C．4x 4y 1 0 D．8x 8y 1 0

A．16x 16y 1 0 B．2x 2y 1 0

2．若命题p的否命题是命题q，命题q的逆否命题是命题r，则r是p的（ ）

A.逆否命题 B.否命题 C.逆命题 D.原命题 3．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是（ ）

A． 双曲线 B 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线 4．若抛物线y2 8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（ ） A．

(7, B

。(14, C

。(7,

D ( 7,

5．直线y x b与抛物线x2 2y交于A、B两点（异于坐标原点O），且OA OB，则b的

值为（ ）

A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 6．若A(0,2,

1955

)，B(1, 1,)，C( 2,1,)是平面 内的三点，设平面 的法向量888

a (x,y,z)，则x:y:z ( )

A 2:3:( 4) B 1:1:1 －7．有以下命题：

2

①命题“ x R，使x x 1 0”的否定是“ x R, x x 1 0”；

1

:1:1 D 3:2:4 2

2

②椭圆的离心率为e，则e越接近于1，椭圆越扁；e越接近于0，椭圆越圆； ③不是奇函数的函数的图像不关于原点对称. 其中，错误的命题的个数是（ ） ．．

A．3 B．2

C．1

D．0

8．“cos 0”是“x2 y2cos 1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）条件 A．充分而非必要

B．充要

C．必要而非充分 D．既非充分又非必要

x2y2

1的实轴在y轴上且焦距为8，9．已知双曲线则双曲线的渐近线的方程为（ ） 10 mm 2

A

．y

B

．y

2

2

x 3

C．y 3x

D．y

1x3

10．已知圆O :(x 3) y 4的圆心为O ，点A 3,0 ，M是圆上任意一点，线段AM的中垂线l和直线O M相交于点Q，则点Q的轨迹方程为（ ）

- 1 -

x2y2x222

y 1 B.x 1 x 0 C. y2 1 x 0 A．888

D.x

2

y

1 8

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置．．．．．．．上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分

11．顶点在原点，对称轴为x轴，且过点( 4,4)的抛物线的标准方程是 . 12.命题p: 2 则对复合命题的下述判断：①p或q为真；②p或1，2，3 ，q: 2 1，2，3 ，是 .

q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．其中判断正确的序号

x2

y2 1的右焦点重合,则p的值等于

13．若抛物线y 2px的焦点与双曲线3

2

PF1 PF2，则

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）写出下列命题的非命题

2

（1）p：方程x x 6 0的解是x 3；

（2）q：四边相等的四边形是正方形；

（3）r：不论m取何实数，方程x x m 0必有实数根； （4）s：存在一个实数x，使得x x 1 0.

17. （本小题满分12分）已知曲线

x2a

2

2

2

y2b

2

1(a 0,b 0)的离心率e

2，直线l过A3

a,0 、

B 0, b 两点，原点O到l的距离是

（Ⅰ）求双曲线的方程；

. 2

（Ⅱ）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若OM ON 23，求直线m的方程.

- 2 -

18．（本小题满分12分）

如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，

PAD 90o，且PA AD,E、F分别是线段PA、CD的中点．

（Ⅰ）求证：PA 平面ABCD；

（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角 的正切； （Ⅲ）求异面直线EF与BD所成的角 的余弦．

19．（本小题满分12分）已知命题p: x R,x2 a 0，命题q: x R,x 2ax 2 a 0，

命题"p或q"为假，求实数a的取值范围.

2

- 3 -

20．（本小题满分13分）已知直线l:x my 4(m R)与x轴交于点P，交抛物线

y2 2ax(a 0)于A,B两点，点Q是点P关于坐标原点O

的对称点，记直线AQ,BQ的斜率分别为k1,k2. （Ⅰ）若P为抛物线的焦点，求a的值，并确定抛物线的准线

与以AB为直径的圆的位置关系； （Ⅱ）试证明：k1 k2为定值.

21. （本题满分14分）

如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1 2AB 2AD，且

PC1 CC1(0 1)．

（I）求证：对任意0 1，总有AP BD； （II）若

1

，求二面角P AB1 B的余弦值； 3

（III）是否存在 ，使得AP在平面B1AC上的射影平分 B1AC？若存在, 求出 的值,

若不存在，说明理由．

武昌区高中二片学校高二年级期中联考 数学（理科）参考答案

2分

- 4 -

又e c 23 b 1,a 3 4分

a

3

x2

故所求双曲线方程为 y2 1 5分

3

（Ⅱ）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx－1， 6分

y kx 1

则点M、N坐标（x1,y1）、（x2,y2）是方程组 2 的解，

x2

y 1 3

消去y，得(1 3k2)x2 6kx 6 0 ① 8分

依设，1 3k2 0,由根与系数关系，知x1 x2

6k6

,x1x2 2

2

3k 13k 1

(x1,y1) (x2,y2) x1x2 y1y2 x1x2 (kx1 1)(kx2 1)

22

=(1 k2)x1x2 k(x1 x2) 1=6(1 k) 6k 1=

22

63k2 1

3k 13k 1

1 10分

23 ∴

63k2 1

1=－23，解得k=±

11

，当k=±时，方程①有两个不等22

的实数根

故直线l方程为y 1x 1,或y 1x 1 12分

22

18、解（Ⅰ）证明：由已知PA AD，AB AD，

所以 PAB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角， 1分 由已知:平面PAD⊥平面ABCD，得PA AB 1分 又AB 平面ABCD,AD 平面ABCD,且AB与AD相交

∴PA 平面ABCD． 2分 （Ⅱ）连接AF，则 AFE即为 ， 4分

故异面直线EF与BD所成的角的余弦为

． 12分 6

- 5 -

设交点A(x1,y1),B(x2,y2)，

x1 x2y1 y2

,)，设点M到抛物线 22

x x2

4， (4分) 的准线的距离为d，则d 1

2

x 4 x2 4x1 x21

r AB 1 4 d，所以抛物线的准线与以AB为直径的圆相

222

它们的中点M(

切. (6分) （Ⅱ）由直线l:x my 4得点P(4,0), Q( 4,0)，将直线l:x my 4与抛物线的方程 y2 2ax联立得y2 2amy 8a 0 0总成立，

y1 y2 2am

y1y2 8a

k1 k2

( ) (8分)

y1yy(x 4) y2(x1 4)

2 12

x1 4x2 4(x1 4)(x2 4)

y1(my2 8) y2(my1 8)

(10分)

(x1 4)(x2 4)

2my1y2 8(y1 y2)

，代入( )得，k1 k2 0，故k1 k2为定值. (13分)

(x1 4)(x2 4)

k1 k2

- 6 -

又取平面ABB1的法向量为m (1,0,0)，且设二面角P AB1 B的大小为 ，

所以

cos

2

（９分） 7

（III） 假设存在实数 (0 1)满足条件，

由题结合图形，只需满足AP分别与AC、AB1所成的角相等，

即

有

22

5-4 ，

解得

上

(0,1)．所以存在满足题意的实数

，使得AP在平面B1AC

4的射影平分 B1AC （14分）

注意：本题若用几何法作答，请酌情分步给分。

- 7 -

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