(完整版)高中物理小船过河问题含答案(2)

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小船过河问题

轮船渡河问题：

（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间

θυυsin 1船d d t ==

，显然，当?=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为v

d ，合运动沿v 的方向进行。 2．位移最小

若水船υυ>

结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船水υυθ=cos 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，

设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水船

v v =θcos 船头与河岸的夹角应为

2

2 / 9 水船v v arccos =θ

，船沿河漂下的最短距离为：

θ

θsin )cos (min 船船水v d v v x ?-= 此时渡河的最短位移：船

水v dv d s ==θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问：

(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少?

(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?

★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间 s s d

t 2030

602===υ (2)渡河航程最短有两种情况：

①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽； ②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2

设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成θ角，则

2

163cos 12===υυθ，ο60=θ 最短行程，m m d s 1202

660cos ===θ

小船的船头与上游河岸成600角时，渡河的最短航程为120m 。

技巧点拔：对第一小问比较容易理解，但对第二小问却不容易理解，这里涉及到运用数学知识解决物理问题，需要大家有较好的应用能力，这也是教学大纲中要求培养的五种能力之一。

【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( C )

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A ．21222

υ

υυ-d B ．0 C ．21υυd D ．12υυd

★解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为v 2，到达江岸所用时间t=2

v d ；沿江岸方向的运动速度是水速v 1在相同的时间内，被水冲下的距离，即为登陆点距离0点距离211v dv t v s =

=。答案：C 【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ） (A) 21222

T T T - (B) 12T T (C) 2

2211T T T - (D) 21T T ★解析：设船速为1v ，水速为2v ，河宽为d ，则由题意可知 ： 1

1v d T =

① 当此人用最短位移过河时，即合速度v 方向应垂直于河岸，如图所示，则222

12v v d

T -=② 联立①②式可得：1222121v v v T T -= ，进一步得21

22221T T T v v -= 【例题】小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，d

v k kx v 04==，水，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v ，则下列说法中正确的是（ A ）

A 、小船渡河的轨迹为曲线

B 、小船到达离河岸2

d 处，船渡河的速度为02v C 、小船渡河时的轨迹为直线

D 、小船到达离河岸4/3d 处，船的渡河速度为010v

高中物理-渡河模型习题讲解

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【模型概述】

在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。小船渡河和斜拉船等问题是常见的运动的合成与分解的典型问题

【模型讲解】

一、速度的分解要从实际情况出发

例1. 如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v 拉水平面上的物体A ，当绳与水平方向成θ角时，求物体A 的速度。

图1

解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A 的两个分运动。物体A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于01v v =；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就可以将A v 按图示方向进行分解。所以1v 及2v 实际上就是A v 的两个分速度，如图1所示，由此可得θ

θcos cos 01v v v A ==。 解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。

设船在θ角位置经△t 时间向左行驶△x 距离，滑轮右侧的绳长缩短△L ，如图2所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有θcos x L ?=?，两边同除以△t 得：θcos t

x t L ??=?? 即收绳速率θcos 0A v v =，因此船的速率为：

θ

cos

v

v

A

=

图2

总结：“微元法”。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。

解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子

的拉力为F，则对绳子做功的功率为

1

Fv

P=；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为θ

cos

2A

Fv

P=，因为

2

1

P

P=所以θ

cos

v

v

A

=。

评点：①在上述问题中，若不对物体A的运动认真分析，就很容易得出θ

cos

v

v

A

=的

错误结果；②当物体A向左移动，θ将逐渐变大，

A

v逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体A却在做变速运动。

总结：解题流程：①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）；

②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；③确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；④作出速度分解的示意图，寻找速度关系。

二、拉力为变力，求解做功要正确理解

例2. 如图3所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始时人在滑轮的正下方，绳下端A点离滑轮的距离为H。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到B点位置时，人的速度为v，绳与水平面夹角为θ。问在这个过程中，人对重物做了多少功？

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图3

解析：人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是做匀变速运动，故无法用θcos Fs W =求对重物做的功，需从动能定理的角度来分析求解。

当绳下端由A 点移到B 点时，重物上升的高度为：

θ

θθsin )sin 1(sin -=-=H H H h 重力做功的数值为：

θ

θsin )sin 1(-=mgH W G 当绳在B 点实际水平速度为v 时，v 可以分解为沿绳斜向下的分速度1v 和绕定滑轮逆时针转动的分速度2v ，其中沿绳斜向下的分速度1v 和重物上升速度的大小是一致的，从图中可看出：

θcos 1v v =

以重物为研究对象，根据动能定理得：

02

121-=-mv W W G 人 2

cos sin )sin 1(22θθθmv mgH W +-=人

【实际应用】

小船渡河

两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。

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两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。

例3. 一条宽度为L 的河，水流速度为水v ，已知船在静水中速度为船v ，那么：

（1）怎样渡河时间最短？

（2）若水船v v >，怎样渡河位移最小？

（3）若水船v v <，怎样渡河船漂下的距离最短？

解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图4所示。设船头斜向上游与河岸成任意角θ。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为θsin 1船v v =，渡河所需要的时间为

θsin 1

船v L v L t ==，可以看出：L 、v 船一定时，t 随sin θ增大而减小；当?=90θ时，1sin =θ（最大）。所以，船头与河岸垂直船v L t =

m in 。

图4

（2）如图5所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L ，必须使船的合速度v 的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有水船v v =θcos ，即船水

v v arccos =θ。

图5

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因为1cos 0≤≤θ，所以只有在水船v v >时，船才有可能垂直河岸渡河。

（3）若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？

如图6所示，设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水船

v v =θcos

图6

船头与河岸的夹角应为水船v v arccos =θ，船沿河漂下的最短距离为：

θ

θsin )cos (min 船船水v L v v x ?-= 此时渡河的最短位移：船

水v Lv L s ==θcos 误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。

【模型要点】

处理“速度关联类问题”时，必须要明白“分运动”与“合运动”的关系：

（1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（分分、s v ）互不干扰。

（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。

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（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。 功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程，尤其是变力做功中更能体现出其空间积累的过程。所以在处理变力功可采用动能定律、功能原理、图象法、平均法等。

【模型演练】

（2005祁东联考）小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，d

v k kx v 04==，水，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v ，则下列说法中正确的是（ ）

A. 小船渡河的轨迹为曲线

B. 小船到达离河岸2

d 处，船渡河的速度为02v C. 小船渡河时的轨迹为直线

D. 小船到达离河岸4/3d 处，船的渡河速度为010v

答案：A

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