初中数学一元二次方程根与系数的关系专项训练题二（附答案详解）

初中数学一元二次方程根与系数的关系专项训练题二（附答案详解）

1．阅读材料：如果，是一元二次方程

的两根，那么有

，

．这

是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例，是方程的两根，求∵

，

的值．解法可以这样：

，则

．

请你根据以上解法解答下题： 已知，是方程

的值； 的值．

试求

2．细心的小明发现，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根与系数之间的“秘密”关系． （1）当x＝1时有a+b+c＝0，当x＝﹣1时有a﹣b+c＝0．若9a+c＝3b，求x； （2）若2a+b＝0，3a+c＝0，写出满足条件的一个一元二次方程，并求另一个根；

2

（3）当老师写出方程2x﹣3x﹣1＝0，要求不解方程判断根的情况时，小明立即回答，有

的两根，求：

的值．

两个不相等的实数根．据此，你能根据一元二次方程系数a、b、c的符号以及相互之间的数

2

量关系，写出一些关于一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）根与系数之间的规律吗？请写一

写（至少两条）．

3．法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理.它的内容如下：在一元二次方程系：

，

.

，

，那

中，它的两根、有如下关

韦达定理还有逆定理，它的内容如下：如果两数和满足如下关系：么这两个数和是方程

两数的和积关系构造一元二次方程.例如：的两根.

请应用上述材料解决以下问题： （1）已知

是两个不相等的实数，且满足

，

，，求

，求的值.

的根.通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用

，

，那么和是方程

的值.

（2）已知实数，满足

4．设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)(x1－x2)2； (2)(x1＋

?b?b2?4acx1,x2?,2a5．已知一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）中的两根为请你计算

11)(x2＋)． x2x1x1＋x2=____________， x1·x2=____________． 并由此结论解决下面的问题：

（1）方程2x2＋3x－5=0的两根之和为______，两根之积为______．

（2）方程2x2＋mx＋n=0的两根之和为4，两根之积为－3，则m=______，n=______． （3）若方程x2－4x＋3k=0的一个根为2，则另一根为______．

（4）已知x1，x2是方程3x2－2x－2=0的两根，不解方程，用根与系数的关系计算代数式

11xx?12的值．

6．请阅读下列材料：若程的两个根数关系定理． 如果设二次函数

和系数

是关于的一元二次方程有如下关系：

的两个根，则方

． 我们把它们称为根与系

的图象与x轴的两个交点为．利用根与

系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：

请你参考以上定理和结论，解答下列问题： 设二次函数为，显然（1）当（2）当

的图象与x轴的两个交点为

为等腰三角形。 为等腰直角三角形时，求为等边三角形时，求

，试问如

，抛物线的顶点

（3）设抛物线

何平移此抛物线，才能使

7．阅读解答：

与轴的两个交点为、，顶点为，且

？

题目：已知方程x2+3x+1=0的两根为a，b，求

22

1×1=5＞0∴a≠b 解：①∵△=b﹣4ac=3﹣4×

的值．

②由一元二次方程根与系数关系得：a+b=﹣3，ab=1； ③∴

问题：上面的解题过程是否正确？若不正确，指出错在哪一步？写出正确的解题过程．

8．已知一元二次方程求关于的关系式； 若

，求方程的另一根；

的一根为．

求证：抛物线

与轴有两个交点．

9．已知关于x的一元二次方程mx?(m?1)x?1?0． （1）求证：这个一元二次方程总有两个实数根； （2）若x1，x2是关于

2x的一元二次方程mx2?(m?1)x?1?0的两根，且

x2x1??2x1x2?1，求m的值． x1x2

10．观察下列一组方程：

；

；

；

；

它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”． 若

也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；

请写出第n个方程和它的根．

答案：

1．(1)1;(2)5;(3) ±. 解：∴则

∵，是方程

，

， ；

；

）∵（x1-x2）2=5， ∴x1-x2=± ，

则x22-x12=-（x12-x22）=-（x1+x2）（x1-x2）=-1×（-1）×（±）=±．

22．（1）x＝﹣3（2）x-3x-4=0;x2＝4；（3）见解析.

的两根，

解：（1）∵9a+c＝3b， ∴9a﹣3b+c＝0， ∴x＝﹣3， （2）∵

②﹣①得：a﹣b+c＝0， ∴x＝﹣1，

2

符合条件的方程可以为：x﹣3x﹣4＝0，

（x﹣4）（x+1）＝0， x1＝4，x2＝﹣1，

2

（3）2x﹣3x﹣1＝0，

因为a＝2，c＝﹣1，可知：ac＜0， ∴△＝b2﹣4ac＞0，

根据一元二次方程系数a、b、c的符号以及相互之间的数量关系，有：①当a与c异号时，△＞0，方程有两个不相等的实根；

②设方程ax2+bx+c＝0的两根x1、x2，满足x1+x2＝，x1x2＝． 3．（1） （2）22或37

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