北京市丰台区2019届高三3月综合练习（一模）数学（文）试题

丰台区2019年高三年级第二学期综合练习（一）

数 学（文科）

2019. 03

（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。 2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求

的一项。

1．已知全集U?R，A?{x|x?1}，B?{x|x2?1}，那么(eUA)（A）{x|?1?x≤1} （C）{x|x??1} 2．复数z?

（B）{x|?1?x?1} （D）{x|x≤?1}

B等于

1的共轭复数是 1?i

11（A）?i22 （C）1?i

11（B）?i22 （D）1?i

3．设命题p：?x?R,sinx≤1，则?p为 （A）?x?R,sinx≥1 （C）?x?R,sinx?1

（B）?x0?R,sinx0≤1 （D）?x0?R,sinx0?1

4．执行如图所示的程序框图，如果输入的a?1，那么输出的S? （A）15 （C）?10

（B）6 （D）?21

5．已知两条直线l,m与两个平面?,?，下列命题正确的是

（A）若l∥?,l?m， 则m?? （B）若l??,l∥?， 则??? （C）若l∥?,m∥?， 则l∥m （D）若?∥?,m∥?，则m∥?

6．已知正△ABC的边长为4，点D为边BC的中点，点E满足AE?ED，那么EBEC的值为 （A）?k=1, S=0k < 5是S=S+ak2a= -ak=k+1否输出S结束开始输入a83

（B）?1

（C）1

（D）3

?1x?(2)?1,x?0,7．设函数f(x)??则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为

1?2?x,x≥0.（A）[?1,1]

（B）[?1,0)[1,??) （D）(??,?1][1,??)

（C）(??,?1](0,1]

8．某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：

记录时间 2019年1月1日 2019年1月2日 累计里程 平均耗电量 剩余续航里程 （单位：kW·h/公里） （单位：公里） （单位：公里）4000 4100 0.125 0.126 280 146 （注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量?累计耗电量剩余电量，剩余续航里程?）

平均耗电量累计里程下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是

（A）等于12.5 （C）等于12.6

（B）12.5到12.6之间 （D）大于12.6

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 x2y2?1的渐近线方程为____． 9．双曲线?169?3)，b?(?2,m)，且a∥b，那么m?____． 10．已知平面向量a?(1，11．直线y?kx?2与圆x2?y2?4相交于M,N两点，若|MN|=22，则k?____． 12．若存在x?[0,1]使不等式a≤x2?x成立，则实数a的取值范围是____．

?13．已知函数f(x)?cos(2x??)(????0)．

2①函数f(x)的最小正周期为____；

?4?②若函数f(x)在区间[,]上有且只有三个零点，则?的值是____．

3314．无穷数列?an?的前n项和为Sn，若对任意n?N*，Sn??1,2?．

①数列?an?的前三项可以为____； ②数列?an?中不同的项最多有____个.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15．（本小题13分）

已知?an?是公差不为0的等差数列，且满足a1?2，a1,a3,a7成等比数列． （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）设bn?an?2an，求数列?bn?的前n项和Sn．

16．（本小题13分）

3在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知cos2C??．

4（Ⅰ）求sinC；

（Ⅱ）当c?2a，且b?32时，求a．

17．（本小题13分）

随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务．在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．

（Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；

（Ⅱ）若从月平均收入薪资与月平均期望薪资之差高于1000元的城市中随机选择2座城市，求这2座城市的月平均期望薪资都低于8500元的概率．

18．（本小题14分）

三棱柱ABC?A1B1C1被平面A1B1C截去一部分后得到如图所示几何体，BB1?平面ABC，?ABC?90?，BC?BB1，E为棱B1C上的动点（不包含端点），平面ABE交A1C于点F．

（Ⅰ）求证：AB⊥平面B1BC； （Ⅱ）求证：EF∥AB；

（Ⅲ）试问是否存在点E，使得平面ABE⊥平面A1B1C？并说明理由．

A1B1EAC

19．（本小题13分）

x)?ex已知函数f(ax?x?alnx．

（Ⅰ）当a?0时，求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)在x?1处取得极大值，求实数a的取值范围．

20．（本小题14分）

已知椭圆W:x2?2y2?2，直线l1:y?kx?m(km?0)与椭圆W交于A,B两点，l2:y?kx?m与椭圆W交于C,D两点． （Ⅰ）求椭圆W的离心率；

（Ⅱ）证明：四边形ABCD不可能为矩形．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

B

直线

丰台区2018—2019学年度第二学期综合练习（一）

高三数学（文科）答案 2019.03

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 题号 答案 C A D C 5 B 6 B 7 D 8 D

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空3分，第二空2分）

3x 10．6 11．?1 4? 12．a≤0 13．?；? 14．1,1,0（答案不唯一）；4

69．y??三、解答题（共6小题，共80分） 15．（共13分）

解：（Ⅰ）设?an?的公差为d，因为a1,a3,a7成等比数列， 所以a3?a1a7.

所以(a1?2d)?a1(a1?6d). 所以4d2?2a1d?0. 由d?0，a1?2得d?1， 所以 an?n?1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn?an?2an?n?1?2n?1，

所以 Sn?[2?3?4?22?(n?1)]?(22?23?24??2n?1)

n(n?3)4(1?2n)??21?2 ?2n?2n2?3n?8?.

2 16．（共13分）

解：（Ⅰ）因为 cos2C??332，所以 1?2sinC??. 44

因为 0?C??14. ，所以 sinC?2414 4（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sinC?因为 ?ABC是锐角三角形， 所以 cosC?1?sin2C?2. 4因为 c?2a，

ac?， sinAsinC所以 sinA?52114,cosA?. sinC?28837. 8所以 sinB?sin[??(A?C)]?sin(A?C)?sinAcosC?cosAsinC?因为

ab?，b?32， sinAsinB所以 a?2.

17．（共13分） 解：（Ⅰ）设该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A，

15座城市中月平均收入薪资高于8500元的有6个，

所以 P(A)?62?. 155（Ⅱ）月平均收入薪资和月平均期望薪资之差高于1000元的城市有6个，

其中月平均期望薪资高于8500元的有1个，记为A；月平均期望薪资低于8500元的有5

个，记为B1，B2，B3，B4，B5. 选取两座城市所有可能为：

AB1，AB2，AB3，AB4，AB5， B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B2B3，B2B4，B2B5，B3B4，B3B5，B4B5，共15种；

其中2座城市的月平均期望薪资都低于8500元的有B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B2B3，

B2B4，B2B5，B3B4，B3B5，B4B5，共10种；

设2座城市的月平均期望薪资都低于8500元为事件B，

所以 P(B)?102?. 153 18．（共14分） 解：（Ⅰ）因为 BB1?平面ABC，AB?平面ABC，

所以

因为 所以 因为

BB1?AB. ?ABC?90?，

BC?AB.

BB1BC?B，B1B?平面B1BC，BC?平面B1BC，

所以 AB⊥平面B1BC.

（Ⅱ）在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB∥A1B1.

因为 AB?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C.

因为 AB?平面ABEF，平面ABEF平面A1B1C?EF， 所以 EF∥AB．

（Ⅲ）存在点E，当点E为B1C中点时，平面ABE⊥平面A1B1C．

因为 BC?BB1， 所以 BE?B1C.

因为 AB⊥平面B1BC，BE?平面B1BC， 所以 AB?BE. 因为 AB∥A1B1， 所以 BE?A1B1. 因为 A1B1ACFEBA1B1B1C?B1，

所以 BE⊥平面A1B1C. 因为 BE?平面ABE，

所以 平面ABE⊥平面A1B1C.

19．（共13分） 解：（Ⅰ）f(x)定义域为(0,??)，

ex当a?0时， f(x)?，

xxe(x?1)f'(x)?，

x2令f'(x)?0得x?1，令f'(x)?0得0?x?1． 所以 f(x)的增区间为(1,??)，减区间为(0,1).

(ex?a)(x?1)（Ⅱ）f'(x)?．

x2（1）当a≤e时，若x?(1,??)，则ex?a≥ex?e>0．

(ex?a)(x?1)?0， 此时f'(x)?x2函数f(x)在x?1处不可能取得极大值． （2）当a?e时，lna?1．

x f'(x) f(x) (0,1) + ↗ 1 0 极大值 (1,lna) - ↘ 函数f(x)在x?1处取得极大值． 综上可知，a的取值范围是(e,??).

20．（共14分）

?a2?2??a?2?2b?1解：（Ⅰ）由题知? 解得?. c?1???222a?b?c? 则e?c2?， a22. 2所以椭圆W的离心率为 （Ⅱ）由于两直线关于原点成中心对称且椭圆是关于原点的中心对称图形.

不妨设A?x1,y1?,B?x2,y2?,C??x1,?y1?,D??x2,?y2??x1??x2?.

?x12?2y12?2L①则?2 2x?2y?2L②?22②?①得2y2?y1??x2?x1，

2y2?y1???y2?y1?y2??y121kAB?kAD???2????1. 2x?x?x?xx?x2?21??21?21?22??22?所以 AB不垂直于AD.

所以 四边形ABCD不可能为矩形.

（若用其他方法解题，请酌情给分）

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