第8讲-高阶偏导数与极值

《数学分析II》第8讲教案

第8讲 高阶导数与二元函数极值

授课题目 教学内容 教学目的和要求 教学重点及难点 教学方法及教材处理提示 高阶导数与二元函数极值 1. 多元函数的高阶偏导数；2. 二元函数的二阶混合偏导数相同的充分条件；3. 二元函数的中值定理； 4. 二元函数的泰勒公式；5.二元函数极值. 通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握多元函数的高阶偏导数的计算方法，掌握二元函数取极值的必要和充分条件，了解二元函数的中值定理，了解二元函数的泰勒公式. 教学重点：多元函数的高阶偏导数的计算； 教学难点：二元函数取极值的充分条件，二元函数的中值定理. (1)本讲重点是多元函数的高阶偏导数的定义及计算，通过例题讲授讲清方法和思想，采用边讲边练教学方法，同时要布置适量的求多元函数的高阶偏导数习题，使学生达到熟练掌握． (2)二阶混合偏导与求导次序无关的定理证明是教学难点，我们可以先讲二元函数的中值定理，应用二元函数的中值定理来证明二阶混合偏导与求导次序无关的定理，布置有关习题． (3) 讲清二元函数的极值必要和充分条件与一元函数的联系，可通过举例使学生掌握求二元函数极值的方法. 作业布置 作业内容：教材 P141:1（3，5，6），2，8（2，3），11. 讲授内容

一、高阶偏导数

由于z?f(x,y)的偏导函数fx(x,y),fy(x,y)仍然是自变量x与y的函数，如果它们关于x与y的偏导数也存在，则说函数f具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形：

?z?x222?z???z???z???????fxx(x,y)， 2??y??y?y?x??x?

????fyy(x,y). ?????f?(x,y)

2?z???z???z?????f(x,y), ??xy??y?x?x??y?x?y?y??x??z2yx 例1 求函数z?arctan?z?x22yx的所有二阶偏导数. ?2xy???22x?y??z?y22解：

???y?2?2?x??x?y??2， ????x?2xy?2??2?22?y?x?y?x?y???2.

???y?2 ?2?x?y?y??x?y?z222222??x?y?z??xx?y????2?, ???x?y2???22222?y?x?xx?yx?y???????2,

注意：从上面例子看到， 关于x和y的不同顺序的两个二阶偏导数都相等（称为混合偏导数），但这个结论并不对任何函数都成立（见例2）.

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22?x?y22, x?y?0,?xy2 例2 设函数f?x,y???x?y2

?0, x2?y2?0.?22?yx2?y2y4xy22?, x?y?0,?22222解： 它的一阶偏导数为fx?x,y???x?y x?y?0, x2?y2?0,?????????22?xx2?y2x4xy22?, x?y?0,?22222fy?x,y???x?y进而求f在（0，0）处的混合偏导数，得 x?y?0, x2?y2?0,????????? fxy?0,0??limfx?0,?y??fx?0,0??y?y?0?lim??y?y?y?0??1,fyx?0,0??limfy??x,0??fy?0,0??x?x?0?lim?x?x?x?0?1．

由此看到，这里的f?x,y?在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？

定理17.7 若fxy(x,y)和fyx(x,y)都在点(x0,y0)连续，则fxy?x0,y0??fyx?x0,y0? .

这个定理的结论对n元函数的混合偏导数也成立。如三元函数u?f(x,y,z)，若下述六个三阶混合偏导数fxyz(x,y,z),fyzx(x,y,z),fzxy(x,y,z),fxzy(x,y,z),fyxz(x,y,z),fzyx(x,y,z)在某一点都连续，则在这一点六个混合偏导数都相等.

2222?x??z?z?z?z 例3 1）设z?f?. 2）设z?f?xy,x?y?, 求2，. ?x,y??, 求2，

?x?y?x?y?x?x?? 解：这里z是以x和y为自变量的复合函数，它也可以改写成如下形式：z?f(u,v),u?x,v?xy.

由复合函数求导公式有

?f?f?z?x??f?u?u?x??f?v?v?x??f?u?1?fy?v.

注意，这里?z2?u?v,仍是以u,v为中间变量x,y为自变量的复合函数．所以

2222222???f1?f??f?u?f?v1??f?u?f?v??f2?f1?f????????????2, 22222?????y?u?vy?v?x??uy?v??u?x?u?v?xy??v?u?x?v?x??u?x2222?f?u?f?v1?f1??f?u?f?v????f1?f?? ????2?????22?????x?y?y??uy?v?y??v?u?y?u?y?u?v?yy?v?v?y??2?z ??x?fy?u?v22?x?fy32?v2?1?fy2?v.

二、中值定理

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先介绍凸区域的概念．若区域D上任意两点的连线都含于D，则称D为凸区域．这就是说对任意两点

P1(x1,y1),P2(x2,y2)?D和一切?(0???1),，恒有P(x1??(x2?x1),y1??(y2?y1))?D.

定理17.8（中值定理） 设二元函数f在凸开域D?R2上连续，在D的所有点内都可微，则对D内任意两点P(a,b),Q(a?h,b?k)?intD,，存在某?(0???1),，使得

f(a?h,b?k)?f(a,b)?fx(a??h,b??k)h?fy(a??h,b??k)k.

证：令 ?(t)?f(a?th,b?tk).它是定义在?0,1?上的一元函数，由定理中的条件知??t?在?0,1?上连续，在?0,1?内可微．于是根据一元函数中值定理，存在?(0???1)使得 ?(1)??(0)??'(?). 由复合函数的求导法则?'(?)?fx(a??h,b??k)h?fy(a??h,b??k)k.

定理17.9（泰勒定理） 若函数f在点P0(x0,y0)的某邻域U(P0)内有直到n?1阶的连续偏导数，则对U(P0)内任一点(x0?h,y0?k)，存在相应的??(0,1)，使得 f(x0?h,y0?k)?f(x0,y0)?(h1n!??x??y1??x??x?k??y)f(x0,y0)?12!(h??x?k??y)f(x0,y0)???

2(h?k)f(x0,y0)?n?n?1?!m(h?k??y)n?1f(x0??h,y0??k). 称为二元函数f在点P0的n阶

泰勒公式，其中(h??x?k??yym)f(x0,y0)??Ci?0im?imm?i?x?yf(x0,y0)hkim?i.

例４ 求f(x,y)?x在点(1,4)的泰勒公式（到二阶为止）. 解：由于x0?1,y0?4,n?2,，因此有

f(x,y)?x,f(1,4)?1,fx(x,y)?yxyy?1,fx(1,4)?4,fy(x,y)?xlnx,fy(1,4)?0,y?1y fx(x,y)?y(y?1)x2y?2,fx2(1,4)?12,fxy(x,y)?x?yxy?1lnx,fxy(1,4)?1.

fy2(x,y)?xy?lnx?2,fy2(1,4)?0.y将它们代入泰勒公式，即得x

?1?4(x?1)?6(x?1)?(x?1)(y?4)?o?2??.

2三、极值问题

定义 设函数f在点P0?x0,y0?的某邻域U(P0)内有定义．若对于任何点P?x,y??U?P0?成立不等式

f(P)?f(P0)?或f?P??f(P0)?，则称函数f在点P0取得极大（或极小）值，点P0称为f的极大（或极小）

值点．极大值、极小值统称极值．极大值点、极小值点统称极值点．

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由定义可见，若f在点?x0,y0?取得极值，则当固定y?y0时，一元函数f?x,y0?必定x?x0在取相同的极值上．同理，一元函数f?x0,y?在y?y0也取相同的极值．于是得到二元函数取极值的必要条件如下： 定理17.10（极值必要条件） 若函数f在点P0?x0,y0?存在偏导数，且在P0取得极值，则有 fx?x0,y0??0,fy?x0,y0??0.

反之，若函数f在点P0满足fx?x0,y0??0,fy?x0,y0??0，则称点P0为f的稳定点．定理17.10指出：若f存在偏导数，则其极值点必是稳定点。但稳定点并不都是极值点，如例函数h(x,y)?xy，原点为为其稳定点，但它在原点并不取得极值．与一元函数的情形相同，函数在偏导数不存在的点上也有可能取得极值。例如f(x,y)?x?y在原点没有偏导数，但f(0,0)?0是f的极小值．

22 定理17.11（极值充分条件） 设二元函数f在点P0(x0,y0)的某邻域U(P0)内具有二阶连续导数，且P0是f的稳定点. 则有(ⅰ)当fxx?P0??0,(fxxfyy?fxy)?P0??0时，f在点P0取得极小值；

2(ⅱ)当fxx?P0??0,(fxxfyy?fxy)?P0??0时，f在点P0取得极大值；

2(ⅲ)当(fxxfyy?fxy)?P0??0时，f在点P0不能取得极值；

2(ⅳ)当(fxxfyy?fxy)?P0??0时，不能肯定f在点P0是否取得极值．

2例5 求f(x,y)?x2?5y2?6x?10y?6的极值．

?fx?2x?6?0,解： 由方程组 ? 得f的稳定点P0?3,?1?，

f?10y?10?0?y由于fxx?P0??2,fxy?P0??0,fyy?P0??10,(fxxfyy?fxy)?P0??20. 因此f在点P0取得极小值

2f(3,?1)??8. 又因f处处存在偏导数，故(3,?1)为f的惟一极值点．

例6 讨论f(x,y)?x?xy是否存在极值．

解：由方程组fx?2x?y?0,fy?x?0，得稳定点为原点(0,0)．因fxxfyy?fxy??1?0,，故原点不是f的极值点。又因f处处可微，所以f没有极值点。

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