关于实数完备性基本定理的循环证明

密 级 公 开

本科生毕业（学位）论文

有关实数完备性基本定理的循环证明

指导教师姓名： 职 称： 副教授 单 位： 数学系

专 业 名 称： 数学与应用数学 论文提交日期： 2010年 月 日 论文答辩日期： 2010年 月 日 学位授予单位： 黔南民族师范学院

答辩委员会主席: 论 文 评 阅 人:

2010 年 月

日

有关实数完备性基本定理的循环证明

蒋长征 (2006051135)

(黔南民族师范学院数学系 贵州.都匀 558000)

摘要：本文阐述了实数集上六个基本定理及其相关内容，并在用十进位小数定义证明确界原理的基础上通过六

个循环从不同的角度证明了它们的等价性。

关键词：实数集；完备性；确界原理；单调有界定理；区间套定理；有限覆盖定理；聚点定理；Cauchy收

敛准则

The Circulating Testification on the Basic Axioms of Real Number

Completeness

Jiang Chang-zheng (2006051135)

(Department of Math ,Qiannan Normal College for Nationalities,Duyun,Guizhou,55800)

Abstract : This paper elaborates six fundamental theorems on a set of real numbers and its related content.Based on the

result which use decimal number definitions to prove sector principle this paper prove their equivalent from different angle.

Key words: Real Number Collection; Completeness; True Principle; Has the theorem monotonously; Nested interval

theorem; Finite covering theorem; Limiting point theorem; Cauchy Restraining criterion

1 实数完备性基本定理及其有关内容

1.1 有关概念 定义

我们知道，极限的存在性问题是极限理论的首要问题。一个数列是否存在极限不仅与数列本身的的结构有关，而且与所在数集密切相关。从运算的角度来说，实数集关于极限的运算是封闭的，它反映了实数集的完备性，这是实数集的优点。因此将极限理论建立在实数集之上，极限理论就有了坚实的基础。

我们常常从实数系的连续性（即实数集无间隙）出发证明实数系的完备性（即能使确界原理成立的有序域），也可从实数系的完备性出发证明实数系的连续性，所以这两个关系是等价的。因此，我们也称实数连续性为实数的完备性。下面我们就来阐述实数完备性基本定理及其有关内容，为后面的证明做铺垫。

1

定义1 设x?a0.a1?an?为非负实数，称有理数

xn?a0.a1?an

为实数x的n位不足近似，而有理数

xn?xn?1 10n称为实数x的n位过剩近似，n?0,1,2,?。

定义2 设S为R中的一个数集。若存在一个数M?L?，使得对一切x?S，都有。 x?M?x?L?，则称S为有上（下）界的数集，数M?L?称为S的一个上界（下界）

定义3 设S为R中的一个数集。若数?满足： (i) 对一切x?S，有x??，即?是S的上界；

(ii) 对任意数?，存在x0?S，使得x0????，即?又是S的最小上界， 则称?为数集S的上确界，记作：

??supS

定义4 设S为R中的一个数集。若数?满足： (i) 对一切x?S，有x??，即?是S的下界；

(ii) 对任意数?，存在x0?S，使得x0????，即?又是S的最大下界， 则称?为数集S的下确界，记作：

??infS

定义5 设闭区间列??an,bn??具有如下性质： (i) ?an,bn???an?1,bn?1?，n?1,2,?； (ii) lim?bn?an??0

n??则称??an,bn??为闭区间套，或简称区间套。

定义6 设S为数轴上的点集，?为定点（它可以属于S，也可以不属于S），若?的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称?为点集S的一个聚点。

2

定义6' 对于点集S，点?的任何?邻域内都含有S中异于?的点，即

Uo??,???S??，则称?为点集S的一个聚点。

定义6'' 若存在各项互异的收敛数列?xn??S，则其极限limxn??称为点集S的一

n??个聚点。

注：这三个定义是等价的。

定义7 设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的每一个元素都是形如。若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个??,??的开区间）

开覆盖，或称H覆盖S。若H中开区间的个数是无限（有限）的，则称H为S的一个无限（有限）开覆盖。

定义8 一个数列?xn?被称为Cauchy列，如果对任给的??0，存在正整数N，使得当m,n?N时有an?bn??。

1.2 实数完备性六个基本定理

定理1 （确界原理）设S为非空数集，若S有上（下）界，则S必有上（下）确界。 定理2（单调有界定理）在实数系，有界的单调数列必有极限。

定理3（区间套定理）若??an,bn??是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点?使得?属于??an,bn?? n?1,2,?即an?bn。

推论 若???an,bn? （n?1,2,?）是区间套??an,bn??所确定的点，则对任给的??0，存在N?N?，使得对一切n?N时有

??n,?n??U??;??。

定理4（有限覆盖定理）设H为闭区间?an,bn?的一个开覆盖，则从H中可选取有限个开区间来覆盖?an,bn?。

定理5（聚点定理）实数系中任一有界无限点集S至少有一个聚点。 推论 有界数列必有收敛子列。

定理6（Cauchy收敛准则）数列?an?收敛的充要条件是：数列?an?是Cauchy列。

2 基本定理的循环证明

以上六个定理，都是描述实数集的连续性（完备性）的定理，只不过表现形式不同

3

而已。在这六个定理中有限覆盖定理着眼于区间整体，而其它五个则着眼于一点的局部，这些点分别是定理1中的确界点、定理2和定理6中的极限点、定理3中的公共点和定理

5中的聚点。从这个方面说定理4（有限覆盖定理）是其它五个定理的逆否形式。因此

不论是用定理4证明其它五个定理还是用其它五个定理证明定理4都可以用反证法来完成，其它五个定理可以直接互推，只要抓住上述提到的那些点即可，方法是从已知出发构造某一点，然后证明这个点就是所要求的点。

通过上述方法虽然可以证明这六个定理的等价性，但这并不意味着它们就是正确的，若其中有一个命题是假命题，则全为假命题。因此在证明它们的等价性时起点是极其重要的。在证明过程中不同的教材和参考书对起点问题的处理也不尽相同。有的直接把其中的一个当作公理，如刘玉琏等所编的《数学分析讲义》?1?就是把单调有界原理当作公理，并以此为起点证明这六个定理的等价性，很明显这样做是不够严密的。本文是基于华东师范大学数学系编著的《数学分析》??，即用十进位小数定义证明确界原理作

2为起点（具体过程见[2]，第7页），然后用循环证明的方法证明它们的等价性。

2.1 第一个循环

①?②?③?④?⑤?⑥?① 2.1.1 ①?② 参见[2]，35页 2.1.2 ②?③ 参见[2]，161页 2.1.3 ③?④ 参见[2]，165，166页 2.1.4 ④?⑤

证 设S为有界无穷点集，因此存在M?0，使得S???M,M?。

反正法：若S无聚点，即??M,M?中任何一点都不是S的聚点，则对于任意

x???M.M?，必有相应的?x?0，使得U?x;?x?内至多含有有限个x?S(若x?S，则U?x;?x?中不含S中的点)。所有这些邻域的全体形成??M,M?的一个无限开覆盖：

H???x??,x??xx?x???M,M??。

由定理4知，H中存在有限个开区间能覆盖??M,M?。记：

H???x??xk,x??xkx???M,M?,k?1,2,?,N?H

??为??M,M?的一个有限开覆盖，则H也覆盖了S。由于每个邻域中至多含有S有限个点，故这N个邻域的并集也至多有S得有限个点，因此S为有限点集，这与题设S为无穷点集矛盾。

4

???1

且对任意n?N?，都有：

an??，bn??1

且对任给??0，存在n1,n2?N?，使得

????an??，?1?bn??1??

12故令N?max?n1,n2?，当对任意n?N时，有

????an?an????1?bn?bn??1??

12于是再令?????，???1??，则??,???H。

这表明当n充分大时?an,bn?已被开区间??,??所覆盖。这与?an,bn?的本质矛盾。故假设不成立，即?a,b?可由H中有限个开区间（至多有N?1个）所覆盖。

2.3.2 ④?②

证 设数列?xn?单调递增有上界M，考虑区间?x1,M?，显然任给x??x1,M? (i)当x是数列?xn?的上界时，必有更小的上界x'?x，因而有开邻域?x，其中?x的每一点都是?xn?的上界

(ii)当x不是数列?xn?的上界时，必存在n?N?，使得xn?x。因而有xn的开邻域

?x，其中?x的每一点都不是?xn?的上界。

对于数列?xn?中的每一点，及?x1,M?中的其它点都存在一个开邻域?x(对于xn的每一个开邻域U?xn?除中心外与?xn?的交集为空集)它要么属于第一类，要么属于第二类。

那么，这一切邻域H???xx??x1,M??将?x1,M?覆盖，由定理4可知，存在H的有限个开区间??1,?2,?,?N?将?x1,M?覆盖且U?xn?必在其中。若?xn?不收敛，显然与有限个开区间的本质矛盾。（因为数列?xn?中有无限个点，而每个点的邻域

U?xn????1,?2,?,?N?，左边无限，右边有限，故必有U?xn?除中心外与?xn?交集非空

10

的点。）所以?xn?收敛。

2.3.3 ②?⑤

证 设S为有界无穷点集，因此存在M?0，使得S???M,M?。记?a1,b1????M,M?。 将?a1,b1?二等分，因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S的无穷多个点记此区间为?a1,b1? (如果两个半区间都是如此，可任选其一)，且

b2?a2?1?b1?a1??M。 2再将?a2,b2?二等分，两个子区间中至少有一个含有S的无穷多个点。记这个子区间为?a3,b3?，且

b3?a3?1Mb?a?。 ??11222重复上述步骤不断进行下去，则得到一个闭区间列??an,bn??，它满足

bn?an?M?0?n???， 2n?1且每一个?an,bn?都含有S中无穷多个点。

由??an,bn??的构造法则可知，?an?为单调递增的有界数列，?bn?为单调递减的有界数列，且

a1?a2???bn???b2?b1

由定理2可知数列?an?，?bn?极限都存在，设

liman??，limbn??'，

n??n??则有

???'

所以

0??'???bn?an

又

bn?an?1Mb?a? ??11222n?1则有

11

0??'???lim?bn?an??0，

n??即

?'??

所以，对任意的??0，存在N?0，当n?N时有?an,bn??U??;??。从而U??;??内含有S的无穷多个点，按定义6，?是S的一个聚点。

2.3.4 ⑤?⑥ 见2.1.5 2.3.5 ⑥?③

证 设??an,bn??是满足定理3条件的区间列。 则

任给??0，存在正整数N，当n?m?N时有

??bm?am?，bn?an?

22由上式及数列?an?与?bn?的单调性可得：

bn?bm?bn?an?an?bm?bn?an?am?bm?? an?am?an?bn?bn?am?an?bn?bm?am??

所以数列?an?与?bn?都是Cauchy列。故数列?an?与?bn?都收敛。 又

lim?bn?an??0

n??所以

limbn?liman??，且????an,bn?。

n??b???n?1下证唯一性

设另有一点?'使得：

????an,bn?，

'n?1?则有

bn?an????'，

12

这与lim?bn?an??0矛盾，即存在唯一的点?使得：????an,bn?

n???n?12.3.6 ③?①

证 设S??, 有上界M．取x0?S，令

?a1,b1???x0,M?，且b1?a1?M?x0；

将?a1,b1?二等分，若右半区间中含有S中的点，则令它为?a2,b2?，否则令左半区间为?a2,b2?，如此得到?a2,b2?且有

?a2,b2???a1,b1?，b2?a2?M?x0； 2如此无限进行下去，得到一闭区间列??an,bn??，其中

?an?1,bn?1???an,bn? n?1,2,?，bn?an?由区间套定义可知，??an,bn??构成一区间套。 根据定理3，存在唯一的实数????an,bn?．

n?1?M?x0?0 ?n???。 n?12下证??supS：因bn恒为S的上界，且limbn??，故任意x?S，必有x?bn，则x??

n??这说明?是S的上界；又因liman??，故任给??0，存在an，使得an????，而an都

n??不是S的上界，因此???更不是S的上界．所以??supS成立．

2.4第四个循环

①?⑤?②?④?③?⑥?① 2.4.1 ①?⑤

证 设S为有界无穷点集，因此存在M?0，使得S???M,M?。记

?a1,b1????M,M?。

将?a1,b1?二等分，因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S的无穷多个点记此区间为?a2,b2? (如果两个半区间都是如此，可任选其一)，有

?a1,b1???a2,b2?，

且

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b2?a2?1?b1?a1??M。 2再将?a2,b2?二等分，则两个子区间中至少有一个含有S的无穷多个点。记这个子区间为?a3,b3?，有

?a2,b2???a3,b3?

且

b3?a3?1Mb?a?。 1?2?122重复上述步骤不断进行下去，则得到一个闭区间列??an,bn??，它满足 (i)?an,bn???an?1,bn?1? (ii)bn?an?M， n2所以每一个?an,bn?都含有S中无穷多个点且，

??M,M???an,bn?，n?1,2,?

由??an,bn??的构造法则可知，?an?，?bn?为有界数列，且

a1?a2???bn???b2?b1

由定理1，可知数列?an?必有上确界，数列?bn?下确界，设

sup?an???，

则有

①对任意的n?0，总有an??；

②对任意的??0，存在N?N?，使得????aN1。 当n?N时有

????aN?an??????

所以，对任意的??0，存在N?0，当n?N时有?an??U??;??。从而U??;??内含有S的无穷多个点，按定义6，?是S的一个聚点。

2.4.2 ⑤?②

证 设数列?an?单调递增有上界M，则?an???a1,M?。将?a1,M?二等分，如果右半

14

区间中含有?an?的点，则记此区间为?a1,b1?，?an?单调递增有上界数列可知，左半区间中至多含有由数列?an?的有限个点。如果右半区间中不含?an?的点，则记左半区间为

?a1,b1?，则b1?a1?M?a1。 2再将?a1,b1?二等分，如果右半区间中含有?an?的点，则记此区间为?a2,b2?，由数列

?an?单调递增有上界数列可知，左半区间中至多含有由数列?an?的有限个点。如果右半

区间中不含?an?的点，则记左半区间为?a2,b2?，则b2?a2?如此继续下去，则得到一闭区间列??an,bn??，且

bn?an?M?a1?0?n??? n2M?a1。 22则每个?an,bn?中都含有?an?的无限个点，即每个?an,bn?都是有界无限点集。 由聚点定理可知每个?an,bn?都有聚点。

由??an,bn??的性质可知，?an,bn?，n?1,2,?有唯一的公共聚点，设为?。 又

bn?an?M?a1?0?n???， n2所以对任意的??0，存在N?N?，当n?N时，有

?an,bn??U??;??

所以U??;??之外至多含有数列?an?的有限个点。所以数列?an?收敛于?。

2.4.3 ②?④

证 用反证法 假设不能用H中有限个开区间来覆盖?a,b?。

将?a,b?二等分，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为?a1,b1?(如果两个半区间都是如此，可任选其一)，则

?a1,b1???a,b?，且b1?a1?2?b?a?。

再将?a1,b1?二等分，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为?a2,b2?，则?a2,b2???a1,b1?，且b2?a2?

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11?b?a?。 22

重复上述步骤不断进行下去，则得到一个闭区间列??an,bn??，它满足 (i)?an,bn???an?1,bn?1?，n?1,2,?； (ii)bn?an?1?b?a??0?n???。 2n且??an,bn??中每个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。

由(i)可知：

a1?a2???bn???b2?b1

则数列?an?单调递增有上界，数列?bn?单调递减有下界。

由单调有界原理，数列?an?，?bn?都有极限。设liman??，limbn??'

n??n??则对任意的??0，存在N1,N2?N?， 当n?N1时，有

????an????；

当n?N2时，有

?'???bn??'??；

又由(ii)知

???'

所以对任意的??0，存在N?max?N1,N2?，当n?N时，有

?an,bn??????,????

故

????,?????H。

这表明当n充分大时，?an,bn?只须用H中一个开区间????,????就能覆盖，与构造?an,bn?时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾。从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖?a,b?。

2.4.4 ④?③ 参见[5]，56页 2.4.5 ③?⑥ 参见[2]，162页

16

2.4.6 ⑥?① 见2.1.6 2.5第五个循环

①?⑤?③?②?⑥?④?① 2.5.1 ①?⑤ 见2.4.1 2.5.2 ⑤?③

证 由于??an,bn??，n?1,2,?构成一个区间套，于是有：

a1?a2???an???bn???b2?b1

且

lim?bn?an??0

n??所以数列?an?单调递增有上界，数列?bn?单调递减有下界。 故E??an???bn?为有界无限点集，由聚点定理可知

存在一点?为E??an???bn?的一个聚点，即对任意的??0，对于邻域U0??;??都含有

E??an???bn?中的无穷多个点。

由?an?，?bn?的性质可知它们都有无穷个点包含在U0??;??内，也就是说：

???an,bn? n?1,2,?

下证?的唯一性

设?'也满足上式，即

an??'?bn，n?1,2,?

所以有

???'?bn?an，n?1,2,?

又由定理3条件(ii)得

???'?lim?bn?an??0，n?1,2,?

n??故

?'??

所以?唯一。

2.5.3 ③?②

17

证 设数列?an?单调递增有上界M，则?an???a1,M?。将?a1,M?二等分，如果右半区间中含有?an?的点，则记此区间为?a1,b1?，由数列?an?单调递增有上界数列可知，左半区间中至多含有由数列?an?的有限个点。如果右半区间中不含?an?的点，则记左半区间为?a1,b1?，则

b1?a1?M?a1。 2再将?a1,b1?二等分，如果右半区间中含有?an?的点，则记此区间为?a2,b2?，由数列

?an?单调递增有上界数列可知，左半区间中至多含有由数列?an?的有限个点。如果右半

区间中不含?an?的点，则记左半区间为?a2,b2?，则

b2?a2?M?a1。 22如此继续下去，则得到一闭区间列??an,bn??，且

bn?an?M?a1?0?n??? n2则每个?an,bn?外只含有?an?的有限个点，且??an,bn??构成区间套。 由定理3可知，存在唯一的点????an,bn?。

n?1?又由定理3的推论可知，对任意的??0，存在N?N?，当n?N时，有

?an,bn??U??;??

即U??;??外最多只有数列?an?有限项。故?an?收敛于?。 同理可证对于单调递减又下界的数列也收敛。

2.5.4 ②?⑥

证 必要性容易证明，下证充分性

由数列?an?为Cauchy列，即对任给的??0，存在N?N?，使得对一切n?N有

an?aN??

即在区间?aN??,aN???内含有?an?的几乎所有项(这里及以下，为叙述方便，我们用“?an?中几乎所有项”表示“?an?中出有限项外的所有项”)。

18

据此，令??111??，则存在N1?N?，在区间?aN1?,aN1??内含有?an?的几乎所有项。222??记这个区间为??1,?1?。

再令??记

111??，则存在，在区间内含有?an?的几乎所有项。a?,a?N?NN2N22?222??222????2,?2????aN?2?11?,a????1,?1?。 N222?22?1。 2它也含有?an?的几乎所有项，且??1,?1????2,?2?及?2??2?继续依次令??11,?,，按照上面的方法得到一闭区间列???n,?n??，其中每一个232n区间都含有?an?的几乎所有项，且满足

?1??2????n????n????2??1

?n??n?1?0 (n??) 2n?1故数列??n?单调递增有上界，数列??n?单调递减有下界。 由单调有界原理可得??n?，??n?的极限都存在，分别设为?和?'。 又由?n??n?1?0 (n??)可得 2n?1???'

下证?就是数列?an?的极限。事实上，由定理3的推论可知，对任给的??0，存在

N?N?，使得对一切n?N时有

??n,?n??U??;??。

因此在U??;??内含有?an?中出有限项外的所有项，这就证得liman??。

n??2.5.5 ⑥?④

证 设闭区间?a,b?被开区间集H所覆盖，记为x1?a，在?x1,b?中取?a,b?中的一点记作x2，得到新的区间?x2,b?。

19

在?x2,b?中取?a,b?中的一点记作x3，得到新的区间?x3,b?。 如此继续下去可以得到一无穷点列?x1,x2,?,xn,??记作： ?xn?，且?xn???a,b?。 下证数列?xn?为Cauchy列。 若?xn?从某一项开始恒为一个值，则必定满足Cauchy条件。 下设?xn?不是从某开始开始恒为一个值的数列，由取法可知，数列随着n的增大并趋近于无穷，对于任意的??0，从某项xk起之后各项（不只是相邻项）之间的差值都会小于?，即对于任意的??0，存在N?0(设为k)当m,n?N时有 xm?xn?? 所以数列?xn?为Cauchy列。 由此可知，无论何种情况，数列?xn?为Cauchy列，所以收敛。 从?xn?的选法知， 设 limxn?b， n??即对任意的??0，存在N?N?，使得当n?N时有 xn?b?? 也就是 b???xn?b?? 下设??b??，??b??， 则 ?xn,b????,???H 也就是说?a,b?可以由H中的有限个开区间来覆盖（至多N?1个）。

2.5.6 ④?①

证 设??S?R，对于任意的x?S，存在M，使得x?M，任给x0?S，考虑区

20

间?x0,M?。假设S没有上确界，那么任意x??x0,M?对于

i）当x是S的上界时，必有更小的上界x1?x。因而x有开邻域?x，其中?x的每一点都是S的上界;

ii）当x不是S的上界时，有S中的点x2?x，于是有开邻域?x，其中?x的每一点都不是S的上界。

必居其一而且只能据其一。这些邻域H???xx??x0,M??将?x0,M?覆盖。 由定理4可得，存在H的有限个子开区间??1,?2,??n?将?x0,M?覆盖。

注意：M所在的开区间应为第一类的，相邻接的区域有公共点也应为第一类的，经过有限次邻接可知x0所在的邻域也是第一类的。这便得出矛盾，即假设不成立S有上确界。

2.6第六个循环

①?⑥?⑤?④?③?②?① 2.6.1 ①?⑥

证 必要性显然下证充分性

若由数列?an?为Cauchy列，即对任意??0，存在N?0，当m,n?N时，有

am?an??

则?an?收敛。

由2.1.5知，数列?an?为有界数列。 根据定理1令

yn?sup?ak?，zn?inf?ak?

k?nk?nZ?inf?yn?，z?sup?zn?

n?1n?1得

Z?z

,?N因由数列?an?为Cauchy列，即任给??0，存在N?0，当mn时，有am?an??，

则?an?收敛，故有

xn???xm?xn??

结合yn?sup?ak?，zn?inf?ak?

k?nk?n 21

可得

ym?zn??

依Z?inf?yn?，z?sup?zn?得

n?1n?1Z?yk?zn???z??

由?得任意性可得Z?z 故

Z?z

即

liman?liman?liman?z?Z

n??n??n??所以数列?an?收敛。 2.6.2 ⑥?⑤

证 设S为实数域上的有界无限点集，我们来证它有聚点。

不妨设S的一个上界M，一个下界为x1。在?x1,M?中取S中的一点记作x2，得到新的区间?x2,M?。

在?x2,M?中取S中的一点记作x3，得到新的区间?x3,M?。 如此继续下去可以得到一无穷点列?x1,x2,?,xn,??记作：?xn?

由?xn?的取法可知，总存在K?N?，当n?K，有

?xn??S。 下证数列?xn?是Cauchy列。 若?xn?从某一项开始恒为一个值，则必定满足Cauchy条件。下设?xn?不是从某开始开始恒为一个值的数列，由取法可知，数列随着n的增大并趋近于无穷，对于任意的??0，从某项xk起之后各项（不只是相邻项）之间的差值都会小于?，即对于任意的??0，存在N?0(设为k)当m,n?N时有 am?an?? 所以数列?xn?是Cauchy列。 22

由此可知，无论何种情况，点列?xn?都满足Cauchy条件，所以收敛， 设 limxn?A。 n??对于任意的??0，存在N1?N? ，当n?N?时有 xn?A?? 即?xn?有无穷多项都落在邻域Uo?A;??内，也就是说在邻域Uo?A;??内有S的无穷个点。有定义6知A为S的一个聚点。 2.6.3 ⑤?④ 见2.2.3 2.6.4 ④?③ 见2.4.4 2.6.5 ③?②

证 设?xn?为一递增且有上界M的数列．为此令?a1,b1???x1,M?。

将?a1,b1?二等分，若右半区间中含有S中的点，则令它为?a2,b2?，否则令左半区间为?a2,b2?，如此得到?a2,b2?且有

?a2,b2???a1,b1?，b2?a2?M?x1； 2如此无限进行下去，得到一闭区间列?an,bn?，其中

?an?1,bn?1???an,bn? n?1,2,?，bn?an?由区间套定义可知，??an,bn??构成一区间套。

M?x1?0 ?n???。 2n?1根据 ??an,bn??构造可知，每个?an,bn?都含有?xn?的项，且?an,bn?右边没有?xn?中的项。 根据定理3，存在唯一的实数????an,bn?．

n?1?下面用数列极限定义证明limxn??：

n??由定理3的推论可知，对任给的??0，存在N?N?，使得对一切n?N时有

?an,bn??U??;??。

由?xn?为递增且有上界的数列，且?an,bn?右边没有?xn?中的项，可知数列?xn?只有有限项落在U??;??之外。所以limxn??。

n?? 23

同理可证单调递减有下界的数列极限也存在。

2.6.6 ②?① 见2.2.6

3 总结

以上六个循用环虽说都是从确界原理开始，却从不同的角度证明了实属完备性六大基本定理的等价性和正确性，而且包含了从其中一个定理出发到其它五个定理的直接证明，摆脱了单一循环需要间接证明的缺点。

另外，通过本文可以使我们对实数集上这几个基本定理和极限理论为何建立在实数集上有了更深层次的理解。为我们能更好的学好《数学分析》和《实变函数》等课程奠定了基础。

参考文献：

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[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001:7-176 [3]江泽坚 吴智泉.实变函数论[M].北京：高等教育出版社，1994:34

[4]裴礼文.数学分析的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006:120-124 [5]孙清华 孙昊.数学分析内容、方法与技巧[M].武汉：华中科技大学出版社，2003:56 [6]朱仲义.浅论实数完备性[J].水利电力机械电子技术，1992(3):67

指导教师：?副教授

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