数学必修4教学案：3.2 简单的三角恒等变换（教、学案）

3．2 简单的三角恒等变换

【教学目标】

会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、 和差化积公式（公式不要求记忆），使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。

【教学重点、难点】

教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。 【教学过程】

复习引入：复习倍角公式

S2?、

C2?、

T2?

先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意C2?。既然能用单角 表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 半角公式的推导及理解 ：

例1、 试以cos?表示sin2?2,cos2?2,tan22?2．

解析：我们可以通过二倍角cos??2cos角公式中以?代2?，

?2?1和cos??1?2sin2?2来做此题．（二倍

?代?） 22解：因为cos??1?2sin因为cos??2cos2?2，可以得到sin2?2?1?cos?； 2?2?1，可以得到cos2?2?1?cos?． 2两式相除可以得到tan2?2?2?1?cos?． ?1?cos?cos22sin2?sin点评：⑴以上结果还可以表示为：

?2????1?cos?21?cos?2 cos?2tan?2??1?cos?1?cos? ?并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2角的象限决定。

⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。 ⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。

sin?21?cos?变式训练1：求证 ?1?cos?tan?2sin?tan?积化和差、和差化积公式的推导（公式不要求记忆）： 例2：求证： （１）sin?cos???1?sin??????sin???????； 2?（２）sin??sin??2sin???2cos???2．

解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。

证明：（１）因为sin?????和sin?????是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．

sin??????sin?cos??cos?sin?；sin??????sin?cos??cos?sin?．

两式相加得2sin?cos??sin??????sin?????； 即sin?cos??1； sin??????sin?????????2（２）由（１）得sin??????sin??????2sin?cos?①；设?????,?????， 那么?????2,?????2．

把?,?的值代入①式中得sin??sin??2sin???2cos???2．

点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形

式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．

变式训练2：课本p142 2（2）、3（3）

例３、求函数y?sinx?3cosx的周期，最大值和最小值． 解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值。 解： y?sinx?3cosx?2??1?3???sinx?cosx?2sinx????， ?2?23????所以，所求的周期T?2???2?，最大值为２，最小值为?2．

点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数

y?Asin??x???的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．

变式训练3：课本p142 4、（1）（2）（3） 探究：求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值．

小结：我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，

学会灵活运用．

作业布置：课本p143 习题3.2 A组1、（1）（5） 3 、5

3．2 简单的三角恒等变换（导学案）

课前预习学案

一、预习目标：回顾复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式，预习简单的三角恒等变换。

二、预习内容：

1、回顾复习以下公式并填空：

Cos(α+β)= Cos(α-β)= sin(α+β)= sin(α-β)= tan(α+β)= tan(α-β)=

sin2α= tan2α= cos2α=

2、阅看课本P139---141例1、2、3。 三、提出疑惑：

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

课内探究学案

一、学习目标：会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。

学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。 学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。

二、学习过程：

探究一：半角公式的推导（例1）

请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、2α与α有什么关系？α与α/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。

2、半角公式中的符号如何确定？

3、二倍角公式和半角公式有什么联系？

4、代数变换与三角变换有什么不同？

探究二：半角公式的推导（例2）

请同学们阅看例2，思考以下问题，并进行小组讨论。

疑惑内容 1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？

2、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？

3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？

探究三：三角函数式的变换（例3）

请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、例3的过程中应用了哪些公式？

2、如何将形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数？并求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值．

三、反思、总结、归纳：

sinα/2= cosα/2= tanα/2= sinαcosβ= cosαsinβ= cosαcosβ= sinαsinβ= sinθ+sinφ= sinθ-sinφ= cosθ+cosφ= cosθ-cosφ=

四、当堂检测：

课本p143 习题3.2 A组1、（3）（7）2、（1）B组2

课后练习与提高

一、选择题：

11．已知cos（α+β）cos（α－β）=，则cos2α－sin2β的值为（ ）

3A．－

2 3

1B．－

32

1C．

3 D．

2 3C2．在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是（ ）

A．等边三角形 C．不等边三角形

3．sinα+sinβ=

B．等腰三角形 D．直角三角形

3（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ） 3A．－

2π 3 B．－

π 3 C．

π 3 D．

2π 3

二、填空题

4．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．

5．已知α－β=三、解答题

5x126．已知f（x）=－+，x∈（0，π）． 22sinx2sin2π1，且cosα+cosβ=，则cos（α+β）等于_________． 33（1）将f（x）表示成cosx的多项式；

（2）求f（x）的最小值．

课后练习参考答案：

一、选择题：1．C 2． B 3． D 二、填空题：4．三、解答题

sin5xx3x?sin2cossinx3xx22?2?2coscos=cos2x+cosx=2cos2x+cosx－1．

xx222sin2sin2217 5．－ 496．解：（1）f（x）=

（2）∵f（x）=2（cosx+∴当cosx=－

129）－，且－1≤cosx≤1， 4819时，f（x）取得最小值－． 48

A．－

2π 3 B．－

π 3 C．

π 3 D．

2π 3

二、填空题

4．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．

5．已知α－β=三、解答题

5x126．已知f（x）=－+，x∈（0，π）． 22sinx2sin2π1，且cosα+cosβ=，则cos（α+β）等于_________． 33（1）将f（x）表示成cosx的多项式；

（2）求f（x）的最小值．

课后练习参考答案：

一、选择题：1．C 2． B 3． D 二、填空题：4．三、解答题

sin5xx3x?sin2cossinx3xx22?2?2coscos=cos2x+cosx=2cos2x+cosx－1．

xx222sin2sin2217 5．－ 496．解：（1）f（x）=

（2）∵f（x）=2（cosx+∴当cosx=－

129）－，且－1≤cosx≤1， 4819时，f（x）取得最小值－． 48

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