2019-2020学年度高考数学总复习（讲 练 测）： 专题8 - 图文

——教学资料参考参考范本—— 2019-2020学年度高考数学总复习(讲+练+测)： 专题8 ______年______月______日 ____________________部门 1 / 30 【考纲解读】 考 点 考纲内容 5年统计 分析预测1.以几何体为载体，(1)理解直线的方向向量与平面的法向量. 立体几何中的向量方法 (2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. (3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). 2015?浙江文18；理17； 2016?浙江理17; 综合考查平行或垂直关系证明，以及角与距离的计算. 2.利用几何法证明平行、垂直关系，利用空间向量方法求角或距离. 3.备考重点： (1) 掌握空间向量的坐标运算； (2)掌握角与距离的计算方法. 【知识清单】 1. 利用空间向量证明平行问题 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向?n·a＝0，量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为??n·b＝0. 2.用向量证明空间中的平行关系 2 / 30 ①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)?v1∥v2. ②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l?α?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. ③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l?α?v⊥u. ④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β?u1∥u2. 对点练习： 【选自20xx天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2. ?BAC?90? （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE； 【答案】 （Ⅰ）证明见解析 （Ⅰ）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，DEDB?2n?(x,y,z) 则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.??n?(1,0,1)MN?1MN?n?0 ?n?DE?0?2y?0z?1?2x?2z?0??n?DB?0?因为平面BDE，所以MN//平面BDE.MN? 2. 利用空间向量证明垂直问题 1. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0. ②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α?v∥u. 3 / 30 ③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0. 2.共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)， a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)． 对点练习： 【河南省××市期末】已知梯形如下图所示，其中，，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图所示的几何体.已知当点满足时，平面平面，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 则,，设平面的法向量为，则由得，取，平面的法向量为，则由得，取， 因为平面平面，所以，解得.故选C. 3. 异面直线所成的角 1.两条异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角． 4 / 30 ②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是．(0,] 2?③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有.cos??|cos?|?|对点练习： 【20xx课标II，理10】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）??C??1?1C1???C?120???2?C?CC1?1??1?C1 A． B． C． D．32155103 53a?b| |a|?|b|【答案】C 【解析】如图所示，补成四棱柱 ,ABCD?A1B1C1D1 4. 直线与平面所成角 1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝. 对点练习： 【20xx浙江，19】（本题满分15分）如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．BC//AD （Ⅰ）证明：平面PAB；CE// （Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．2 8 5 / 30

【解析】 试题解析： MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角． 设CD=1． 在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，22 在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，3在Rt△MQH中，QH=，MQ=，142 281 4所以sin∠QMH=， 所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是．2 85.二面角 1．求二面角的大小 (1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．ABCD (2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．n1,n2???n1,n2????n1,n2? 对点练习： 6 / 30 【20xx江苏，22】 如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=, .?BAD?120? （1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A1D-A的正弦值. 【答案】（1）（2）17 743 6 .利用向量求空间距离 1．空间向量的坐标表示及运算 (1)数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)； ②λa＝(λa1，λa2，λa3)； ③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)， a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝＝， cos〈a，b〉＝＝. 设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， 则.dAB?|AB|?(a2?a1)2?(b2?b1)2?(c2?c1)2 7 / 30 2. 点面距的求法 如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝. 对点练习： 设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【考点深度剖析】 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向．空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查．此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.浙江卷对空间向量方法考题较少，较为注重几何法的考查. 【重点难点突破】 考点1 利用空间向量证明平行问题 【1-1】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. 8 / 30 【答案】MN∥平面A1BD. 则M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， 于是＝， 设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． ?x＋z＝0，则n·＝0，且n·＝0，得??x＋y＝0. 取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． 又·n＝·(1，－1，－1)＝0， ∴⊥n，又MN?平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD. 法二 ＝－＝－＝(－)＝， ∴∥，又∵MN与DA1不共线，∴MN∥DA1， 又∵MN?平面A1BD，A1D?平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD. 【1-2】(1)如图所示，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS. 【答案】PQ∥RS 方法二：设，则OA?a,OB?b,OC?c PQ?PA1?AO11?O1Q?1111AA1?OA?OB?c?a?b， 32321111RS?RA?AO?OB?BS??OB?OA?OB?BB1??a?b?c. 2323?PQ?RS,//.又∵R?PQ，∴PQ∥RS.PQRS 【领悟技法】 9 / 30 证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题． 【触类旁通】 【变式一】【湖北卷】如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.ABCD?A1B1C1D1E,F,M,NAB,AD,A1B1,A1D1P,QDD1BB1DP?BQ???0???2? （1）当时，证明：直线平面.??1BC1//EFPQ 【答案】直线平面.BC1//EFPQ （1）证明：当时，，因为，??1FP?(?1,0,1)BC1?(?2,0,2) 所以，即，BC1?2FPBC1//FP 而平面，且平面，FP?EFPQBC1?EFPQ 故直线平面.BC1//EFPQ 考点2 利用空间向量证明垂直问题 【2-1】【20xx届江西省××市二模】如图，在长方体中， ，点为线段上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的__________．ABCD?A1B1C1D1AB?3AD?3AA1?3PA1C ?3A1PD1P//BDC1 ①当时， 平面；AC1?5A1PAC②当时， 平面；AC?D1AP 11③的最大值为；?APD190 ④的最小值为.AP?PD15 【答案】①② 10 / 30

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