画法几何制图—换面法

换面法一、问题的提出(实物) 实物)如何求一般位置直线的实长？ 如何求一般位置直线的实长？变成投影面平行线 解决方法：更换投影面V为 解决方法：更换投影面 为V1//AB。 。反映实长 V1

b′ ′ a′ ′V H

a′ ′V

A B a

a1 b1

b′ ′

X

b aH

H

b三峡大学

换 面 法：物体本身在空间的位置不动， 物体本身在空间的位置不动，而用某一 新投影面(辅助投影面)代替原有投影面， 新投影面(辅助投影面)代替原有投影面， 使物体相对新的投影面处于解题所需要的特 殊位置，然后将物体向新投影面进行投射。 殊位置，然后将物体向新投影面进行投射。

三峡大学

换面法中的主要名称： 换面法中的主要名称：旧投影

新投影

a'

B

b1'

V旧轴

V1 b' X A a被保留 的投影

b a1' α X1新轴三峡大学3

H

二、新投影面的选择原则a′ ′V V1

A B aH H

a1 b1平行于新的投影面 垂直于新的投影面

b′ ′

b

新投影面必须使空间物体处于最有利的特殊 空间物体处于 1. 新投影面必须使空间物体处于最有利的特殊 位置。 位置。 为了能用正投影原理，新投影面必须垂直于 2. 为了能用正投影原理，新投影面必须垂直于 某一保留的投影面(如图V ⊥H), 某一保留的投影面(如图V1⊥H),以构成一个相 互垂直的两投影面的新体系。 互垂直的两投影面的新体系。三峡大学4

三、点的投影变换规律⒈ 一次换面 ⑴ 新投影体系的建立a′ ′ a’1

V

A

V1

axX

ax1 aH X1

V1 V 新投影体系: 新投影体系: X1 — 旧投影体系: 旧投影体系: X — H H 点的投影： 标注规定. A点的投影：a′(V), a(H),a′1(V1)-标注规定.三峡大学5

⑵

黑板) 新旧投影之间的关系(黑板)

a′ ′

V

a′ ′ ax

a′1 ′ A a′1V1 V X H ax ax1 H V1 X1

ax1 aH X1

a

X

1. a′1a⊥ X1 2. a′1ax1= a′ax a′

点的换面规律(一个垂直，一个相等) 点的换面规律(一个垂直，一个相等) 1. 点的新投影与保留投影的连线，必垂直 点的新投影与保留投影的连线，于新投影轴。 于新投影轴。

点的新投影到新投影轴的距离等于 等于旧投影 2. 点的新投影到新投影轴的距离等于旧投影 到旧投影轴的距离。 到旧投影轴的距离。三峡大学6

⑶ 求新投影的作图方法 更换H 更换H面a′ ′ XV H a ax X1 H 1 V.

a1 ax1

作图规律： 作图规律： 首先确定好新投影轴， 首先确定好新投影轴，由点的保留投影 向新投影轴作垂线， 向新投影轴作垂线，并使垂线上的距离等于 旧投影到旧投影轴的距离。 旧投影到旧投影轴的距离。三峡大学7

⒉ 两次换面⑴ 新投影体系的建立a2V H2

X2 a′x2 V1 a1 ax1

V1 在 X2 — 投影体系 H2

a′ ′ A ax

中： 是旧投影

面， H是旧投影面，H2 新投影面， 是新投影面， V1 保留投影面； 是保留投影面； 是旧轴， X1是旧轴， X2是 新轴。 新轴。

X

aH

X1 V X1 —1 H

1.先把V面换成V 得到中间新投影体系: 1.先把V面换成V1面， V1⊥H,得到中间新投影体系 先把 H面没动，空间点A到H面的距离没变。 面没动，空间点A 面的距离没变。

V — 2.再把H面换成H 得到新投影体系: 2.再把H面换成H2面， H2⊥ V1,得到新投影体系: X2 H1 再把 2 面没动，空间点A 面的距离没变。 V1面没动，空间点A到V1面的距离没变。三峡大学

⑵ 求新投影的作图方法a′ ′

V X H a

ax a2.

ax2 ax1. H X1 V1作图规律 aa′1 ⊥ X1轴

a′1作图规律 a′ 1 a2 ⊥ X 2 轴 a2ax2 = aax1

H2 V1 X 2第二次新投影关 键：隔面量距三峡大学9

a’a a′1ax1 = a ax

四、换面法的六个基本作图问题1. 把一般位置直线变换成投影面平行线 求直线AB的实长及与H面的夹角。 AB的实长及与 例：求直线AB的实长及与H面的夹角。空间分析： 面代替V 空间分析： V1面代替V面，在V1/H投影体系中，V1 // AB 。 /H投影体系中 投影体系中， 用 a′ ′ V1 a′ ′ 作图： 作图： a1 b′ ′ AV

b′ ′

X

V

B

b1

H

a bX1 H V1.

aX

b H

X1

b′1

●

α

a′1

●

求α,H面不动；求β,V面不动。 面不动； 面不动。

新投影轴的位置？ 新投影轴的位置？ ab平行 与ab平行三峡大学10

2. 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线问题的关键： 问题的关键：新轴要垂直 于反映实长的那个投影。 于反映实长的那个投影。 a 1( b 1)

X1 V a' X A b' B

b' a1(b'1) ’ X V H b三峡大学11

a'

bH

a

a

3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析： 空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线； 一次换面把直线变成投影面平行线； 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2

V

b′ H2 ′ a′ ′

a2(b2)B A

作图： 作图：X V H

ax2 b′1

b′ ′

V1

a′ ′ b a.

a′1

b X a H//

H1 ● X1 V1 a′1 X1

●

b′1 a2(b2)

轴的位置？ X2轴的位置？与a′1b′1垂直三峡大学12

4. 把一般位置平面变换成投影面垂直面 可求解平面与投影面的倾角) (可求解平面与投影面的倾角) ABC变 成投影面垂直面。 例：把△ABC变换成投影面垂直面。a′ ′V X H a b c H X1 V1 d.

b′ ′

d′

c′ ′

空间分析： 实物 实物) 空间分析： (实物 如果把平面内 的一条直线变换成新投影面的 垂直线，那么该平面则变换成 垂直线， 新投影面的垂直面。 新投影面的垂直面。 作图过程： 作图过程：在平面内取一条 水平线AD AD, AD变换成新投 水平线AD,将AD变换成新投 影面的垂直线。 影

面的垂直线。 αa′1d′1 ′ ′● ●

c′1 ′

●

b′1 ′

反映平面对哪个投 影面的夹角？ 影面的夹角？三峡大学13

求α,H面不动；求β,V面不动。 面不动； 面不动。

c′ ′ V a′ ′X C

V1 c′ 1 a′1

bΧ ΧA B

c

α

b′1X1

a

b H

三峡大学

5 . 将投影面的垂直面变成投影面的平行面一次换面后可 求解平面实形 a'V

a'1

V1实形

问题的关键： 问题的关键： 新投影轴必须 平行于该平面 的积聚性投影。 的积聚性投影。 b'

c' b'1

A

c' 1

C BX

X1

bH

a

c三峡大学15

6. 把一般位置平面变换成投影面平行面空间分析： 空间分析： 一般平面c′ ′ b′ ′ b2●.

垂直面

平行面

作 图：a′ ′X V H

AB是水平线 AB是水平线

●

a2

a b cH V1 X1●

a'1b'1 . c' 1●

●

c2

平面的实形

的位置？ X2轴的位置？

与其平行三峡大学16

换面法的六个基本作图问题： 换面法的六个基本作图问题：1. 把一般位置直线变成投影面平行线一次换面 2. 把投影面平行线变成投影面垂直线一次换面 3. 把一般位置直线变成投影面垂直线两次换面 4. 把一般位置平面变成投影面垂直面一次换面 需先在平面内找一条投影面平行线变成垂直线 5. 把投影面垂直面变成投影面平行面一次换面 6. 把一般位置平面变成投影面平行面两次换面三峡大学17

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b′ a′ m′ m a k′ ●

n′ c′ c n三峡大学18

bk

(f)直线与平面相交 (f)直线与平面相交

● ●

解题思路1.首先进行空间分析，解题方法有直观法、逆推法和轨 首先进行空间分析 解题方法有直观法、 首先进行空间分析， 迹法。 迹法。 逆推法：假设答案已求出，找出答案与已知条件内在联 逆推法：假设答案已求出，找出答案与已知条件内在联 再顺着做题。 系，再顺着做题。 轨迹法：找出答案的几个轨迹，轨迹的重合部分， 轨迹法：找出答案的几个轨迹，轨迹的重合部分，就是 答案。 答案。 2.思路出来后，根据给定条件决定换哪个面。 思路出来后，根据给定条件决定换哪个面。 思路出来后

三峡大学

1.用换面法在直线AB上取一点C,使AC=25。 1.用换面法在直线AB上取一点C AC=25。 用换面法在直线AB上取一点c′

c

a ′1

c′1 b ′1三峡大学20

2.求 ABC与EF的交点 并判别可见性. 的交点， 2.求△ABC与EF的交点，并判别可见性.e′ ′ a′ ′k1 V H d′

b′ ′

分析： 分析：把△ABC换 ABC换 成投影面垂直面 用重影点判别可 见性

X

c′ ′

ak

f′ ′ f b d●

f′1 ′

.

e

c c′1 ′

●

k′1 a′1d′1 ′ ′ ′ e′1 ′

●

d′1 ′

三峡大学

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