1.1.1 构成空间几何体的基本元素 学案(人教B版必修2)

第一章 立体几何初步

§1.1 空间几何体

1.1.1 构成空间几何体的基本元素

自主学习

学习目标

1．了解数学的抽象性和理想性．

2．理解点、直线、平面三个原始概念． 3．掌握平面、长方体的画法． 自学导引

1．构成空间几何体的基本元素 (1)如图所示

(2)______________是构成几何体的基本元素．

(3)在立体几何中，平面是________________，通常画一个______________表示一个平面；平面一般用希腊字母α，β，γ，?来命名，还可以用表示它的平行四边形的__________的字母来命名．

2．线动成面

直线平行移动，可以形成______________．固定射线的端点，让其绕着一个圆弧转动，可以形成________．

对点讲练

知识点一 构成几何体的基本元素

例1 下列不属于构成几何体的基本元素的是( ) A．点 B．线段 C．曲面 D．多边形(不含内部的点)

点评 点、线、面是构成几何体的基本元素，任何一个几何体都是由这些基本元素组成的，而其他图形有时也能构成另外复杂的几何体，但是不能称之为“基本元素”．

变式训练1 以下结论中不正确的是( ) A．平面上一定有直线 B．平面上一定有曲线

C．曲面上一定无直线 D．曲面上一定有曲线

知识点二 平面概念的理解

例2 下列说法中正确的是________． (1)黑板面是一个平面；

(2)任何一个平面图形都是一个平面； (3)平静的太平洋面就是一个平面； (4)圆和平行四边形都可以表示平面．

点评 (1)搞清平面与平面图形的区别与联系是解决此类问题的关键；

(2)平面与平面图形的区别与联系为：平面是没有厚度、绝对平展且无边界的，也就是说平面是无限延展的、无厚薄、无大小的一种理想的图形．平面可以用三角形、梯形、圆等平面图形来表示．但平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们是有大小之分的，不能说三角形、正方形、梯形是平面，只能说平面可以用平面图形来表示．

变式训练2 下列语句是对平面的深层理解的描述：

①平面是绝对平的；②平面没有厚度，也可理解成其厚度为0；③平面和点、直线一样，是我们以后研究空间图形的基本对象之一，也是空间图形的一个重要的组成部分；④一个平面将无限的空间分成两部分，如果想从平面的一侧到另一侧，必须穿过这个平面；⑤平面可以看作空间的点的集合，它当然是一个无限集．

上述关于平面的相关描述，你认为正确的有______．(填序号)

知识点三 长方体中的基本元素间的位置关系

例3

在长方体ABCD—A1B1C1D1中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这6个平面中，

(1)与直线B1C1平行的平面有哪几个？ (2)与直线B1C1垂直的平面有哪几个？ (3)与平面BC1平行的平面有哪几个？ (4)与平面BC1垂直的平面有哪几个？

点评 本题实质上是考查长方体中有关元素的位置关系，解决这类问题的关键在于先要识好图，然后由概念结合图形进行解答．

变式训练3 下列关于长方体的叙述不正确的是( )

A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体 B．长方体中相对的面都互相平行

C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离 D．两底面之间的棱互相平行且相等

一、知识结构

二、规律方法总结

1．点、线、面是构成几何体的基本元素．

2．平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面． 3．平面的记法．

(1)平面一般用希腊字母α，β，γ?来命名； (2)平面图形顶点法．

4．认识空间中的点、直线和平面之间的位置关系，我们可以动手制作一些模型或画出图形，来帮助我们理解和提高空间想象能力．

三、思维误区分析

常见思维误区有几何中定义的平面是理想的绝对的平且是无限延展的，但在表示时只能用一个平面图形来表示，通常用平行四边形表示．但不能误认为平面即平面图形．要注意立体几何中的平面与平面图形是两个不同的概念，是有区别的.

课时作业

一、选择题

1．如图所示，平行四边形ABCD所在的平面，下列表示方法中不正确的是( ) ①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α. A．④⑤ B．③④⑤ C．②③④⑤ D．③⑤ 2．下列说法中正确的是( ) A．直线的移动只能形成平面

B．矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 C．直线绕其相交但不垂直的直线旋转形成锥面 D．曲线的移动一定形成曲面

3．纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是( )

A．南 B．北 C．西 D．下

4．西瓜人人都喜欢吃，给你一个西瓜，只许切三刀，则最多可切成的块数是( ) A．4 B．6 C．8 D．9

5．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( ) A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分 题 号 答 案 二、填空题

1 2 3 4 5

6．在如图所示的长方体ABCD－A′B′C′D′中，互相平行的平面共有______对，与A′A垂直的平面是__________________．

7．三个平面将空间最少分成m部分，最多分成n部分，则m＋n＝________. 三、解答题

8．想想看，如何检验一个物体的表面不是平面？

9．根据图中给出的平面图形，制作几何体：

10．如图所示，长方体AC1的长、宽、高分别为3,4,5.现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．

【答案解析】 自学导引

1．(2)点、线、面 (3)无限延展的 平行四边形 对角顶点 2．平面或曲面 锥面 对点讲练

例1 D [由于一个几何体是由点、线、面组成的，而线有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分，故而只有D不属于构成几何体的基本元素．]

变式训练1 C 例2 (4)

解析 (1)不正确．黑板面虽是一个矩形，且给我们以平面的印象，但它是不能无限延

展的．

(2)不正确．平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可能无限延展的．

(3)不正确．太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平的．太平洋面只是给我们一种平面的印象．

(4)正确．在需要时，除用平行四边形表示平面外，还能用三角形、梯形、圆等来表示平面．

变式训练2 ①②③④⑤

例3 解 (1)与直线B1C1平行的平面有： 平面AD1，平面AC.

(2)与直线B1C1垂直的平面有：平面AB1，平面CD1. (3)与平面BC1平行的平面有：平面AD1.

(4)与平面BC1垂直的平面有：平面AB1，平面A1C1，平面CD1，平面AC. 变式训练3 A 课时作业

1．D 2.C 3.B 4.C 5.C 6．3 平面AC和平面A′C′ 7．12

8．解 把直尺的边缘紧贴物体表面，如果在某个位置直尺边缘与物体表面间有缝隙，就说明该物体表面不是平面．

9．解 图(1)作出的几何体为正方体． 图(2)作出的几何体为正八面体．

10．解 把长方体含A、C1的面作展开图，如图甲、乙、丙所示．

对这三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为90、74、80，由此可见乙是最短路线．

所以甲壳虫可以先在面ABB1A1内由A到E，再在面BCC1B1内由E到C1，其最短路程为74.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/aqyv.html