经管概率论试卷A

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一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号（本大题共 6小题，每小题2分，总计 12 分）

1、已知P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(A|B)?0.3，则有（ C ）。

（A）P(A?B)?1 （B）P(A?B)?0.7 （C）P(A?B)?0.92 （D）P(A?B)?1.1

2、如果事件A、B相互独立，P(A)?0,P(B)?0，则（B ）一定成立。

（A）P(A?B)?P(A)?P(B) （B）P(A?B)?1?P(A)P(B) （C）P(A?B)?1?P(A)P(B) （D）P(A?B)?1?P(AB)

3、随机变量X的分布为P(X?i)?C(i?0,1,2,?)，则有（ C ）。 2i11 （A）C?1 （B）C?2 （C）C? （D）C?

244、设f(x)???sinxx?[a,b]，如f(x)是某个连续型随机变量X的密度函数，则

0其它?[a,b]为( A )

?3????????(A) ?0,? (B) [0,?], ( C) ??,0? (D) ?0,?,

?2??2??2?

?0,x?05设随机变量X的密度函数为f(x)???2x，则分布函数是（ B ）。

?2e,x?0?0,x?0?0,x?0 （A）F(x)?? （B） F(x)???2x?2x1?e,x?01?e,x?0???0,x?0?0,x?0 （C）F(x)???2x （D）F(x)???2x

e,x?0e,x?0??第 1 页（共页）

6设随机变量，X?N(u,?2),E(X)?2,E(X2)?5,则有（ D ）。

（A）X?N(0,1) （B）X?N(2,3) （C）X?N(2,4) （D）X?N(2,1) 7：离散型随机变量X的分布为P(x?k)?ak,k?1,2,3,4

则a= (B) (A) 0.05 (B) 0.1 (C) 0.2 (D) 0.25

8：设X,Y分别表示甲乙两个人完成某项工作所需的时若E(X)?E(Y),D(X)?D(Y), 则(A)

(A) 甲的工作效率较高,但稳定性较差 (B) 甲的工作效率较低,但稳定性较好

9：已知X～B(n,p)，且E(X)?8,D(X)?4.8,则n= ( C ) (A) 10 (B) 15 (C) 20 （D）25

1110：两人独立破译密码，他们能单独译出的概率分别为,则此密码被译出的概

54率为( C )

(A)1111? （B）? (c)54541111??? （D）无法确定 5454二、填空题（将正确答案填在横线上本大题共7小题，每空 3分，总计24分）

11、设随机变量X的方差存在，若D(10X)?10，则D(X)? 。

2甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5,0.6，现已知目标

5 被命中，则它是甲击中的概率为 0.7。

3从0，1，2，?，9等十个数字中任取三个不同的数字，则这三个数字中不含0，

5的概率为（

7 ）。 154、随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P(X?1)?P(X?2)，则参数

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?? （ 2 ）。

5、设X?N(3,4),P(X?a)?P(X?a)，则a? （ 3 ）。 6、设某电子元件的寿命X?e(0.0001)（指数分布），

则寿命P(X?10000)? （e?1 ）。

7、设随机变量X~R[0,（1均匀分布），试求y?x的密度函数1?x??f?(y)????1(1?y)201y?[0,]2 ．其它三、解答下列各题（本大题共6小题，每小题8分，总计48 分） 1、设某学院一年级新生共1000人都参加期末 3 门课程 ( 数学、英语、政治 ) 的考试。已知的数据如下：数学有 780 人及格，英语有 850 人及格，政治有 940 人及格，数学和英语都及格的有 730 人，数学和政治都及格的有 690 人，英语和政治都及格的有810 人，三门课程全部及格的有 650 人。问全部课程都不及格的学生占多大的比例解：根据题意，有：

P ( A ) = 0.78 , P ( B ) = 0.85 , P ( C ) = 0.94 , P ( A B ) = 0.73 , P ( AC ) = 0.69 ,

P ( BC ) = 0.81 , P ( A B C ) = 0.65 ; ……………2分因此，根据一般的加法公式， P { A ∪ B ∪ C }

= P(A) A＋P(B)＋P(C) － P(AB)－ P(AC) － P(BC) ＋ P(ABC)……………4分 = 0.78 ＋ 0.85 ＋ 0.94 － 0.73 － 0.69 － 0.81 ＋ 0.65=0.99

P{ABC}?1?P{A?B?C}?0.01,…………………6分

即，这 1000 名新生中有 10 人，三门课程考试全部都不及格。……8分

2、有朋友自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车和坐飞机的概率分别为0.3，0.2，

0.1，0.4。若坐火车来迟到的概率为0.25，坐船来迟到的概率为0.3，坐汽车来迟到的概率为0.1，坐飞机来不会迟到，求（1）该朋友迟到的概率为多少？（2）如果这朋友迟到了，则他是坐汽车来的概率为多少？：解：用Ai(i?1,2,3,4)分别表示朋友坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机，B表示迟

到，则

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（1）P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.3?0.25?0.2?0.3?0.1?0.1?0.4?0?0.145

i?04（2）P(A3|B)?P(A3)P(B|A3)2 ?P(B)293、X 在（2,5）上服从均匀分布，现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两

次观测值大于 3 的概率. 解：记 A = { X > 3 },

则 P(A) = P( X> 3) = 2/3

设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,

2则Y~B(3,)所求概率为

P(Y≥2) = P(Y=2)+P(Y=3)

?2??1??2??1?20 ?C?????C33??????3??3??3??3?27232304、设透镜第一次落下打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10, 试求透镜落下三次而未打破的概率。

4.解: 设 Ai?“透镜第i次落下打破”, i?1, 2, 3。 B?“透镜落下三次而未打破”。...........2分故有 P(B)?P(A1A2A3) ?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...............6分1793 ?(1?)(1 ?)(1 ?)?...............8分21010200

5 若随机变量?服从拉普拉斯分布，其密度函数为

1f(x)?e?|x|2???x???

求E?和D?．

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解：E???xf(x)dx????????11xxedx??xe?xdx??202 0??11??0 22????

D??E?2?(E?)2??x2f(x)dx?0

????12?x12xxedx??xedx ??202?1?1?2． 0

6、下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、都是电路中的元件. 它们下方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工作的概率.

0.70CA0.95B0.95D0.70E

解：将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有、

P(W)?P(A)P(B)P(C?D?E)……………….2分

0.70其中P(C?D?E)?1?P(C)P(D)P(E)?0.973 …….4分代入得P(W) ＝ 0.88 ………………………7分

四、应用题（本大题12分，每题6分）

1、设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公司要求投资2.8亿元，但预算外开支波动较大，设实际费用X~N(2.8,0.52)。乙公司要求投资3亿元，但预算外开支波动较小，设实际费用Y~N(3,0.22) 。现假定工程资方掌握资金3亿元，为了不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包较为合理？解（1）工程资方掌握资金3亿元。若委托甲公司承包

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?3?2.8?P(X?3)?F(3)??????(0.4)?0.65540.5??

若委托乙公司承包

?3?3?P(Y?3)?F(3)??????(0)?0.500.2??

委托甲公司承包较为合理。

2医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病.” 医生的说法对吗？答：医生的说法不对，在十个得这种病的人中只有一个能救活，就是这种病救活的概率是十分之一，但随机事件发生具有随机性，在一次试验中有可能发生也有可能不发生，所以已经看过九个病人了，他们都死于此病.不意味着第十个人就可以救活。

五、证明题、（本题7分）

设0＜P(A) ＜1,0＜P(B) ＜1,P(A｜B)+P(AB)=1。证明事件A和B相互独立。

因为P(A|B)?P(A|B)?1所以P(AB)P(B)?P(AB)P(B)?P(B)P(B)....................2分

P(AB)(1?P(B))?(1?P(A?B)P(B))?P(B)(1?P(B)化简得:P(AB)?P(A)P(B)........................................4分因此A与B独立

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