2015年天津河北区高中三年级第一学期期末数学试卷-A4

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绝密★启用前

2015年天津河北区高中三年级第一学期期末数学试卷

数学

考试时间：120分钟；考试总分：150分；命题人：[User]

学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 题号 得分 一 二 三 总分

注意事项：

本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟，第一卷…… ○___○…___…_…__…_…_：……号订考…__订_…__…_…___……__：……名…○姓_○_…___……___…_…__……：级…装班_装…___…_…__…_…___……：校…○学○……………………外内……………………○○……………………1至2页，第二卷3至8页

第一卷 选择题 共40分 评卷人 得分 一、选择题

注意事项：

1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名，准考号，科目涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。 3、本卷共8小题，每小题5分，共40分。

1．是虚数单位，复数等于（ ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则是的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知数列是首项的等比数列，且成等差数列，则公比等于（ ）

A．-1 B．1 C．-1或1 D．

4．在中，若，则（ ）

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A． B． C． D．

5．已知分别为双曲线,若

的左右焦点，P为左支上一点，且

为等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）

………线…………○………… ………线…………○………… A．3 B．2 C． D．

6．设变量满足约束条件，且目标函数的最大值为10，则实数的值为（ ） A．2 B． C．4 D．8

7．已知函数

的零点分别为x1，x2，x3，则

x1，x2，x3的大小关系是（ ）

A． B． C． D．

8．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点．若，则的最小值是（ ）

A．0 B． C． D． 第二卷

非选择题 共110分 评卷人 得分 二、填空题

9．某公司一共有职工200人，其中年轻人100人，中年人75人，老年人25人，有关部门为研究该单位职工对公司发展的态度问题，用分层抽样的方法从中抽取m人进行问卷调查，如果抽到老年人3人，那么m= 1

10．执行下面所示的程序框图，则输出的T值为 1 第2页 共5页

……○ ○…※※……题※……※……答※…订※内订…※……※线……※……※订…○※※○…装……※※……在※……※…装要※装…※……不※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………

………线…………○………… ………线…………○…………

…… ○___○…___…_…__…_…_：……号订考…__订_…__…_…___……__：……名…○姓_○_…___……___…_…__……：级…装班_装…___…_…__…_…___……：校…○学○……………………外内……………………○○……………………11．如图，三棱柱的侧楞长和底面边长均为2，且侧楞

底面

，它的正视图是边长为2的正方形，俯视图是一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为 1

12．函数 的单调递增区间是 1 13．若，则从大到小排序为 1 14．已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是 1 评卷人 得分 三、解答题 15．已知α为第二象限的角，，β为第一象限的角，．求tan（2α﹣β）的值．

16．已知函数

第3页 共5页

（1）求的最小正周期；

（2）求

在闭区间上的最大值与最小值。

………线…………○………… ………线…………○………… 17．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是梯形，且,M

为侧楞PD上一点，其中

.

(1) 证明：平面PBD;

(2) 证明：平面PBC;

(3) 线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合条件

的点N，并求CN的长；若不存在，请说明理由。

18．设是等差数列的前n项和，已知

（1）求数列的通项公式。

（2）设，数列的前项和为，求证：

第4页 共5页

……○ ○…※※……题※……※……答※…订※内订…※……※线……※……※订…○※※○…装……※※……在※……※…装要※装…※……不※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………………线…………○………… ………线…………○…………

19．已知椭圆G的离心率为（Ⅰ）求椭圆G的方程；

，其短轴两端点为A（0，1），B（0，﹣1）．

（Ⅱ）若C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC、BD与x轴分别交于点M、N．判

断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由． …… ○___○…___…_…__…_…_：……号订考…__订_…__…_…___……__：……名…○姓_○_…___……___…_…__……：级…装班_装…___…_…__…_…___……：校…○学○……………………外内……………………○○……………………

20．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值． （1）求实数a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间；

（3）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间（0，2）上有两上不等的实根？如果存在，求实数b的取值范围．如果不存在，请说明理由。

第5页 共5页

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1．（5分）B 2．（5分）A 3．（5分）C 4．（5分）A 5．（5分）B 6．（5分）C 7．（5分）A 8．（5分）D 9．（5分）1．24 10．（5分）1．55

11．（5分）1．

12．（5分）1．

13．（5分）1．

14．（5分）1．

15．（13分）解：∵α为第二象限角，sinα=，∴cosα=﹣，tanα=﹣，tan2α=﹣，

又∵β为第一象限角，cosβ=，∴sinβ=，tanβ=，

∴tan（2α﹣β）=

16．（13分）解：（1）

所以

答案 第1页，共6页

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（2）因为，所以所以，

所以在闭区间上的最大值为1，最小值为。

17．（13分）（Ⅰ）证明：因为BD2+BC2=CD2， ∴BC⊥BD．

又∵PD⊥平面ABCD， ∴BC⊥PD， ∵BD∩PD=D， ∴BC⊥平面PBD．

（Ⅱ）证明：取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．

因为PM：PD=1：4，∴MQ∥CD，．

在△BCD中，易得∠CDB=60°，∴∠ADB=30°．

又BD=2，∴AB=1，．

又∵AB∥CD，∴AB∥MQ，AB=MQ．

，

∴四边形ABQM为平行四边形， ∴AM∥BQ．

∵AM?平面PBC，BQ?平面PBC，

答案 第2页，共6页

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∴直线AM∥平面PBC．

（Ⅲ）解：线段CD上存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为．证明如下：

∵PD⊥平面ABCD，DA⊥DC，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz．

∴．

设 t，0）．

，其中N（0，

∴，．

要使AM与BN所成角的余弦值为，则有 ，

∴，解得t=0或2，均适合N（0，t，0）．

故点N位于D点处，此时CN=4；或CD中点处，此时CN=2，有AM与BN所成角的余弦值为．

18．（13分）解：（1）设数列的公差，由题得

解得

所以

（2）由（1）得，

答案 第3页，共6页

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19．（14分）解：（Ⅰ）∵椭圆G的离心率为，其短轴两端点为A（0，1），B（0，﹣1），

∴设椭圆G的方程为：

由e=，得

解得a2=2

∴椭圆的标准方程为

（Ⅱ）以MN为直径的圆是不过点A．理由如下： ∵C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点， ∴设C（x1，y1），且x1≠0，则D（﹣x1，y1）．

∵A（0，1），B（0，﹣1），∴直线AC的方程为y=

令y=0，得，∴M（）．

同理直线BD的方程为y=，令y=0，解得N（）．

，，

∴=，

由C（x1，y1）在椭圆G：

上，∴，

答案 第4页，共6页

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∴

∴∠MAN≠90°，

，

∴以线段MN为直径的圆不过点A．

20．（14分）解：（1）∵f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x

∴f′（x）=﹣2x﹣1=

∵函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值

∴f′（x）=0，∴∴a=1

（2）f′（x）== （x＞﹣1）

由f′（x）＞0得﹣1＜x＜0，由f′（x）＜0得x＞0

∴f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）．

（3）令g（x）=f（x）﹣（﹣

）=ln（x+1）﹣x2+，x∈（0，2）

则g′（x）=

令g′（x）=0得x=1或x=﹣（舍去）

当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当1＜x＜2时g′（x）＜0，即g（x）在（0，1）上递增，在（1，2）上递减

方程f（x）=﹣在区间（0，2）上有两个不等的实根等价于函数g（x）在（0，2）上有两个不同的零点

∴

∴

答案 第5页，共6页

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即实数b的取值范围是

答案 第6页，共6页

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