MATLAB与数学实验 第七章习题

第七章习题

1．用MATLAB软件求下列数列极限：

(?2)n?3n1 (2)lim(1)limx??(?2)n?1?3n?1x??(lnln)lnn11n?] (4)lim(n?2?2n?1?n)

x??x??nn2答（1）syms n

limit(((-2)^n+3*n)/((-2)^(n+1)+3^(n+1)),n,inf) ans = 0 （2）

（3）syms n

limit((1+1/n+1/n^2)^n,inf) ans = exp(1)

（4）syms n

limit(sqrt(n+2)-2*sqrt(n+1)+sqrt(n),n,inf) ans = 0

2．用MATLAB软件求下列函数极限： (3)lim[1?1?x?1(1)limx?0x323

3x?1?(x?1)3(2)limx??1x?1 (3)lim(sinx)tanx

x??2x12x?3x?1(4)lim[(x?x?)ex?x6?1](5)lim() x???x??22x?1答（1）syms x

limit(((1+x)^1/3-1)/x,x,0) ans = NaN

（2）syms x

limit((3^(x+1)-(x+1)^3)/(x+1),x,-1,'left') ans = -Inf （3）

3．求下列函数的导数。

(1)y?x?x?x (2)y?4．求高阶导数。

x?2(3?x)41?sinx(4)y?xcos2xcox3x (3)y?(x?1)51?cosx（1）已知y?xsinbx，求y(3) （2）求y?x4cox7x 的40阶导数 （3）已知y?xsin3x?v1tex?lnx 求y(3)。

5．已知抛射体运动轨迹的参数方程为：

12

y?v2t?gt2

求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向。

dy6．求下列参数方程所确定的函数的导函数：

dx （1）

x=1-t2y=t-t3 （2）

x=ln(1+t2)y=t-arctant

dy dxdydxx?07．求由方程ey?xy?e?0 所确定的隐函数的导数

8．求由方程y5?2y?x?3x7?0 所确定的隐函数在x=0处的导数

?2z?2z?2z: 9．求下列函数的2,2,?x?y?x?y(1)z?sin(xy)?cos2(xy) (2)z?lntan?11?

y x????y(3)z?arctan (4)z?e?xy?

x10．求 grad1 22x?y11.设f(x,y,z)?x2?y2?z2, 求 gradf(1,?1,?2) 12.求下列函数的极值：

1(1)f(x)?x(x2?8) (2)y?arctanx?ln(1?x2)(3)f(x)?x3?4x2?3x

2(4)y?excosx,x?[0,2?](5)f(x)?231?3x12 lnx(6)y?x4?5x13.设有质量为5kg的物体，置于水平面上，受力F的作用而开始移动（如图所示）。设摩擦系数?=0.25。问：力F与水平线的交角?为多少时，才可使力F的大小为最小？

14.求下列不定积分：

arcsinxx2?7sinxcosx（1）? （2） （3）dx dxdx24??x?2x?31?sinx1?xx6?x4?4x2?2dxdx（4）?xesinxdx （5）? （6） 322?34x(x?1)x(1?x)x15.求下列定积分：

?1xdx222（1）? （2）?x(2?3x)dx （3）?2sin7xdx

0001?1?x3?0（4）?2sin5xcos4xdx （5）?(1?x2)6dx （6）?xcos2xdx

0012?16.讨论下列积分的收敛性： （1）?1sinxx23?0dx （2）?20dx 22sinxcosx17.用三种方法求下列积分的数值解：

1sinx（6）?dx

0.5x解：matlab命令为： h=0.01;x=0.5:h:1; y=sin(x)./x; format long t=length(x);

z1=sum(y(1:(t-1)))*h z2=trapz(x,y)

z3=quad('sin(x)./x',0.5,1) 结果为：z1 =

0.45356139752127 z2 =

0.45297449705927 z3 =

0.45297565232213

?18.用多种数值方法计算定积分?401dx，并与精确值2进行比较，观察不1?sinx同方法的误差。

解：分别用矩形法、梯形法和辛普生法计算，然后与精确值2进行比较， matlab命令为： h=0.01;x=0:h:pi/4; y=1./(1-sin(x)); format long t=length(x);

z1=sum(y(1:(t-1)))*h z2=sum(y(2:y))*h z3=trapz(x,y)

z4=quad('1./(1-sinx)',0,pi/4) format short

u1=z1-sqrt(2),u2=z2-sqrt(2),u3=z3-sqrt(2),u4=z4-sqrt(2), 结果为：

z1 =

1.38411043673640 z2 =

0 z3 =

1.39596130696093 z4 =

1.53897101160451

u1 =

-0.0301 u2 =

-1.4142 u3 =

-0.0183 u4 =

0.1248

1?x在x=0处前7项的泰勒级数展开式。 1?x解：matlab命令为：

syms x;

f=log((1+x)/(1-x));

23.求函数f(x)?lntaylor(f,x,7,0) 结果为：

ans =

2*x+2/3*x^3+2/5*x^5

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