(0359)《教育统计与测评》（期末考试）复习思考题答案

（0359）《教育统计与测量 》复习思考题答案

1．设X1,X2,?Xn为取自某个正态总体N(u,?2)的一个样本，

__X?1n__?ni?1Xi，则X~N(u,?2n) 。

2．设X~N(u1,?12)，Y~N(u2,?22)，X﹑Y的相关系数为r，如果u1?u2，

则X—Y~N(0,,?12?2r?1?2??22) 。

3．设X﹑Y为二分变量，即X﹑Y??0,1?，而P1?E(X)，P2?E(Y)，

p1?1nn1?i?1渐近Xi，p2?Pqn11n?n21?Yi?1i，如果P1?P2，则当n??时，

P1?P2n1?n2n1n22P1—P2~N（0，Pqn2)，如果令Z?，则Z~N(0,1)。 Pq__４．设X1,X2,?Xn为取自某个正态总体N(?,?)的一个样本，X?__1n?X，

S2?1?n，X?X??S/n?1，则X~t(n?1) 。

22５．设Xi~N(?1,?)，Yi~N(?2,?)，i?1,2,?,n1，j?1,2,?.n2，

____ X?X?Yn1S21n1n2(n1?n2?2)22?n2Sn1?n2，如果u1?u2，则

X~t(n1?n2?2) 。

____６．设(Xi,Yi)的相关系数为r（i?1,2,?,n），X?X~t(n?1) 。

rn?21?r22(X?Y)n?1S21?S22，则

?2rS1S2７．设X﹑Y的相关系数为r，T?q2tri ，如果??0，则T~t(n?2)。

n____q__r__8．?(Xi?XT)?i?1??(Xr?1i?1?Xqr)??tr?1(Xqr?XT)，即SST?SSW?SSB，

2则 SST的自由度为 dfT?n?1 。

SSW的自由度为 dfW?n?q。 SSB的自由度为 dfB?q?1 。

9。设F?

SSB/(q?1)SSW/(n?q)，如果?1??2????q，则F~F(q?1,n?q)。

10. 设F(x)?????P(t)dt表示一分布函数，则P(x)应满足：

① P(x)?0； ②

????P(x)dx?1。

11. 设X1,X2,?Xn服从正态分布N(0,1)，且X1,X2,?Xn相互独立，令，

X?X1?X222???X2n，则X~ ?2(n) 。

22212 如果X1~N(?1,?12)， 则X1?X2~ N(u1?u2,?1??2) 。 X2~N(?2,?2)，

213·如果X1~N(0,1)，X2~?2(m)，X3~?(n)， Y1?X1X2/mY2? ，

X2/mX3/n，

则 Y1~t(m) ，Y2~ F(m,n) ， 14. X2?X3~ ?2(m?n)。

15.设Xi~N(?,?),i?1,2,?n，现从中随机取得n个样本，如果用X?2__1n?ni?1Xi去估

计?，S2?1ni__?(Xni?1?X)去估计?22，则在给定置信水平?的情况下，总体平均

数的置信区间为 。

?的置信区间为 。 16．一射击运动员在打靶试验中击中各环的概率如下表：

X P

试求该动员击中靶标的总体平均数EX。

4 5 6 7 8 9 10 0．01 0．1 0．12 0．20 0．35 0．20 0．02 2

解：由数学期望的定义，得

EX?4?0.01?5?0.1?6?0.12?7?0.20?8?0.35?9?0.20?10?0.02?0.745

17．某年级200名学生在一次数学测验中的成绩如下表：

成 绩 90 ~ 100 80 ~ 89 70 ~ 79 60 ~ 69 50 ~ 59 40 ~ 49 30 ~ 39 组中值 95 85 75 65 55 45 35 频 数 累计频数 10 30 40 54 44 16 6 200 190 160 120 66 22 6 __ 累计频率 1．00 0．95 0．80 0．60 0．33 0．11 0．03

试求该次测验的中数XMD，众数XMO，算术平均数X。 解：由中数，众数，算术平均数的计算公式，得

NXMD?lb?2?Fbfb?i=60?2002?66?10?66.3

544040?44XM0?lb?fafa?fb??i?60??10?64.8

__X?1r?ni?1X?ni

(35?6?45?16?55?44?65?54?75?40?85?30?95?10)200?66.8

?1

其中：X?表示组中值，r表示组数，ni表示第i组的频数。 18．某年级200名学生在一次数学测验中的成绩如下表： 成 绩 90 ~ 100 80 ~ 89 70 ~ 79 60 ~ 69 50 ~ 59 组中值 95 85 75 65 55 频 数 累计频数 10 30 40 54 44 200 190 160 120 66 累计频率 1．00 0．95 0．80 0．60 0．33 40 ~ 49 30 ~ 39

45 35 16 6 22 6 0．11 0．03 试求样本方差S2和样本标准差S。 解：由方差的计算公式，得

__X?1r?ni?1X??ni

?1200(35?6?45?16?55?44?65?54?75?40?85?30?95?10)

?66.8，

S2?1nr__?i?1(X?X)?21200[(35?66.8)?6???(95?66.8)?10]

22 ?202.76

19．投掷2枚骰子 ，当至少有1个“1点”或1 个“2点”出现时，就说这次试验成功，

否则称试验失败，求在20次试验中成功次数?的期望与方差？ 解：投掷2枚骰子都不出现“1点”或“2点”的概率应当为?6446?49，则至少出现1

个“1点”或1个“2点”的概率为1?49?59，

5又由于每次投掷骰子是相互独立的，所以?服从二项分布，即?~B(20,)，从而，

9有E??nP?20?59?11.1， 59?(1?59)?4.94。

D??nP(1?P)?20?

20．已知数据如下表：

试计算X70 成 绩 90 ~ 100 80 ~ 89 70 ~ 79 60 ~ 69 50 ~ 59 40 ~ 49 30 ~ 39 ，X80。

70 频 数 10 30 40 54 44 16 6 累计频数 200 190 160 120 66 22 6 累计频率 1．00 0．95 0．80 0．60 0．33 0．11 0．03 解：由题意，X位于分数组70~79分这一组内，

∴ lP?70，fP?40，FP?120，i?10，N?200，P?70，

PX70?lP?100N?FPfP70?i，

?70?100?200?12040?10?75。

X80也位于70~79这一组内，

80X80?70?100?200?12040?10 ?80。

21．已知在第14题中，某考生的成绩为66分，试计算该考生的百分位。

解：由已知，66分位于60~69这一组内，

∴ lP?60，fP?54，FP?66，i?10，N?200，

PN?FPfP?i，

而 XP?lP?100P66?60?66?60?100?200?6654?10，

P?2?6654?10， P?49.2。

22．已知在某年高考数学中，平均成绩为70分，标准差S?15分，甲乙两考生的成绩分别为65分和80分，试计算他们的标准分数,如果该年的考试成绩服从正态分布

N(70,15)，试计算甲乙考生的百分位？

2

__解：由标准分数的计算公式，Z?Z甲?Z乙?65?701580?7015???2313X?XS，得

，

，

由 Z甲??由 Z乙?

2313，查正态分布表，得P甲?1?0.63?0.37，

，查正态分布表，得P乙?0.75。

23．已知在一次测验中数学平均成绩为75分，语文的平均成绩是数学平均成绩的1.2倍，

语文成绩的标准差是数学成绩标准差的1.5倍，语文成绩Y与数学成绩X之间的相关

系数为r?0.75，试求语文成绩Y与数学成绩X之间的回归方程。

解：设Y与X的回归方程为Y?a?bX，

由题意，则b?r__?Y?X?0.75?1.51?1.125，

又X?75， Y?1.2?75?90，

____a?Y?bX?90?1.125?75?5.625，

∴ Y 关于X的回归方程为：Y?5.625?1.125X。

24．在第16题中，如果考生的数学成绩为60，试估计他的语文成绩Y，并计算估计的

标准误（设SY?10)？

解：∵ Y?5.625?1.125X，当X?60时，

Y?a?b?60?5.625?1.125?60

=73．125．

SYX?SY1?r2?101?0.752?6.61。

25.某电视机厂生产的电视机显像管使用寿命据经验服从正态分布，现从中随机抽取500

__个样本，算得平均寿命为X?14000小时，标准差S?200，试估计该厂生产的电视机显像管期望寿命的置信区间。

解：给定置信水平??0.05，查正态分布表，得u??1.96，于是在95%的概率意义下，

2显像管期望寿命的置信区间为

__(X??n__u?,X?2?nu?)，

2__由题意，X?14000，

S?200，n?500，

__ ∴X??n??

2?14000??13982.47__200500?1.96

X??n??

2?14000?200500?1.96?14017.53。

∴在95%的概率意义下，显象管期望寿命的置信区间为

（13982.47，14017.53）。

26。某校高一年级共150人，高一上学期由甲教师任教，在统考中平均成绩为75分，标准差S?12分，高一下则由乙教师任教，期末统考中平均成绩为72分，标准差为S?10分，假设该校所在城市两次考试成绩均服从正态分布，且总体平均成绩，总体标准差相同。试检验该校高一上﹑下期的平均成绩有无显著差异？

解：1）假设H0：u1?u2，

____2）计算Z统计量：Z?X?YS21n1?S22?75?72122?102?2.35，

n21503）给定显著水平??0.05，查正态分布表，得u??1.96，

24）统计推断：∵Z?1.96，∴拒绝H0。该年级高一上﹑下期的平均成绩存在显著差异，教师甲的教学水平要优于教师乙。

27。某年级共有220名学生，其中男生12名，女生100名，在一次态度调查中获得如下结果：

态度 性别 男 生 女 生 同 意 80 50 反 对 40 50 合 计 120 100

试检验男﹑女生对该问题的态度是否存在显著差异？ 解：1）假设H0：u1?u2，

2）计算Z统计量：P1?80120?0.67，P2?50100__?0.5，P?130220?0.59，

____q?1?P?1?0.59?0.41，

Z?P1?P2n1?n2n1n2____?0.67?0.5220120?100?0.59?0.41?2.54，

Pq3）给定显著水平??0.05，查正态分布表，得u??1.96，

24）统计推断：∵Z?1.96，∴拒绝H0，男﹑女生对该问题的态度存在显著差异。

28。某校高三毕业生在某年高考中数学平均成绩为78分，当年高考全国平均成绩为75分，问该校高三年级毕生的平均水平与全国平均水平是否存在显著性差异？

29。某射击运动员的平均成绩是7环，标准差S?3.5环，经过一段时间的训练后，平均成绩提高到8环，S?4，能否认为该运动员的射击水平有显著提高？(n=200)

30。已知在一次测验中，某班级120名学生的数学成绩与物理成绩的相关系数为

r?0.45，试检验该班学生的数学成绩与物理成绩是否显著相关？

解：1）假设H0：??0，

rn?21?r22）计算t统计量：t??0.45120?21?0.452?5.5

3）给定显著水平??0.05，查t分布表，得t?(118)?1.98，

24）统计推断：∵t?1.98，∴该班学生的数学成绩与物理成绩显著相关。

31。将某班20人随机分成甲﹑乙两组，分别采用两种不同的方法进行某项技能训练，以学会所需时间为指标获得如下结果：

甲 乙 X 15 17 S 4．2 3．1 n 10 10

问两种不同的训练方法是否存在显著差异？ 解：1）假设H0：?1??2，

2）计算t统计量：

____t?X?Yn1S21n1n2(n1?n2?2)22?n2Sn1?n2

?15?1710?4.2?10?3.12210?10(10?10?2)10?10??1.15，

3）给定显著水平??0.05，查t分布表，得t?(18)?2.101，

24）统计推断：∵t ?2.101，∴接受H0，两种不同的训练方法不存在显著差异。

32。某年级别120名学生的教学实习成绩分﹑优﹑良﹑中﹑差四等，各等的实际人数为20﹑

50﹑40﹑10，假设学生的教学实习成绩服从正态分布，理论频率依次为0.10﹑0.4﹑0.4﹑0.1，试检验理论假设是否正确？

解：1）假设H0：考生的教学实习成绩服从正态分布，

2）计算?2统计量： ?2等 级 ni 优 20 0．10 12 良 50 0．40 48 0．083 中 布 40 0．40 48 1．33 差 10 0．10 12 0．33 Pi nPi 2(ni?nPi) 5．33 nPi?5.33?0.083?1.33?0.33?7.073

223）给这显著水平??0.05，查?分布表，得??(3)?7.81，

4）统计推断：∵?有显著差异。

2?7.073?7.81，∴接受H0，考生的教学实习成绩与正态分布没

33。某年级有70名男生，60名女生，在一次态度调查中，获得如下结果：

态度 性别 男 女 合 计

同 意 40 25 65 反 对 30 35 65 合 计 70 60 130 试检验学生的态度与性别是否独立？ 解：1）假设H0：性别与态度独立， 2）计算?2统计量：

?n11??70?6513060?65130??35 ，n12??70?6513060?651302?35， ?30，

2n21??30，n22?2 ?2?(40?35)35?(30?35)35?(25?30)30?(35?30)302?3.08

21） 给定显著水平??0.05，查?2分布表，得??(1)?3.84，

统计推断：∵?

2?3.08?3.84，∴接受H0，学生的态度与性别相互独立。

34·已知在一次考试中，甲、乙两个小组的考试成绩如下表：

X 45 70 Y 55 95 50 60 30 70 80 82 n1=5 86 n2=6

试用秩和检验法检验两组分数是否存在显著差异？ 解： 1）假设H0：两组分数没有显著差异。

2）计算秩和统计量：

T?2?6.5?3?1?8?20.5；

X 秩 Y 秩 45 2 55 4 70 95 11 50 60 5 30 1 70 6.5 80 8 82 9 86 10 n1=5 n2=6 6.5 3 3）给定显著水平??0.05，查秩和分布表，得T1?20，T2?40； 4）统计推断：?20?T?20.5?40， ∴接受H0，两批分数未见显著差异。

35·某班20人随机分成两组，分别使用不同的学习方法进行某种技能训练，在测验中获得如下结果：

实验组 90 85 77 90 66 98 98 95 90 77

对照组 74 53 45 55 60 70 90 80 83 10 n1?n2?10

试检验不同学习方法对学习效果是否有显著影响？

解： 1）假设H0：两种学习方法对学习效果没有显著影响； 1） 计算秩和统计量： 实验组 秩 对照组 秩 90 15.5 74 8 85 13 53 3 77 9.5 45 2 90 55 4 66 60 5 98 70 7 98 95 90 77 10 1 15.5 6 19.5 19.5 18 15.5 9.5 90 80 83 15.5 11 12

T?15.5?13?9.5?15.5?6?19.5?19.5?18?15.5?9.5?141.5；

3)给定显著水平??0.05，查秩和分布表，得 T1?79，T2?131。

4）?T?131，∴拒绝H0，两批分数有显著差异。

36·甲乙两组学生在一次测验中的成绩如下表，试检验两组学生的成绩是否存在显著差异？

81 n1?16 85 29 60 10 72 68 15 75 21 50 56 8.5 62 9 86 30 91 34 78 23 87 31 64 12 42 4 70 16 79 24 72 90 33 52 7 46 76 80 22 25 26 88 32 67 14 65 13 n2?18 40 84 3 28 31 83 1 27 17.5 6 74 35 20 2 17.5 5 56 73 8.5 19 解：1）假设H0：两组分数没有显著和差异；

例1． 计算秩和统计量：

T?26?29?15?8.5?23?16?33?22?32

?10?21?11?31?24?7?333.5， uT?n1(n1?n2?1)2?16(16?18?1)2?280，

?T?n1n2(n1?n2?1)12?16?18(16?18?1)12?28.98，

Z?T?uT?T?333.5?28028.98?1.85；

u??1.96；

2 3）给定显著水平??0.05, 4）统计推断：∵Z?1.85?1.96，∴接受H0

37· 甲乙两班分别采用不同的教学方法进行教学，在期末考试中获得如下结果： 甲 乙 45 55 40 48 57 60 52 58 64 66 65 72 70 75 77 85 76 88 80 89 90 92

试检验两种教学法对学习效果是否有显著影响？

解：1）假设H0：两种教学法对学习效果没有显著影响； 2） 计算秩和统计量： 甲 45 55 T 2 5 乙 40 48 T 1 3 57 60 6 4 8 7 52 58 64 66 9 11 65 72 10 13 70 75 12 14 77 85 16 18 76 15 88 19 80 89 17 20 90 92 21 22

T=2+5+6+8+9+11+12+14+15+17+20=119；

uT?n1(n1?n2?1)2?11?(11?11?1)22?126.5；

?T?n1n2(n1?n2?1)12?11(11?11?1)12?18.73；

Z?T?uT?T?119?126.518.73??0.409；

3）给定显著水平??0.05，查正态分布表，得u??1.96；

2 4）统计推断：∵Z?0.409?1.96，∴接受H0：两种教学法对学习效果没有显著影响。

38．某小组11名考生的数学成绩与语文成绩如下表： 考生 1 2 3 4 5 6 数学（X） 语文（Y） 符 号 考生 数学（X） 语文（Y） 符 号 70 80 － 7 70 64 + 85 85 0 8 98 88 + 77 75 + 9 63 75 － 65 70 － 10 66 70 － 44 60 － 11 50 65 － 72 70 +

试检验学生的数学成绩与语文成绩有无显著差异？

解：1）假设H0：两批分数没有显著差异； 2）计算符号统计量：n??4,n??6,r?4； 3）给定显著水平??0.025,查符号分布表，得r??1； 4）统计推断：∵r?4?1,∴接异。

39．某班级30名学生的毕业考试成绩与升学考试成绩如下表： 试检验毕业成绩与升学成绩有无显著差异？

学生 毕业 升学 符号 学生 毕业 升学 符号 学生 毕业 升学 符号 1 80 60 + 11 80 55 + 21 54 45 + 2 95 75 + 12 96 70 + 22 99 78 + 3 84 80 + 13 100 90 + 23 82 70 + 4 70 74 － 14 75 70 + 24 63 40 + 5 65 50 + 15 70 66 + 25 65 45 + 6 60 40 + 16 77 53 + 26 75 60 + 7 54 60 － 17 92 87 + 27 70 62 + 8 55 50 + 18 80 80 0 28 70 65 + 9 33 20 + 19 60 62 － 29 95 90 + 10 85 60 + 20 60 55 + 30 90 70 + H0，考生的数学成绩与语文成绩没有显著差

解：1）假设H0：考生的数学成绩与语文成绩没有显著差异；

2)计算符号统计量：

n??26,n0?1,n??3，n?26?3?29，r?3；

2) 给定显著水平 ??0.01,查符号分布表，得r??7；

4）统计推断：∵r?3?7，∴拒绝H0，考生的数学成绩与语文成绩差异显著。

40·某班100人在一次测验中的数学成绩X与物理成绩Y如下表：

学 生 100 N X ?Y 58 n? X=Y 8 0n X ?Y 34 ?n 试检验考生的数学成绩与物理成绩是否存在显著差异？ 解：1）假设H0：X与Y没有显著差异；

2）计算符号统计量：n?n??n??58?34?92， r?min(34,58)?34， Z?r?0.5?n/212n?34?0.5?92/21292??2.34；

3）给定??0.025，查正态分布表，得?u???1.96；

4）统计推断：∵ Z??2.34??1.96，∴ 拒绝H0，考生的数学成绩与物理成绩存在显著差异。

41．有各方面相近的两班各30人进行集中识字与分散识字的实验研究，经过一段时间的学习后测得的结果如下表：

学生 集中识字 分散识字 符 号 学生 集中识字 分散识字 符号 学生 集中识字 分散识字 符号 1 2 3 85 91 － 13 90 88 + 23 80 79 + 4 84 81 + 14 89 87 + 24 76 86 － 5 81 83 － 15 72 81 － 25 84 82 + 6 88 84 + 16 91 89 + 26 79 91 － 7 8 9 10 87 79 81 74 + + 82 91 90 82 － + 17 18 89 88 75 81 + + 81 93 93 80 － + 19 20 75 93 79 88 － + 29 30 80 82 77 + + 11 12 92 83 83 85 + － 21 22 88 89 88 83 0 + 27 28 85 83 83 79 + +

试检验两种识字方法对学习效果是否存在显著差异？ 解：1）假设H0：两种识字方法没有显著差异；

2)计算符号统计量：

n??19,n????10,n0?1,

n?n?nn2?19?10?29，r?10；

n2292 u??292?14.5，????2.693，

Z?r?0.5?n/212n?10?0.5?14.51229??1.485；

3）给定显著水平??0.025，查正态分布表，得?u???1.96； 4）统计推断：∵Z??1.485??1.96，∴ 接受H0。

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