2015高考（理）二轮复习试题：第6章 等比数列的综合与应用

精品题库试题

理数

1. (2014大纲全国,10,5分)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前8项和等于( ) A.6B.5C.4D.3 [答案] 1.C

[解析] 1.由题意知a1·a8=a2·a7=a3·a6=a4·a5=10,∴数列{lg an}的前8项和等于lg a1+lg a2+…+lg a8=lg(a1·a2·…·a8)=lg(a4·a5)4=4lg(a4·a5)=4lg 10=4.故选C. 2. (2014重庆,2,5分)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( ) A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列 [答案] 2.D

[解析] 2.不妨设公比为q,则又

=

q6,a2·a8=

=q4,a1·a9=

=

q8,a2·a6=·q6,当q≠±1时,知A、B均不正确;

q10,知D正确.

q8,同理,C不正确;由q10,a3·a9=

3. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，6) 等比数列

满足

，且

( )

，则当

时，

A.

[答案] 3. A

B . C. D.

[解析] 3. 根据等比数列的性质可得，解得，当

n=1时，也适合上式，所以，所以

.

4. (2014福州高中毕业班质量检测, 5) 已知等比数列则

( )

的前项积为若，

A. 512 B. 256 C. 81 D. 16 [答案] 4. A

[解析] 4. 因为数列是等比数列，，所以，所以.

5. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，6) 已知等比数列 的前项和为 , 且

，，则（ ）

A. B. C. D.

[答案] 5. C

[解析] 5. ，，，，.

6. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，9) 等比数列

，则

的值是（ ）

中，若

A. B. C. D.

[答案] 6. B

[解析] 6. 依题意，，所以.

7.(2014湖北八市高三下学期3月联考，3) 等比数列{an}的各项均为正数，且

，则log3 a1+log3a2+…+log3 al0=( )

A．12 B．10 C．8 D．2+log3 5 [答案] 7. B

[解析] 7.由题意可知，又

得，而

．

8.(2014周宁、政和一中第四次联考，10) 已知于任意实数满足

是定义在上的不恒为零的函数，且对

考察下列结论：①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列为等差

数列. 其中正确的结论是( )

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ [答案] 8. D [解析] 8. 令正确；

，则

；令

，则

，

，

，故①

，

故②不正确；

，，是上的奇函数，

，，由此类推，

（共个），

，数列为等比数列，故③正确，

由

故正确的有①③④.

，数列为等差数列，故④正确.

9. (2014周宁、政和一中第四次联考，6) 已知顶点是A. 3 B. 2 C. 1 D.

，则

等于（ ）

成等比数列，且曲线的

[答案] 9. B [解析] 9.

.

，顶点坐标为

，

，又

成等比数列，

10. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 4) 设为数列

，若

A. 512 B. 16 C. 64 D. 256

，则

（ ）

的前项和，已知

[答案] 10. D

[解析] 10. 由等比数列，

，.

，则，，数列从第二项起是

11. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 6) 已知各项不为0的等差数列

，数列

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 [答案] 11. D

是等比数列，且

，则

等于（ ）

满足

[解析] 11.等差数列的各项不为0，且满足，，

即，解得或（舍去），又，，又数列是等比数列，

.

12. (2014广东,13,5分)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=________. [答案] 12.50

[解析] 12.因为等比数列{an}中,a10·a11=a9·a12, 所以由a10a11+a9a12=2e5,可解得a10·a11=e5.

所以ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1·a2·…·a20)=ln(a10·a11)10=10ln(a10·a11)=10·ln e5=50. 13.(2014安徽,12,5分)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=________. [答案] 13.1

[解析] 13.设{an}的公差为d,则a3+3=a1+1+2d+2,a5+5=a1+1+4d+4,由题意可得(a3+3)2=(a1+1)(a5+5).

∴,(a1+1)+2(d+1)]2=(a1+1)[(a1+1)+4(d+1)],

∴(a1+1)2+4(d+1)(a1+1)+[2(d+1)]2=(a1+1)2+4(a1+1)(d+1), ∴d=-1,∴a3+3=a1+1,

∴公比q==1.

14.(2014江苏,7,5分)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是________. [答案] 14.4

[解析] 14.由a8=a6+2a4,两边都除以a4,得q4=q2+2,即q4-q2-2=0?(q2-2)(q2+1)=0,∴q2=2. ∵a2=1,∴a6=a2q4=1×22=4.

15.(2014天津,11,5分)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为________.

[答案] 15.-

[解析] 15.S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6.故(2a1-1)2=a1×(4a1-6),解得a1=-.

16.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，11）正项等比数列

……

[答案] 16. 12 [解析] 16.

中，，则

.

17. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，12) 设等比数列的公比q=2，前n

项和为Sn，则= 。

[答案] 17.

[解析] 17. .

18. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，10）在等比数列

为等差数列，且[答案] 18.10

, 则数列

中，, 若

的前5项和等于___________.

[解析] 18. 由得(舍) 或。从而，所以.

19. (2014广东广州高三调研测试，9) 在等比数列[答案] 19.3

中，若，则_______.

[来源:Zxxk.Com][解析] 19. 由已知可得，所以，即.

成等差

20.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 12) 设等比数列的前项和为，若数列，且，其中，则的值为 ▲ ． [答案] 20. 129 [解析] 20. 设数列

，

的首项为，公比为，由已知得

，解得

或

，

，

，

当时，与矛盾，舍去，，

，解得，，

.

21. (2014重庆七校联盟, 12) 数列的前项和为，且，则的通项公式_____．

[答案] 21.

[解析] 21. 由，当时，，即，

数列是首项为1，公比为2的等比数列，.

22.(2014广州高三调研测试, 9) 在等比数列[答案] 22. 3 [解析] 22.

数列

为等比数列，

中，若，则 ．

，，，即.

23. (2014兰州高三第一次诊断考试, 16) 数列

，若

[答案] 23.

，则

.

的首项为1，数列为等比数列且

[解析] 23. 由，且，得，

，即，

，即

，

，，

数列为等比数列，

.

24.(2014浙江,19,14分)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=(列,且a1=2,b3=6+b2. (Ⅰ)求an与bn;

(n∈N*).若{an}为等比数

(Ⅱ)设cn=(i)求Sn;

-(n∈N*).记数列{cn}的前n项和为Sn.

(ii)求正整数k,使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn. [答案] 24.查看解析

[解析] 24.(Ⅰ)由题意a1a2a3…an=(,b3-b2=6,

知a3=(=8.

又由a1=2,得公比q=2(q=-2舍去),所以数列{an}的通项为an=2n(n∈N*),

所以,a1a2a3…an==()n(n+1).

故数列{bn}的通项为bn=n(n+1)(n∈N*).

(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知cn=-=-(n∈N*),

所以Sn=-(n∈N*).

(ii)因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0;

当n≥5时,cn=,

而-=>0,

得≤<1,

所以,当n≥5时,cn<0.

综上,对任意n∈N*,恒有S4≥Sn,故k=4.

25.(2014山东,19,12分)已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)令bn=(-1)n-1[答案] 25.查看解析

,求数列{bn}的前n项和Tn.

[解析] 25.(Ⅰ)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,

S4=4a1+×2=4a1+12,

由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12), 解得a1=1, 所以an=2n-1.

(Ⅱ)bn=(-1)n-1=(-1)n-1

=(-1)n-1

当n为偶数时,

.

Tn=-+…+-

=1-

=.

当n为奇数时,

Tn=-+…-+++=1+=.

所以Tn=

26.(2014天津,19,14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M=*0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n+. (Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;

(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an

[答案] 26.查看解析

[解析] 26.(Ⅰ)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3+.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.

(Ⅱ)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an

=所以s

-qn-1=-1<0.

27.(2014课标全国卷Ⅱ,17,12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.

(Ⅰ)证明是等比数列,并求{an}的通项公式;

(Ⅱ)证明++…+<.

[答案] 27.查看解析

[解析] 27.(Ⅰ)由an+1=3an+1得an+1+=3.

又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.

an+=,因此{an}的通项公式为an=.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知=.

因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.

于是++…+≤1++…+=<.

所以++…+<.

28. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，22) 已知数列｛

在直线

上，其中

.

｝中，, 点

（1）令，求证数列是等比数列;

（2）求数列的通项；

⑶ 设分别为数列的前项和，是否存在实数. 若不存在, 则说明理由.

，使得数列为

等差数列？若存在，试求出[答案] 28.查看解析

[解析] 28.解：（I）由已知得

又

是以为首项，以为公比的等比数列. 4分

（II）由（I）知，

将以上各式相加得：

8分

（III）解法一：

存在，使数列是等差数列.

数列是等差数列的充要条件是、是常数

即

又

当且仅当解法二：

，即时，数列为等差数列. 14分

存在，使数列是等差数列.

由（I）、（II）知，

又

当且仅当时，数列是等差数列. 14分

29. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，17) 已知等差数列是

与

的等比中项．

中，；

（Ⅰ）求数列的通项公式：

（Ⅱ）若．求数列的前项和

[答案] 29.查看解析

[解析] 29.（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，

又因为，设公差为，则，

所以，解得或，

当时, ，；

当时，.

所以或. （6分)

（Ⅱ）因为，所以，所以，

所以，

所以

两式相减得，

所以. （13分）

30.(2014湖北黄冈高三4月模拟考试，18) 已知数列

，等差数列

中

，且公差

的前项和

.

，，

（Ⅰ）求数列、的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得若不存在，说明理由. [答案] 30.查看解析

若存在，求出的最小值，

[解析] 30.（Ⅰ）时，相减得：

，又，，

数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.

又，，. （6分）

（Ⅱ）

令………………①

…………………②

①－②得：

，，即，当，，当。

的最小正整数为4. （12分）

31. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，19) 已知点

的图象上一点，等比数列

的首项为，且前项和

(Ⅰ) 求数列和的通项公式；

(Ⅱ) 若数列[答案] 31.查看解析

的前项和为，问的最小正整数是多少？

[解析] 31.解：(Ⅰ) 因为，所以，

所以，，

，

又数列是等比数列，所以，所以，

又 公比，所以，

因为，

又，所以，所以，

所以数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，，

所以，当时，，

所以. （6分）

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得

，（10分）

由得，满足的最小正整数为72. （12分）

[来源学*科*网Z*X*X*K]

32. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，20）设数列

，

.

的前项和为, 已知

(Ⅰ) 求的值；

(Ⅱ) 求数列的通项公式；

证明：对一切正整数，有[答案] 32.查看解析

.

[解析] 32.(Ⅰ) 依题意, , 又, 所以；(3分)

(Ⅱ) 当时, ,

两式相减得………(5分)

整理得, 即,

所以，(6分)

又因为且， 所以 ，

故数列是首项为, 公比为的等比数列,

所以, 所以.

(Ⅲ) 因为当时,

，(10分)

①当时, ；(考生易漏)

②当且为奇数时, 令(),

；

③当为偶数时, 令(),

此时，

综上, 对一切正整数, 有. (14分)

33. (2014广东广州高三调研测试，19) 已知数列满足，，.

(Ⅰ) 求证：数列为等比数列；

(Ⅱ) 是否存在互不相等的正整数

，，，使，，成等差数列，且，，

成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的[答案] 33.查看解析

，，；如果不存在，请说明理由.

[解析] 33.解：(Ⅰ) 因为，所以.

所以.

因为，则.

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，

假设存在互不相等的正整数

，所以

，，满足条件，

.

则有

由与，

得. （10分）

即.

因为，所以.

因为这与

，，互不相等矛盾.

，当且仅当时等号成立，

所以不存在互不相等的正整数，，满足条件. （14分）

34. (2014北京东城高三第二学期教学检测，20) 在数列且

成等差数列，

成等比数列（

，中，）.

，，

（Ⅰ）求论；

，，及，，，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结

（Ⅱ）证明：[答案] 34.查看解析

.

[解析] 34.（Ⅰ）由条件得，

由此可得.

猜测

用数学归纳法证明：

. （4分）

①当时，由上可得结论成立.

②假设当时，结论成立，即，

那么当时，

.

所以当时，结论也成立.

由①②，可知对一切正整数都成立. （7分）

（Ⅱ）因为.

当时，由（Ⅰ）知.

所以

.

综上所述，原不等式成立. (12分）

35.(2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，17) 数列

，等比数列

满足

.

满足

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

[答案] 35.查看解析

[解析] 35.（Ⅰ）由，所以数列是等差数列，又，

所以，

由，所以，，所以，即，

所以. （6分)

（Ⅱ）因为，所以，

则，

所以，

两式相减的，

所以. (12分）

36. （2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，20）已知各项均为正数的数列

, 且

, 其中

.

满足

(Ⅰ) 求数列的通项公式；

(Ⅱ) 设数列满足，是否存在正整数

的值；若不存在，请说明理由.

，使得成

等比数列？若存在，求出所有的[答案] 36.查看解析

[解析] 36.(Ⅰ) 因为, 即，

又, 所以有, 即,

所以数列是公比为的等比数列.

由得, 解得.

从而，数列的通项公式为. （6分）

(Ⅱ) =，若成等比数列，则，

即．由，可得，

所以，解得：。又，且，

所以，此时．

故当且仅当，. 使得成等比数列. （12分）

37.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，17）已知项

，前项和为

，数列

是等比数列，其中

是单调递增的等差数列，首

（1）求的通项公式；

（2）令

[答案] 37.查看解析

求的前20项和。

[解析] 37.

38. (2014广西桂林中学高三2月月考，20) 设数列的前项和为，对任意的正整数

，都有成立，记．

(Ⅰ) 求数列的通项公式；

(Ⅱ) 记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数

都有

[答案] 38.查看解析

[解析] 38.(Ⅰ) 当时，，即，

又，，所以，即，

所以数列呈等比数列，其首项为，公比，

所以，. （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

， （7分）

= ，（9分）

又

当

当

. （12分）

39.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，18）已知数列的前项和是，

且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设

的正整数的值． [答案] 39.查看解析

，，求使成立的最小

[解析] 39. （1） 当分

时，，由， ……………………1

当时，

∴是以为首项，为公比的等比数列． ……………………4分

故 …………………6分

（2）由（1）知，

………………8分

，

故使成立的最小的正整数的值. ………………12分

40. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，20) 已知数列

.

的前项和为，且

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，，

求使

[答案] 40.查看解析

恒成立的实数的取值范围.

[解析] 40.解：（I）由可得，………………………………………1分

∵， ∴，

∴，即， ……………………………………………3分

∴数列是以为首项，公比为的等比数列，∴. ………5分

（Ⅱ）…7分

∴ ………………………8分

由对任意恒成立，即实数恒成立；

设，，

∴当时，数列单调递减，时，数列单调递增；……………10分

又，∴数列最大项的值为

∴ ……………………………………………………………………12分

41.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，17)已知

为锐角，且，

函数

，数列

的首项，.

（1）求函数的表达式；（2）求数列的前项和．

[答案] 41.查看解析

[解析] 41. （1）由， 是锐角，

[来源学科网]

（2），

, （常数）

是首项为, 公比的等比数列, ，

∴

42.(2014湖北武汉高三2月调研测试，18) 已知数列{an}满足a1＞0，an＋1＝2－|an|，n∈N*． （Ⅰ）若a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；

（Ⅱ）是否存在a1，使数列{an}为等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．

[答案] 42.查看解析

[解析] 42.解：（Ⅰ）∵a1＞0，∴a2＝2－|a1|＝2－a1，a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|．

当0＜a1≤2时，a3＝2－(2－a1) ＝a1，∴a＝(2－a1) 2，解得a1＝1．

当a1＞2时，a3＝2－(a1－2) ＝4－a1，∴a1(4－a1) ＝(2－a1) 2，解得a1＝2－或a1＝2＋

．

（舍去）

综上可得a1＝1或a1＝2＋．……………………………………………………6分

（Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则

[来源:Zxxk.Com]由2a2＝a1＋a3，得2(2－a1) ＝a1＋(2－|2－a1|) ，即|2－a1|＝3a1－2． 当a1＞2时，a1－2＝3a1－2，解得a1＝0，与a1＞2矛盾；

当0＜a1≤2时，2－a1＝3a1－2，解得a1＝1，从而an＝1（n∈N*），此时{an}是一个等差数列；

综上可知，当且仅当a1＝1时，数列{an}为等差数列．………………………12分

43.(2014湖北八市高三下学期3月联考，18) 己知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列． （I）求数列{an}的通项公式；

（II）设Tn为数列最小值．

[答案] 43.查看解析

的前n项和，若Tn≤¨对恒成立，求实数的

[解析] 43. （Ⅰ）设公差为d. 由已知得……………………………3分

解得，所以………………………………6分

（Ⅱ），

………………………………9分

对恒成立，即对恒成立

又

∴的最小值为……………………………………………………………12分

44. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），18) 已知数列且，，

成等差数列.

前项和为，首项为，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（II）数列满足[答案] 44.查看解析

，求证：，

[解析] 44. （Ⅰ）成等差数列, ∴，

，

当时，,

两式相减得： .

所以数列是首项为，公比为2的等比数列，. （6分）

(Ⅱ) ， （8分）

，

. （12分）

45. (2014重庆七校联盟, 22) 设数列{an} 的前项和为，满足，

且，，成等差数列．

（Ⅰ）求，，的值；

[来源学科网]

（Ⅱ）求证：数列是等比数列

（Ⅲ）证明：对一切正整数，有[答案] 45.查看解析

．

[解析] 45. 解析 （Ⅰ）因为，，成等差数列，所以，

当时，，当时，，

解方程组得，，，． （3分）

（Ⅱ）由，得，

两式相减得，

．

，所以是首项为3，公比为3的等比数列．（7分）

（Ⅲ）由，又，，

，即．

，

，

所以当时，，，，，

两边同时相乘得，

所以．（12分）

46. (2014天津七校高三联考, 19) 已知数列项和．

满足，其中为数列的前

(Ⅰ) 求的通项公式；

(Ⅱ) 若数列满足： () ，求的前项和公式.

[答案] 46.查看解析

[解析] 46. (Ⅰ) ∵，①

∴ ②

②－①得，，又时，，，

. （5分）

(Ⅱ) ∵，

，

，

两式相减得，

. （13分）

47. (2014天津七校高三联考, 15) 已知{}是一个公差大于0的等差数列，且满足

（Ⅰ）求数列{}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}和等比数列{}满足等式：前项和. [答案] 47.查看解析

（为正整数）求数列{}的

[解析] 47. 解析 （Ⅰ）设等差数列的公差为，则依题设，

由，得 ①

由得 ② （3分）

由①得将其代入②得，

即，即，又，则代入①得，

. （8分）

（Ⅱ）由于数列，是等比数列，，，

，，

故数列的前项和为. （13分）

48. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，17) 已知数列

.

的前项和为，且

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和.

[答案] 48.查看解析

[解析] 48. 解析 （Ⅰ）当时，，，，

又当时，，. (6分）

（Ⅱ），

. （12分）

49. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 20) 已知各项均为正数的数列

，且

，其中

.

满足

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足是否存在正整数、（数列？若存在，求出所有的、的值，若不存在，请说明理由. [答案] 49.查看解析

），使得成等比

[解析] 49.：（Ⅰ）因为，即

又，所以有，即，

所以数列是公比为的等比数列，

由得，解得.

从而，数列的通项公式为. （6分）

（Ⅱ）=，若成等比数列，则，

即.

由，可得，

所以又

，且

，解得：，所以

，此时

.

.

故当且仅当，使得成等比数列. （13分）

50. (2014广州高三调研测试, 19) 已知数列{an}满足，，.

（Ⅰ）求证：数列为等比数列；

（Ⅱ）是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，

成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由. [答案] 50.查看解析

[解析] 50. 解析 （Ⅰ），，，

又，则，数列数首项为，公比为的等比数列. （5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ） 知数列的通项公式，，

假设存在弧不相等的正整数、、满足条件，则，

由与，

，即

，

，

，

，当且仅当

这与，，互不相等矛盾.

时取等号. （12分）

所以不存在互不相等的正整数，，满足条件. （14分）

51. (2014湖北黄冈高三期末考试) 等比数列成等差数列.

的前项和，已知，，，

（1）求数列的公比和通项；

（2）若是递增数列，令，求.

[答案] 51.查看解析

[解析] 51.（1）由已知条件得

或. (5分)

(2) 若是递增数列，则，

当时，；

当时，

(12分)

52. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 定义：如果数列一个三角形的三边长，则称使得

的任意连续三项均能构成

，如果函数

）.

为“三角形” 数列. 对于“三角形” 数列

是数列

仍为一个“三角形” 数列，则称的“保三角形函数” （

（Ⅰ）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函

数” ，求的取值范围；

（Ⅱ）已知数列明

的首项为2013，Sn是数列的前n项和，且满足4，证

是“三角形” 数列；

（Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数” ，问数列最多有多少项？

（解题中可用以下数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg2013≈3.304）

[答案] 52.查看解析

[解析] 52.解：（Ⅰ）显然，对任意正整数都成立，即是三角形数列.

因为，显然有< < < ……，

由< < 得，

解得< k< . 所以当k∈（1，）时，

是数列的保三角形函数. （3分）

（Ⅱ）由，得，，

两式相减得，所以，（5分）

经检验，此通项公式满足∴，

显然，

因为cn+1+cn+2=2013（）n+2013（）n+1=所以{cn}是三角形数列. （8分）

2013（）n-1> cn，

（Ⅲ）

所以{g（cn）}单调递减.

，

由题意知，①且②，

由①得，解得n< 27.4，

由②得，解得n< 26.4.

即数列{cn}最多有26项. （14分）

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