2015届高考数学(人教通用,理科)必考题型过关练：函数与导数第18

第18练 存在与恒成立问题

[内容精要] “存在”与“恒成立”两个表示范围的词语在题目问法中出现是近年高考的一大热点，其本质是“特称”与“全称”量词的一个延伸，弄清其含义，适当进行转化来加以解决．

题型一 不等式的恒成立问题

例1 已知函数f(x)＝ax－1－ln x，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，对?x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．

破题切入点 有关不等式的恒成立求参数范围的问题，通常采用的是将参数分离出来的方法． 1ax－1解 (1)在区间(0，＋∞)上，f′(x)＝a－＝，

xx

当a≤0时，f′(x)<0恒成立，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减； 11

当a>0时，令f′(x)＝0得x＝，在区间(0，)上，

aa1

f′(x)<0，函数f(x)单调递减，在区间(，＋∞)上，

af′(x)>0，函数f(x)单调递增．

综上所述：当a≤0时，f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)， 无单调递增区间；

1

当a>0时，f(x)的单调递减区间是(0，)，

a1

单调递增区间是(，＋∞)．

a

(2)因为函数f(x)在x＝1处取得极值， 所以f′(1)＝0，解得a＝1， 经检验可知满足题意．

由已知f(x)≥bx－2，即x－1－ln x≥bx－2， 1ln x

即1＋－≥b对?x∈(0，＋∞)恒成立，

xx1ln x令g(x)＝1＋－，

xx

11－ln xln x－2

则g′(x)＝－2－＝，

xx2x2

易得g(x)在(0，e2]上单调递减，在[e2，＋∞)上单调递增， 1

所以g(x)min＝g(e2)＝1－2，

e1

即b≤1－2. e题型二 存在性问题

例2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3. (1)求f(x)的解析式；

(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围． 破题切入点 (1)利用极值处导数为0及导数的几何意义求出f(x)．

(2)借助导数几何意义表示切线方程，然后分离参数，利用数形结合求m范围． 解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.

???f′?1?＝3a＋2b＋c＝0，?b＝0，

?依题意?? ?f′?－1?＝3a－2b＋c＝0，???3a＋c＝0.

又f′(0)＝－3，∴c＝－3，∴a＝1，∴f(x)＝x3－3x. (2)设切点为(x0，x30－3x0)，

2

∵f′(x)＝3x2－3.∴f′(x0)＝3x0－3.

2∴切线方程为y－(x30－3x0)＝(3x0－3)(x－x0)．

又切线过点A(2，m)．

2∴m－(x30－3x0)＝(3x0－3)(2－x0)． 2∴m＝－2x30＋6x0－6.

令g(x)＝－2x3＋6x2－6，

则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)， 由g′(x)＝0得x＝0或x＝2.

g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2. 画出草图如右图．

∴当－6

例3 已知a>0，函数f(x)＝ln x－ax2，x>0.(f(x)的图象连续不断) (1)求f(x)的单调区间；

3?1

(2)当a＝时，证明：存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝f??2?； 8

ln 3－ln 2ln 2(3)若存在均属于区间[1,3]的α，β，且β－α≥1，使f(α)＝f(β)，证明：≤α≤.

53破题切入点 考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，解不等式函数的零点等基础知

识，既有存在，又有恒成立问题．

1－2ax21

(1)解 f′(x)＝－2ax＝，x∈(0，＋∞)，

xx令f′(x)＝0，解得x＝2a

， 2a

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x) f(x) 所以f(x)的单调递增区间是?0，?0，2a? 2a??＋ 2a 2a0 极大值 ?2a，＋∞? ?2a?－ ?2a?2a?，f(x)的单调递减区间是?，＋∞. 2a??2a?11

(2)证明 当a＝时，f(x)＝ln x－x2.

88

由(1)知f(x)在(0,2)内单调递增，在(2，＋∞)内单调递减． 3?

令g(x)＝f(x)－f??2?， 由于f(x)在(0,2)内单调递增， 3?故f(2)>f??2?，即g(2)>0.

41－9e23

取x′＝e>2，则g(x′)＝<0.

232

3?所以存在x0∈(2，x′)，使g(x0)＝0，即存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝f??2?. (说明：x′的取法不唯一，只要满足x′>2，且g(x′)<0即可) (3)证明 由f(α)＝f(β)及(1)的结论知α<从而f(x)在[α，β]上的最小值为f(α)．

又由β－α≥1，α，β∈[1,3]，知1≤α≤2≤β≤3.

???f?2?≥f?α?≥f?1?，?ln 2－4a≥－a，?故即? ?f?2?≥f?β?≥f?3?，???ln 2－4a≥ln 3－9a.

2a

<β， 2a

ln 3－ln 2ln 2从而≤a≤.

53

总结提高 (1)存在与恒成立两个热点词汇在高考中频繁出现，关键要把握两个词语的本质：存在即特称量词，“有的”意思；恒成立即全称量词，“任意的”意思．

(2)解决这类问题的关键是转化与化归思想，转化为求解函数的最大值与最小值问题． (3)函数与方程思想的应用在求解参数范围中体现的淋漓尽致，将参数分离出来，另一侧设为函数，转化为求解另一侧函数的最大值和最小值问题．

1．(2013·课标全国Ⅱ)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( ) A．(－∞，＋∞) C．(0，＋∞) 答案 D

解析 ∵2x(x－a)<1， 1∴a>x－x.

21

令f(x)＝x－x，

2∴f′(x)＝1＋2xln 2>0.

－

B．(－2，＋∞) D．(－1，＋∞)

∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)>f(0)＝0－1＝－1，

∴a的取值范围为(－1，＋∞)，故选D.

a3

2．已知函数f(x)＝2ax3－3ax2＋1，g(x)＝－x＋，若任意给定的x0∈[0,2]，总存在两个不同

42的xi(i＝1,2)∈[0,2]，使得f(xi)＝g(x0)成立，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．[－1,1] 答案 A

解析 当a＝0时，显然不成立，故排除D； 当a>0时，注意到f′(x)＝6ax2－6ax＝6ax(x－1)， 即f(x)在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数， 3

又f(0)＝1<＝g(0)，

2

当x0＝0时，结论不可能成立；

进一步，可知a<0，此时g(x)在[0,2]上是增函数， 3a3

且取值范围是[，－＋]，

222

同时f(x)在0≤x≤1时，函数值从1增大到1－a， 在1≤x≤2时，函数值从1－a减少到1＋4a， 所以“任意给定的x0∈[0,2]， 总存在两个不同的xi(i＝1,2)∈[0,2]，

使得f(xi)＝g(x0)成立”

??f?x?的最大值>g?x?的最大值，

当且仅当?

?f?x?的最小值

?即?3

1＋4a<，?2

a31－a>－＋，

22

解得a<－1.

πx22

3．(2014·课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝3sin.若存在f(x)的极值点x0满足x20＋[f(x0)]

解析 ∵f(x)＝3sin

πx

的极值点即为函数图象中的最高点或最低点的横坐标，由三角函数的m

2πm

性质可知T＝＝2m，∴x0＝＋km(k∈Z)．假设不存在这样的x0，即对任意的x0都有x20＋π2

mm333

[f(x0)]2≥m2，则(＋km)2＋3≥m2，整理得m2(k2＋k－)＋3≥0，即k2＋k－≥－2恒成立，244m33

因为y＝k2＋k－的最小值为－(当k＝－1或0时取得)，故－2≤m≤2，因此原特称命题成

44立的条件是m>2或m<－2.

4．(2014·山东)已知实数x，y满足ax

A.2>2 x＋1y＋1C．sin x>sin y 答案 D

1

解析 因为0y.采用赋值法判断，A中，当x＝1，y＝0时，<1，A不

2成立．B中，当x＝0，y＝－1时，ln 1

C．cos x≥1－x2

2

B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1) D．x3>y3

B.

111

≤1－x＋x2

241＋x

1

D．ln(1＋x)≥x－x2

8

∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点， 2

∴φ(x)的最大值为φ(1)＝. 3

又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知 2

①当m>时，函数g(x)无零点；

3

2

②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；

32

③当0

3④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点． 2

综上所述，当m>时，函数g(x)无零点；

3

2

当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；

32

当0

3f?b?－f?a?

(3)对任意的b>a>0，<1恒成立，

b－a等价于f(b)－b

设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋－x(x>0)，

x∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减． 1m

由h′(x)＝－2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，

xx11

得m≥－x2＋x＝－(x－)2＋(x>0)恒成立，

24111

∴m≥(对m＝，h′(x)＝0仅在x＝时成立)，

4421

∴m的取值范围是[，＋∞)．

4

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