3、立体几何初步高中一轮复习
更新时间：2024-05-17 20:37:01 阅读量： 综合文库 文档下载
（震撼推荐）2010届高三数学一轮复习必备精品
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
第三章 立体几何初步
考纲导读
1．理解平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系． 2．了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系．
3．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握三垂线定理及其逆定理．
4．掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．
5．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念．
6．了解棱柱，棱锥的概念；了解棱柱，棱锥的性质；会画其直观图． 7．了解球的概念；掌握球的性质；掌握球的表面积、体积公式． 知识网络 平面
三个公理、三个推论 平行直公理4及等角定理 异面直相交直
异面直线所成的角 异面直线间的距离 概念、判定与性质 垂斜距离
两个平面平行的判定与性质
三垂线定理 直线与平面所成的角
空间两条直
直线、何平体面、简单几空间直线 与平面
直线在平面内 直线与平面平直线与平面相两个平面平行
空间两个平面
两个平面相
交 定义及有关概念
棱柱 棱锥 球 性质 面积公式 体积公式 正多面体 多面体
二面角
两个平面垂直的判定与性质
综合应用
高考导航 本章的定义、定理、性质多，为了易于掌握，可把主要知识系统化．首先，归纳总结，理线串点，可分为四块：A、平面的三个基本性质，四种确定平面的条件；B、两个特殊的位置关系，即线线，线面，面面的平行与垂直．C、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离，即两点距、两线距、线面距、面面距．
1
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙．
再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决，化几何问题为坐标化解决，自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果．
第1课时 平面的基本性质
基础过关 公理1 如果一条直线上的 在同一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)．
公理2 如果两个平面有 个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 (证明多点共线的依据)．
公理3 经过不在 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)． 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面． 推论2 经过两条 直线，有且只有一个平面． 推论3 经过两条 直线，有且只有一个平面． 典型例题 例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M．
D1 C1
求证：点C1、O、M共线．
证明：
A1A∥CC1?确定平面A1C A1C?面A1C ?O∈面A1C? O∈A1C
A1 B1 D 面BC1D∩直线A1C＝O ?O∈面BC1D C O在面A1C与平面BC1D的交线C1M上 M ∴C1、O、M共线 A B
变式训练1：已知空间四点A、B、C、D不在同一平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行． 提示：反证法．
例2. 已知直线l与三条平行线a、b、c都相交．求证：l与a、b、c共面． 证明：设a∩l＝A b∩l＝B c∩l＝C a∥b? a、b确定平面α ?l?β A∈a, B∈b
b∥c?b、c确定平面β 同理可证l?β
所以α、β均过相交直线b、l? α、β重合? c?α ?a、b、c、l共面
变式训练2：如图，△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面α于P、Q、R点．求证：P、Q、R共线． A
B 证明：设平面ABC∩α＝l，由于P＝AB∩α，即P＝平面ABC∩α＝l，
C 即点P在直线l上．同理可证点Q、R在直线l上． α ∴P、Q、R共线，共线于直线l． P R Q 例3. 若△ABC所在的平面和△A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证： (1) AB和A1B1、BC和B1C1分别在同一个平面内；
(2) 如果AB和A1B1，BC和B1C1分别相交，那么交点在同一条直线上．
O 2
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
O A
B
A B CC
证明：(1) ∵AA1∩BB1＝0，∴AA1与BB1确定平面α，又∵A∈a，B∈α，A1∈α，B1∈α，∴AB?α，A1B1?α，∴AB、A1B1在同一个平面内
同理BC、B1C1、AC、A1C1分别在同一个平面内
(2) 设AB∩A1B1＝X，BC∩B1C1＝Y，AC∩A1C1＝Z，则只需证明X、Y、Z三点都是平面A1B1C1与ABC的公共点即可．
变式训练3：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点， 求证：(1) E、C．D1、F四点共面； D1 C1 (2) CE、D1F、DA三线共点．
A1 证明(1) 连结A1B 则EF∥A1B A1B∥D1C B1 ∴EF∥D1C ∴E、F、D1、C四点共面 (2) 面D1A∩面CA＝DA ∴EF∥D1C 且EF＝
12F
D E
B
D1C
A
C
∴D1F与CE相交 又D1F?面D1A，CE?面AC ∴D1F与CE的交点必在DA上 ∴CE、D1F、DA三线共点．
例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内．
证明：(1) 若a、b、c三线共点P，但点p?d，由d和其外一点可确定一个平面α 又a∩d＝A ∴点A∈α ∴直线a?α 同理可证：b、c?α ∴a、b、c、d共面 (2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点 ∵a∩b＝Q ∴a与b可确定一个平面β 又c∩b＝E ∴E∈β
同理c∩a＝F ∴F∈β
∴直线c上有两点Ｅ、Ｆ在β上 ∴c?β 同理可证：d?β 故a、b、c、d共面
由(1) (2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面
变式训练4：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么? ?解：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面?内，则A、B、C、D??.由公理1知AC???,BD??.
这与已知AB与CD异面矛盾，所以假设不成立,即AC、BD一定是异面直线。 小结归纳 1．证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面．
2．证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合． 3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点．
3
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
第2课时 空间直线
基础过关
1．空间两条直线的位置关系为 、 、 ． 2．相交直线 一个公共点，平行直线 没有公共点， 异面直线：不同在任 平面，没有公共点．
3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 ．
4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 ． 5．异面直线的判定定理
过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线) 6．异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离．
典型例题 例1. 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝AC＝BC＝BD＝a，AB＝CD＝b，E、F分别是AB、CD的中点．
(1) 求证：EF是AB和CD的公垂线； (2) 求AB和CD间的距离． 证明：(1) 连结CE、DE
AC?BC??AD?BD??AE?BE??A E
AB?CE??AB?DE??AB⊥面CDE
B
∴AB⊥EF 同理CD⊥EF ∴EF是AB和CD的公垂线 (2) △ECD中，EC＝∴EF＝
a22D F
a2?b4＝ED C
?b22
3变式训练1：在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝BC所成角的大小．
解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中 EF＝∴∠EGF＝120° ∴AD与BC成60°的角。
例2. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC， 且?ASB＝?BSC＝?CSA＝
?2，求AD、
3 FG＝EG＝1
S N C
B M
A ，M、N分别是AB和SC的中点．
求异面直线SM与BN所成的角．
证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角 连结BQ，设SC＝a，在△BQN中 BN＝
52a NQ＝SM＝
2124a BQ＝
2144
a
∴COS∠QNB＝
BN2?NQ2?BQ2BN?NQ?105
4
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
105∴∠QNB＝arc cos
变式训练2：正?ABC的边长为a，S为?ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．
(1) 求异面直线SC和AB的距离； (2) 求异面直线SA和EF所成角． 答案：(1)
22a (2) 45°
D1 A1 M D A
N
C B
C1 B1 P
例3. 如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P 分别为A1B1、BB1、CC1的中点．
(1) 求异面直线D1P与AM，CN与AM所成角； (2) 判断D1P与AM是否为异面直线？若是，求其距离． 解：(1) D1P与AM成90°的角 CN与AM所成角为arc cos2.
5(2) 是．NP是其公垂线段, D1P与AN的距离为1. 变式训练3：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中， ∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点， 若BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角． B
C
M N A
B A
C
解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG， 易证∠GNA就是BM与AN所成的角． 设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝cos∠GNA＝
6?5?52?6?5?30105，GN＝B1M＝
6，
。
P E A M B
C F D
例4．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底 面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM＝EF．
(1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
(2) 若PA＝3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值． （1）证明：∵EF∥CD AM∥CD
∴ AM∥EF，又AM＝EF ∴ AMFE为平行四边形 ∵ AB⊥PA，AB⊥AD ∴ AB⊥面PAD ∴ AB⊥AE，又AE∥MF，∴ AB⊥MF 又∵AE⊥PD CD⊥AE ∴ AE⊥面PCD
∴ AE⊥PC ∴ MF⊥PC ∴ MF为AB与PC的公垂线．
5
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
A B C
解：(1)
30D
(2)略．
11(3)因VA－DBC＝(DC×BD)×OA＝6
323，
又VD－ABC＝
13(AB×AC)×d＝
2115d，
655VA－BCD＝VD－ABC，则
15d＝6
3，解得d＝
.
例4：如图，棱长为4的正方体AC1，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP． (1) 求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小；
C1 D1 (2) 设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H?AP；
O A1 B1 (3) 求点P到平面ABD1的距离．
H 417答案： (1) ∠APB＝arctan P
17D C (2) AP在面AC上的射影为AC 又AC⊥BD ∴PA⊥BD 而BD∥B1D1 ∴B1D1⊥AP
而B1D1在平面D1AP上的射影为D1H ∴D1H⊥AP
(3) 面ABD1⊥面BC1 过P作PM⊥BC1于M 则PM＝322A
B
变式训练4：三棱锥V－ABC的三条侧棱VA、VC两两垂直，顶点V在底面内的射影是H． (1) 求证H是△ABC的垂心； (2) S?ABV?S?ABHS?ABC．
V
2C A E H B
D
(1) 证明：连结AH交BC于D点，连接CH交AB于E点， ∵VA⊥VB，VA⊥VC，VB∩VC＝V，
∴VA⊥VBC面，又BC?VBC面，∴BC⊥VA． ∵VH⊥ABC面，BC?ABC面，
∴BC⊥VH，又VA∩VH＝A，∴BC⊥VHA面．
11
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
又AD?VHA面，∴AD⊥BC，同理可得CE⊥AB， ∴H是△ABC的垂心．
(2) 连接VE，在Rt△VEC中，VE2＝EH×EC
14AB2×VE2＝AB2×EH×EC，
412即S?ABV?S?ABHS?ABC．
小结归纳 线面垂直的判定方法：(1) 线面垂直的定义； (2)判定定理；
(3) 面面垂直的性质； (4) 面面平行的性质：若?∥?，a⊥?则a ⊥?
第5课时 三垂线定理
基础过关
1．和一个平面相交，但不和这个平面
的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做 ．
2．射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影； (2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 ． 斜线上任意一点在平面上的射影一定在 ．
垂线在平面上的射影只是 ．
直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线． 3．如图，AO是平面?斜线，A为斜足，OB⊥?，B
O
为垂足，AC??，∠OAB＝?，?BAC＝?，
12∠OAC＝?，则cos?＝ ． 4．直线和平面所成的角
平面的斜线和它在这个平面内的 所成
A B
C 的 叫做这条直线和平面所成角．
斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 ．
5．三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和 垂直．
逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条 垂直． 典型例题 例1. 已知Rt?ABC的斜边BC在平面?内，A到?的距离2，两条直角边和平面?所成角分别是45°和30°．求：(1) 斜边上的高AD和平面?所成的角； (2) 点A在?内的射影到BC的距离． 答案：(1) 60° (2)
233
变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB，塔顶A到道路距离为AC，且测得∠BCA＝30°，在道路上取一点D，又测得CD＝30m，∠CDB＝45°．求电塔AB的高度． A 解：BC＝30，AB＝BC tan30°＝10
3
C D B 12
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
例2．如图，矩形纸片A1A2A3A4，B、C、B1、C1 分别为A1 A4、A2A3的三等分点，将矩形片沿 BB1，CC1折成三棱柱，若面对角线A1B1?BC1；
A2 B1 C1
求证：A2C?A1B1．
解：取A2B1中点D1 ∵A2C1＝B1C1 ∴C1D1⊥A2B1 又A1A2⊥面A2B1C1 ∴C1D1⊥A1A2
∴C1D1⊥面A1A2B1B ∴BD1是BC1在面A2B上的射影 由A1B1⊥BC1 ∴BD1⊥A1B1
取A1B中点D 同理可证A2D是A2C在面A2B上的射影 ∵A2DBD1 ∴A2DBD1是平行四边形 由BD1⊥A1B1 ∴A1B1⊥A2D ∴A2C⊥A1B1
变式训练2：如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长(1) PC和NC的长；
(2) 平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)大小． 解：将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面
M
AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，
连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线
A
设PC＝x，则P1C＝x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得x＝2 ∴PC＝P1C＝2 ∵
NCMA?P1CP1A?25A2 B1 C1
A1 B C
A1 B
C
29，设这条最短路线与CC1交点N，求：
A1 B1
N P
C C1
∴NC＝
54B
(2) 连接PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，连结CH，由三垂线定理得CH⊥PP1
∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成的平面角(锐角) 在Rt△PHC中 ∵∠PCH＝∴CH＝
PC212∠PCP1＝60°
＝1
45在Rt△PHC中 tanNHC＝
4A1 5D1 C1 故平面NMP与平面ABC所成二面角大小为arctan 例3.如图在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， 点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点． (1) 试确定点F的位置，使得D1E?面AB1F； (2) 当D1E?面AB1F时，求二面角C1－EF－A大小． 解：(1) 连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A1内的射影
∵AB1⊥A1B ∴D1E⊥AB1
13
B1 A B
F E
C
D
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
于是D1E⊥平面AB1F ?D1E⊥AF
连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影 ∴D1E⊥AF?DE⊥AF
∵ABCD是正方形，E是BC的中点 ∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF
即当点F是CD的中点时，D1E⊥面AB1F
(2) 当D1E⊥平面AB1F时，由(1) 知点F是CD的中点，又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD连AC，设AC与EF交点H，则CH⊥EF，连C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影 ∴C1H⊥EF
即∠C1HC是二面角C1－EF－C的平面角 在Rt△C1HC中 ∵C1C＝1 CH＝∴tan∠C1HC＝
C1CCH?2214AC＝
24
∴∠C1HC＝arctan 2
2
∴∠AHC1＝π－arctan22
变式训练3：正方体ABCD－A1B1C1D1中棱长a，点P在AC上，Q在BC1上，AP＝BQ＝a， (1) 求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值； (2) 求证：PQ⊥AD．
(1) 解：过Q作QM∥CC1交BC于M 则QM⊥面ABCD ∴∠QPM就是所求角 ∵
CPACBQBC1?BMBC即
BMBC?a2a ∴CMCPACBC?2a?a2a
?2a?a2a ∴CMBC? ∴PM∥AB
2?12a在Rt△PQM中 PM＝ QM＝
22a
2a∴tan∠QPM＝
QMPM＝
22?12a＝
2＋1
(2) 由(1) 可知PM⊥BC PQ在面ABCD内的射影是PM. ∴PQ⊥BC 又AD∥BC ∴PQ⊥AD
例4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动． (1) 证明：D1E⊥A1D；
(2) 当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； (3) AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为
DA
D A E
BC
B
C
?4．
(1) 证明：∵ AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E．
14
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
5(2) 设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC＝CD1＝而S?ADC＝·AE·BC＝
2112，AD1＝
2，S?AD1C＝·2·5?2112＝
32，
．
13∴VD1?ABC＝
132213S?ABC·DD1＝
1S?AD1C·h
∴×1＝×h， ∴h＝
3(3) 过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1－EC－D的平面角．设AE＝x，则BE＝2－x 在Rt△D1DH中，∵∠DHD1＝∵在Rt△ADE中，DE＝则x＋
31?x2?4，∴DH＝1
3，∴在Rt△DHE中，EH＝x，在Rt△DHC中，CH＝
3，CE＝
x?4x?52，
＝
x?4x?52，解得x＝2－．
?4即当x＝2－
3时，二面角为D1－EC－D的大小为
．
2变式训练4：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD＝a，PA＝PC＝(1) 求证：PD⊥面ABCD；
(2) 求直线PB与AC所成角； (3) 求二面角A－PB－D大小．
证明：(1) ∵PC＝2a PD＝DC＝a ∴PD2＋DC2＝PC2
∴△PDC是直角三角形 ∴PD⊥DC 同理PD⊥DA 又∵DA∩DC＝D ∴PD⊥平面ABCD
(2) 连BD ∵ABCD是正方形 ∴AC⊥BD 又∵PD⊥平面ABCD AC⊥PB(三垂线定理) ∴PB与AC所成角为90° (3) 设AC∩BD＝0 作AE⊥PB于E，连OE ∵AC⊥BD PD⊥平面ABCD AC?面ABCD ∴PD⊥AC ∴AC⊥平面PDB 又∵OE是AE在平面PDB内的射影 ∴OE⊥PB
∴∠AEO就是二面角A－PB－O的平面角 又∵AB＝a PA＝2a PB＝3a ∵PD⊥面ABCD DA⊥AB ∴ PA⊥AB 在Rt△PAB中 AE·PB＝PA·AB ∴AE＝
63aa．
P D A
B
C
AO＝
3222a
∴sin∠AEO＝ 小结归纳
∴∠AEO＝60°
15
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
1．求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作)，二证，三算．寻找直线在平面内的射影是关键，基本原理是将空间几何问题转化为平面几何问题，主要转化到一个三角形内，通过解三角形来解决．
2．三垂线定理及逆定理，是判定两条线互相垂直的重要方法，利用它解题时要抓住如下几个环节：一抓住斜线，二作出垂线，三确定射影．
３．证明线线垂直的重要方法：三垂线定理及逆定理；线⊥面?线⊥线；向量法．
第6课时 平面与平面平行
基础过关
1．两个平面的位置关系： 2．两个平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (记忆口诀：线面平行，则面面平行)
3、两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的 平行． (记忆口诀：面面平行，则线线平行)
4．两个平行平面距离
和两个平行平面同时 的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的 ，两个平行面的公垂线段的 ，叫做两个平行平面的距离． 例1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点． (1) 求证：平面AMN∥平面EFDB；
D1 F C1 (2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值． N M B1 E A1 解：(1) 易证EF∥B1D1 MN∥B1D1 ∴EF∥MN AN∥BE 又MN∩AN＝N EF∩BE＝E
∴面AMN∥面EFDB
(2) 易证MN∥BD ∴∠AMN为AM与BD所成角 易求得 cos∠AMN＝
1010典型例题 D A B
C
A O β D B C 变式训练1：如图，?∥?，AB交?、?于A、B， CD交?、? 于C、D，AB?CD＝O，O在两平面之间， AO＝5，BO＝8，CO＝6．求CD． 解：依题意有AC∥DB ∴OD＝
485AOOB?COOD785α 即
58?6OD
∴CD＝
485＋6＝
例2 . 已知平面?∥平面?，AB、CD是夹在平面?和平面?间的两条线段，点E、F分别在AB、CD上，且
AEEB?CFFD?mn．求证：EF∥?∥?．
证明：1°若AB与CD共面，设AB与CD确定平面γ，则α∩γ＝AC β∩γ＝BD
16
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
EB?CFFD∵α∥β ∴AC∥BD 又∵AE∴EF∥AC∥BD ∴EF∥α∥β
2°若AB与CD异面，过A作AA'∥CD 在AA'截点O，使
AOOA'1?AEEB?CFFD?mn
∴EO∥BA' OF∥A'D
∴平面EOF∥α∥β ∴EF与α、β无公共点
∴EF∥α∥β
变式训练2：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点． 求证：(1) AP?MN；
(2) 平面MNP∥平面A1BD．
证明：(1) 连BC1 易知AP在BCC1B1内射影是BC1 BC1⊥MN ∴AP⊥MN (2) ∵
PN//BD???A1B//PM?面MNP∥面A1BD
例3.已知a和b是两条异面直线．
(1) 求证：过a和b分别存在平面α和β，使α∥β； (2) 求证：a、b间的距离等于平面α与β的距离．
(1) 在直线a上任取一点P，过P作b'∥b，在直线b上取一点Q 过Q作a'∥a 设a, b'确定一个平面α a', b确定平面β a'∥a a?α ∴a'∥α 同理b∥α 又a'、b?β ∴α∥β
因此，过a和b分别存在两个平面α、β
(2) 设AB是a和b的公垂线，则AB⊥b，AB⊥a ∴AB⊥a' a'和b是β内的相交直线，∴AB⊥β 同理AB⊥α 因此，a, b间的距离等于α与β间的距离．
变式训练3：如图，已知平面α∥平面β，线段PQ、PF、QC分别交平面α于A、B、C、点，交平面β于D、F、E点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC的面积是72，试求△DEF的面积．
P A C B α E D F Q
β
PAPA?AD解：平面α∥平面β，∴AB∥DF，AC∥DE， ∴∠CAB＝∠EDF．在△PDF中，AB∥DF，DF＝
AB＝
73AB，同理DE＝
47AC．
17
1432 taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
S△DEF＝DF·DE sin∠EDF＝S△ABC＝96．
例4.如图，平面?∥平面?，?ABC．?A1B1C1分别在?、?内，线段AA1、BB1、CC1交于点O，O在?、
?之间，若AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，OA:OA1＝3:2．
求?A1B1C1的面积．
解：∵α∥β AA1∩BB1＝O ∴AB∥A1B1 同理AC∥A1C1 BC∥B1C1
∴△ABC∽△A1B1C1 S△ABC＝1AB·AC·sin60°＝
232α B
β C1 A1 O A C
ABA1B1?OAOA1?32 ∴
S?ABCS?A1B1C1?94
B1
∴S?A1B1C1＝
239变式训练4：如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝点E是PD的中点．
（1）证明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；
（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值． （1）证：因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°， 所以AB＝AD＝AC＝a，
在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2知PA⊥AB， 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD． 因为PB＝PD＋DC＋CB＝2ED＋DC＋DA ＝(ED＋DA)＋(ED＋DC)＝EA＋EC ∴ PB、EA、EC共面．
PB?平面EAC，所以PB∥平面EAC．
A B C
E D
P 2a，
（2） 解：作EG∥PA交AD于G，由PA∥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角． 又E是PD的中点，从而G是AD的中点，EG＝所以tanθ＝23312a，AG＝
12a，GH＝AG sin 60°＝
34a，
．
小结归纳 1．判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理． 2．正确运用两平面平行的性质．
3．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线?线∥面?面∥面．
第7课时 两个平面垂直
基础过关
1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直． 2．两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直． 3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直
18
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
于另一个平面．
4．异面直线上两点间的距离公式：EF＝
d2?m2?n?2mncos?2，其中：d是异面直线a、b的 ，θ
为a、b ，m、n分别是a、b上的点E、F到 AA'与a、b的交点A，A'的距离． 例1 如图所示，在四面体S－ABC中，SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°． 求证：平面ABC⊥平面BSC．
A B S
D C
证明：略
变式训练1：如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC． ⑴ 求证：AB⊥BC；
⑵ 若设二面角S－BC－A为45°，
SA＝BC，求二面角A－SC－B的大小． 证明：(1) 作AH⊥SB于H，则AH⊥平面SBC ∴AH⊥BC， 又SA⊥BC ∴BC⊥平面SAB ∴BC⊥AB
S C B
A (2) ∠SBA是二面角S－BC－A的平面角，∠SBA＝45°，作AE⊥SC于E，连结EH，EH⊥SC，∠AEH为所求二面角的平面角，∠AEH＝60° 例2.在120°的二面角P－a－Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B，已知点A和点B到棱a的距离分别是2和4，且线段AB＝10，求： (1) 直线AB和棱a所成的角； (2) 直线AB和平面Q所成的角． 答案：(1) arc sin
75 (2) arc sin
310
变式训练2：已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，点E为AB中点，点F为PD中点．
（1） 证明：平面PED⊥平面PAB；
（2） 求二面角P－AB－F的平面角的余弦值． （1）证明：连BD．∵AB＝AD，∠DAB＝60°，
∴△ADB为等边三角形，∴E是AB中点．∴AB⊥DE，∵PD⊥面ABCD，AB?面ABCD，∴AB⊥PD． ∵DE?面PED，PD?面PED，DE∩PD＝D，
∴AB⊥面PED，∵AB?面PAB．∴面PED⊥面PAB．
（2）解：∵AB⊥平面PED，PE?面PED，∴AB⊥PE．连结EF，∵ EF?面PED，∴AB⊥EF． ∴ ∠PEF为二面角P－AB－F的平面角． 设AD＝2，那么PF＝FD＝1，DE＝在△PEF中，PE＝
23．
7
，EF＝2，PF＝1
2∴cos∠PEF＝
(7)?2?12?27?5714
19
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
5714即二面角P－AB－F的平面角的余弦值为．
例3.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P－CD－B为45°．
⑴ 求证：AF∥平面PEC；
⑵ 求证：平面PEC⊥平面PCD；
⑶ 设AD＝2，CD＝22，求点A到面PEC的距离．
证明：(1) 取PC的中点G，易证EG∥AF，从而AF∥平面PEC
B P F A E D
C (2) 可证EG⊥平面PCD
(3) 点A到平面PEC的距离即F到平面PEC的距离，考虑到平面PEC⊥平面PCD，过F作FH⊥PC于Ｈ，则FH即为所求，由△PFH～△PCD得FH＝1
变式训练3：如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
⑴ 证明：AB⊥平面VAD；
⑵ 求面VAD与面VDB所成的二面角的大小． （1）证明：
平面VAD⊥平面ABCD AB⊥AD AB?平面ABCD
AD＝平面VAD∩平面ABCD
（2）解：取VD的中点E，连结AE、BE． ∵△VAD是正三角形，∴AE⊥VD，AE＝∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE． 又由三垂线定理知BE⊥VD． 于是tan ∠AEB＝
ABAEV C
D
?AB⊥平面VAD
A B
32AD．
＝
233,
233即得所求二面角的大小为arc tan
例4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB＝3，AB＝4，∠A1AB＝60°.
⑴ 求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1；
⑵ 求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值； (3) 求点C1到平面A1CB的距离． 证( 1) 因为四边形BCC1B1是矩形， 又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A1ABB1． （2）过A1作A1D⊥B1B于D，连结DC， ∵BC⊥平面A1ABB1，∴BC⊥A1D． ∴ A1D⊥平面BCC1B1，
故∠A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角， 在矩形BCC1B1中，DC＝
13A1 C1 B1
A
C B
，因为四边形A1ABB1是菱形．
3∠A1AB＝60°，CB＝3，AB＝4，∴ A1D＝2
20
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
A1DCD?23913∴ tan∠A1CD＝
．
（3）∵ B1C1∥BC，∴B1C1∥平面A1BC．
∴ C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离．
连结AB1，AB1与A1B交于点O，∵四边形A1ABB1是菱形，∴B1O⊥A1B． ∵ 平面CA1B⊥平面A1ABB1，∴B1O⊥平面A1BC， ∴ B1O即为C1到平面A1BC的距离． ∵B1O＝2
3 ∴ C1到平面A1BC的距离为2
3．
变式训练4：如果在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
⑴ 若G为AD边的中点，求证BG⊥平面PAD； ⑵ 求证AD⊥PB；
⑶ 求二面角A－BC－P的大小；
⑷ 若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F， 使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论． 答案 (1) 略 (2) 略 (3) 45° (4) F为PC的中点
A P G D B
C
小结归纳 在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键．
第8课时 空间的角
基础过关
1．两异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间一点O分别引直线a' a，b' b，把直线a'和b'所成的 或 叫做两条异面直线a、b所成的角，其范围是 ．
2．直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 角，叫做这条斜线和平面所成的角．
规定： ① 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 角；② 一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是 角．
其范围是 ．
公式：cosθ＝cosθ1cosθ2，其中，θ1是 ，θ2是 ，θ是 ．
3．二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角．
4．二面角的平面角：以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是 ．
典型例题 例1. 如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点． （1）求EF与平面PAD所成角的大小； P
21
F A E B D
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
（2）求EF与CD所成角的大小； （3）若∠PDA＝45°，求：二面角F—AB—D的大小． 解：(1)易知EF∥平面PAD，故EF与平面PAD成角为0°；
(2)易知EF⊥CD，故EF与CD成角为90°；
(3)取AC中点为0，则∠FEO为所求二面角的平面角，易求得∠FEO＝45°． D1 变式训练1：如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，若二面角C1 —BD—C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成 的角的大小． 答案：arccos
55C1
B1 A1
A 15D C
例2. 在等腰梯形ABCD中，AB＝20，CD＝12，它的高为2
B
，以底边的中垂线MN为折痕，将梯形
MBCN折至MB1C1N位置，使折叠后的图形成120°的二面角，求： ⑴ AC1的长； D N C C⑵ AC1与MN所成的角； ⑶ AC1与平面ADMN所成的角． 答案：(1) 16 (2) arcsin (3) arcsin387316
A M B B变式训练2：已知四边形ABCD内接于半径为R的⊙O，AC为⊙O的直径，点S为平面ABCD外一点，
S 且SA⊥平面ABCD，若∠DAC＝∠ACB＝∠SCA＝30°，求： ⑴ 二面角S－CB－A的大小；
⑵ 直线SC与AB所成角的大小． 答案：(1) arctan233D C O A (2) arccos
34
B 例3. △ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°．求： ⑴ AD与平面DBC所成的角； ⑵ 二面角A－BD－C的正切值．
A 解：(1) 作AE⊥BC交BC的延长线于E，
由面ABC⊥面BCD知AE⊥向BCD，∠ADE即为所求，求得∠ADE＝45°
(2) 作EF⊥BO于F，∠AFE即为所求，求得tan∠AFE＝2
D 变式训练3：正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC中点． B B⑴ 求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1； ⑵ 求证：AB1∥平面BEC1； ⑶ 若A1AAB?22B C ，求二面角E－BC1－C的大小．
A E
C AC
答案：(1) 略 (2) 略 (3) 45°
例4: 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，AA1＝2AB，M为CC1上的点.(1) 当M在C1C上的什么位置时，B1M与平面AA1C1C所成的角为30°； (2) 在(1)的条件下，求AM与A1B所成的角. 解(1) 取A1C1的中点N1，连结B1N1，N1M， 由已知易知B1N1⊥平面A1C1CA.
∴∠B1MN1为B1M与平面A1C1CA所成的角， 设C1M＝x，B1N1＝
22C B M C1 B1 A1
a.
A
22
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
B1N1B1M?22/x2sin < B1MN1＝
?a2?12, 解得x＝a，
B E A A B E
D
F
C C F D 则C1M＝1C1C, ∴M为C1C的中点.
2(2) arccos
1515
变式训练4：已知正方形ABCD，E、F分别是边AB、 CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二 面角A—DE—C的大小为?(0????)，若△ACD 为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G 是否在直线EF上，证明你的结论，并求角?的余弦值． 解：点A在平面BCDE内的射影在直线EF上， 过点A作AG⊥平面BCDE，垂足为G， 连结GC、GD． ∵△ACD为正三角形，
∴AC＝AD，∴GC＝GD，
∴G在CD的垂直平分线上，又∵EF是CD的垂直平分线，
∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE．∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG＝?，
设原正方形ABCD的边长为2a，由直角三角形的射影定理， 可得AH＝∴cos??GHAH2a5?，GH＝
14a25，
．
小结归纳 1．两异面直线所成角的作法：
① 平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线；
② 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的是容易作出两条异面直线所成的角．
2．作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影． 3．平面角的作法：
① 定义法；② 三垂线法；③ 垂面法．
4．二面角计算，一般是作出平面角后，通过解三角形求出其大小，也可考虑利用射影面积公式 S'＝Scosθ来求．
5．空间角的计算有时也可以利用向量的求角公式完成．
第9课时 空间距离
基础过关
1．点与点的距离：两点间 的长．
2．点与线的距离：点到直线的 的长． 3．平行线间的距离：从两条平行线中一条上 一点向另一条引垂线，这点到 之间的线段长．
23
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
4．点与面的距离：点到平面的 的长．
5．平行于平面的直线与平面的距离：直线上 一点到平面的 的长．
6．两个平行平面间的距离：从其中一个平面上 一点向另一个平面引垂线，这点到 之间的线段长．
7．两条异面直线的距离：与两条异面直线都 的直线夹在两 间线段的长． 典型例题 例1. 已知正六边形ABCDEF的边长为a，PA⊥平面AC，PA＝a．求： ⑴ P到直线BC的距离； ⑵ P到直线CD的距离． 答案：(1)
72a (2) 2a
变式训练1： 已知平面?外不共线的三点A、B、C到α的距离相 等．求证：存在△ABC的一条中位线平行α或在α内． 提示：分A、B、C在?的同侧与异侧讨论
例2．如图， 直线l上有两定点A、B， 线段AC⊥l，BD⊥l， AC＝BD＝a，且AC与BD成120°角，求AB与CD间的距离． 解：在面ABC内过B作BE⊥l于B，且BE＝AC， 则ABEC为矩形．
∴AB∥CE，∴AB∥平面CDE．
则AB与CD的距离即为B到DE的距离． 过B作BF⊥DE于F，易求得BF＝
12a12l A B
C
D ，∴AB与CD的距离为
a．
变式训练2：ABCD是边长为a的正方形，M、N分别为DA、BC边上的点，且MN∥AB交AC于O点，
D 沿MN折成直二面角． C ⑴ 求证：不论MN怎样平行移动(AB∥MN)，∠AOC的大小不变；
⑵ 当MN在怎样的位置时，点M到平面ACD的距离最大？ M 并求出这个最大值．
A 解(1) 120°； (2) 当且仅当MA＝MD时，点M到平面ACD的距离最大，最大值为设MD＝x，M到AD的距离h即是M到平面ACD的距离： h＝
xx(a?x)2O B
2N
4a．
?(a?x)2≤
x(a?x)2x(a?x)＝
x(a?x)2≤
24a(当x＝
a2时两不等式同取等号)
例3. 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，GC＝2，求点
B到平面EFG的距离． G 解：连结AC、BD、AC∩BD＝0， ∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD，
F D C
A E B
∴B到平面EFG的距离即0到平面EFG的距离，AC∩EF＝K，连结KG， ∵EF⊥KC，∴EF⊥平面KGC，过O作OH⊥KG于H，则OH⊥平面EFG， ∴OH即为O到平面EFG的距离，KC＝
34AC＝3
2，KG＝
22，OK＝
14AC＝
2，由Rt△OHK∽Rt△CKG
24
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
21111得OH＝．
变式训练3：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，Ｅ、F分别是BB1、CD的中点. ⑴ 求证：AD⊥D1F；
⑵ 求证：AE与D1F所成的角； ⑶ 求点F到平面A1D1E的距离． 答案：(1) 略 (2) 90° (3)将F移至AB中点研究
3D1 Ａ
D B1 E F
C1
5Ａ B
例4．在正北方向的一条公路上，一辆汽车由南向北行驶，速度为100千米/小时，一架飞机在一定高度上的一条直线上飞行，速度为100
7
10a．
C
千米/小时，从汽车里看飞机，在某个时刻看见飞机在正西方向，仰角
为30°，在36秒后，又看见飞机在北偏西30°、仰角为30°处，求飞机飞行的高度. 解：如图A、C分别是汽车、飞机开始时的位置， C B、D分别是经过36秒后的位置，ABEF是水平面， CFED是矩形，且CD＝AB＝
363600363600D F ×100
7
＝
7
(千米)，
南
30°
30° 30° E
北
3×100＝1千米，CF(或DE)则为飞机的飞行高度，设其为x千米，在Rt△CFA中，AF＝
3A B G
x；
x在Rt△DEB中，BE＝FH＝
32x. 作EG⊥AB于G，EH⊥AF于H，则EG＝AH＝
7
32x，EH＝AG＝1＋
32，
x. 在Rt△FHE中，EF2＝FH2＋EH2，即()2＝(
32x) 2＋(1＋
32x)2，∴ x＝1. 故飞机飞行的高度
为1千米．
变式训练4：如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
（1）若点D到平面ABC的距离不小于3，求二面角A—BC—D的取值范围； （2）当二面角A—BC—D的平面角为?时，求点C到平面ABD的距离．
3解(1)[?3,23?](提示：D到平面ABC的距离d∈[3，2?33] )
A (2)取BC中点E，连结EA、ED，则∠AED＝∴AD＝AE＝2∵V又S则
13?13
D
B
3
13?4?34?(23)2A?BCD?BC?S?AED??43
C
?ABD?12?23?13?39，设C到平面ABD的距离为h．
?39?h?43?h?121313 小结归纳 1．对于空间距离的重点是点到直线、点到平面的距离，对于两异面直线的距离一般只要求会求给出公垂线段时的距离．
25
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
2、求点到平面的距离的方法：
⑴ 确定点在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质． ⑵ 转化法．即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求. (3) 等体积法：利用三棱锥的体积公式，建立体积相等关系求出某底上的高，即点面距. 3．距离问题有时也可以利用向量的模的计算解决．具体见第11节的小结4、5两点.
第10课时 棱柱 棱锥
基础过关
一、棱柱 1．定义：如果一个多面体有两个面互相 ，而其余每相邻两个面的交线互相 ，这样的多面体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的 ，其余各面叫做棱柱的 ，两侧面的公共边叫做棱柱的 ，两个底面所在平面的公垂线段，叫做棱柱的 ．
2．性质：① 侧棱 ，侧面是 ；② 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的 多边形；③ 过不相邻的两条侧棱的截面是 四边形．
3．分类：① 按底面边数可分为 ；② 按侧棱与底面是否垂直可分为： 棱柱
?????? ?????????????? ? ???
4．特殊的四棱柱：四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体．
5．长方体对角线的性质：长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的 ． 二、棱锥
1．定义：如果一个多面体的一个面是 ，其余各面是有一个公共顶点的 ，那么这个多面体叫做棱锥，有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的 ；余下的那个多边形，叫做棱锥的 ．两个相邻侧面的公共边，叫做棱锥的 ，各侧面的公共顶点，叫做棱锥的 ；由顶点到底面所在平面的垂线段，叫做棱锥的 ．
2．性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面 ，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ．
3．正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是 多边形，且顶点在底面的射影是底面的 ，这样的棱锥叫做正棱锥．
4．正棱锥的性质：
① 正棱锥各侧棱 ，各侧面都是 的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高 （它叫做正棱锥的 ）；
② 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个 三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影组成一个 三角形．
典型例题 例1．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2， 点E为CC1的中点，点F为BD1的中点. ⑴ 证明：EF为BD1与CC1的公垂线； ⑵ 求点F到面BDE的距离. 答案(1)略； (2)
33D1 A1 F B1
C1 E
D A
2C B B1 C1
a，
26
变式训练1：三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝
A1 A
O B
C
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
BC、AC、AA1长均为a，A1在底面ABC上的射影O在AC上． ⑴ 求AB与侧面AC1所成的角；
⑵ 若O点恰是AC的中点，求此三棱柱的侧面积． 答案(1) 45°；(2)
12(2?3?7)a2
P E C
B
例2. 如图，正三棱锥P—ABC中，侧棱PA与底面ABC成60°角． （1）求侧PAB与底面ABC成角大小；
A （2）若E为PC中点，求AE与BC所成的角； （3）设AB＝2解：(1)arctan233，求P到面ABC的距离．
；
3020(2)取PB中点F，连结EF，则∠AEF为所求的角，求得∠AEF＝arccos(3)P到平面ABC的距离为23；
． A 变式训练2： 四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成的角；
2.
B O D E
C （3）求点E到平面ACD的距离．
答案：(1)易证AO⊥BD，AO⊥OC，∴AO⊥平面BCD； (2)arccos24；(3)用等体积法或向量法可求得点E到平面ACD的距离是
217．
例3. 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB＝2，CD＝1，∠DAB＝45°；侧面PAD是等腰直角三角形，AP＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD． P ⑴ 求证：PA⊥BD；
D ⑵ 求PB与底面ABCD所成角的正切值； C ⑶ 求直线PD与BC所成的角． 答案：(1)略；(2)
55A ；(3)60°
B 变式训练3：在所有棱长均为a的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点． ⑴ 求证：AD⊥BC1； ⑵ 求二面角A－BC1－D的大小； ⑶ 求点C到平面ABC1的距离． 提示：(1)证AD⊥平面BB1C1C；(2) arc tan
6BC；(3)
217B D C A
A
a．
例4．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝1，M为AB的中点，A1D＝3DB1．
C1 （1）求证：平面CMD⊥平面ABB1A1； B1
D A1 （2）求点A1到平面CMD的距离； （3）求MD与B1C1所成角的大小．
提示(1)转证CM⊥平面A1B；
(2)过A1作A1E⊥DM，易知A1E⊥平面CMD，∴求得A1E＝1；
27
C A
M
B
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
26(3)异面直线MD与B1C1所成的角为arccos
2变式训练4：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝，O为对角线A1C的中点．
⑴ 求OD与底面ABCD所成的角的大小；
⑵ P为AB上一动点，当P在何处时，平面POD⊥平面A1CD？并证明你的结论． 答案(1) 30°；(2) 当P为AB的中点时，平面POD⊥平面A1CD．
小结归纳 柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体，因此，在学习时要注意以下三点． 1．要准确理解棱柱、棱锥的有关概念，弄清楚直棱柱、正棱锥概念的内涵和外延．
2．要从底面、侧面、棱(特别是侧棱)和截面(对角面及平行于底面的截面)四个方面掌握几何性质，能应用这些性质研究线面关系．
3．在解正棱锥问题时，要注意利用四个直角三角形，其中分别含有九个元素(侧棱、高、侧棱与斜高在底面上的射影、侧棱与侧面与底面所成角、边心距以及底面边的一半)中的三个，已知两个可求另一个．
第11课时 球
基础过关
1．球：与定点的距离 或 定长的点的集合． 2．球的性质
(1) 用一个平面去截一个球，截面是 ． (2)球心和截面圆心的连线 于截面．
(3) 球心到截面的距离d与球半径R及截面的半径r有以下关系： ．
(4) 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 ． (5) 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长叫 ．
3．球的表面积公式和体积公式：设球的半径为R，则球的表面积S＝ ；球的体积V＝ ． 典型例题 例1. 如图，A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点间的球面距离为?，点A与B、C两点的
3球面距离都为?，O为球心，求：
2(1)
?BOC,?AOB的大小；
(2) 球心O到截面ABC的距离．
AOCB
28
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
?3解：(1) 因为B、C两点的球面距离为的球面距离都为
?2，即B、C两点与球心连线所夹圆心角为
??3，点A与B、C两点
，即?AOC,?AOB均为直角，所以?BOC?3,?AOB??2
(2) 因为⊿BOC，⊿ABC都是等腰三角形，取BC的中点M，连OM，AM，过O作OH⊥AM于H，可证得OH即为O到截面ABC的距离．
?OM?AM?7232,AM?OA2?OM2?72217
,OH?AM?AO?OM,OH?变式训练1： 球面上有三点A、B、C，A和B及A和C之间的球面距离是大圆周长的1，B和C之间
4的球面距离是大圆周长的1，且球心到截面ABC的距离是
6217，求球的体积．
?3解：设球心为O，由已知，易得∠AOB＝∠AOC＝
?2，∠BOC＝
217，过O作OD⊥BC于D，连AD，再
过O作OE⊥AD于E，则OE⊥平面ABC于E，∴OE＝
44. 在Rt△AOD中，由AD·OE＝AO·OD?OA
＝R＝1.∴ V球＝3πR3＝3π． 例2. 如图，四棱锥A－BCDE中，
AD?底面BCDE，且AC⊥BC，AE⊥BE．
(1) 求证：A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上； (2) 若?CBE?90,CE??3,AD?1,求B、D两点间的球面距离．
AEDBC
解：(1) 因为AD⊥底面BCDE，所以AD⊥BC，AD⊥BE，又因为AC⊥BC，AE⊥BE，所以BC⊥CD，BE⊥ED．故B、C、D、E四点共圆，BD为此圆的直径．
取BD的中点M，AB的中点N，连接BD、AB的中点MN，则MN∥AD，所以MN⊥底面BCDE，即N的射影是圆的圆心M，有AM＝BM＝CM＝DM＝EM，故五点共球且直径为AB． (2) 若∠CBE＝90°，则底面四边形BCDE是一个矩形，连接DN，因为：
CE?3,AD?1,?BD?3,MN?2312?BN?1,?BNM??3
,?BND??所以B、D两点间的球面距离是l??R?23?.
变式训练2：过半径为R的球面上一点M作三条两两互相垂直的弦MA、MB、MC． (1) 求证：MA2＋MB2＋MC2为定值；
29
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
(2) 求△MAB，△MAC，△MBC面积之和的最大值． 解：(1) 易求得MA2＋MB2＋MC2＝4R2！ (2) S△MAB＋S△MAC＋S△MBC＝MB＝MC时取最大值).
例3.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面（如图），则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ） A．B．C．D．
223212(MA·MB＋MA·MC＋MB·MC)≤1(MA＋MB＋MC)＝2R(当且仅当MA＝
22222
23
解：设正四面体为正四面体ABCD，分析截面图可知，截面经过正四面体的一条棱设为CD，又过球心，设截面与棱AB交于E点，则E为AB的中点，易求得截面三角形的面积为
故选（C）．
(1) 证明：PC⊥平面PAB；
(2) 求二面角P－AB－C的平面角的余弦值；
(3) 若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长. 解 (1) 连结CF，∵PE＝EF＝1BC＝
2122，
变式训练3：已知三棱锥P－ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.
AC ∴AP⊥PC ∵CF⊥AB, PF⊥AB, ∴AB⊥平面PCF ∵AC?平面PCF ∴PC⊥AB ∴PC⊥平面PAB.
(2) ∵AB⊥PF, AB⊥CF ∴∠PFC为所求二面角的平面角 设AB＝a, 则PF＝EF＝a, CF＝
2a3a,
∴cos∠PFC＝
232a?33.
(3) 设PA＝x, 球半径为R ∵PC⊥平面PAB，PA⊥PB ∵4πR2＝12π, ∴R＝得△ABC的边长为2
3, 知△ ABC的外接圆为球之小圆，由x2＝
233x·2R.
.
小结归纳 1．因为“球”是“圆”在空间概念上的延伸，所以研究球的性质时，应注意与圆的性质类比．
2．球的轴截面是大圆，它含有球的全部元素，所以有关球的计算，可作出球的一个大圆，化“球”为“圆”来解决问题．
3．球心与小圆圆心的连线，垂直于小圆所在的平面，球的内部结构的计算也由此展开．
4．计算球面上A、B两点的球面距离是一个难点，其关键是利用“AB既是小圆的弦，又是大圆的弦”这一事实，其一般步骤是：
(1) 根据已知条件求出小圆的半径r和大圆的半径R，以及所对小圆圆心角；
30
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
(2) 在小圆中，由r和圆心角求出AB；
(3) 在大圆中，由AB和R求出大圆的圆心角；
(4) 由圆心角和R，求出大圆弧长AB (即球面上A、B两点的距离)．
立体几何初步单元测试
一、选择题
1． 若直线a、b异面，直线b、c异面，则a、c的位置关系是 A．异面直线
B．相交直线
（ ）
C．平行直线 D．以上都有可能
2． 设l、m、n表示三条直线，α、β、r表示三个平面，则下面命题中不成立的是 （ ） A．若l⊥α，m⊥α，则l∥m
B．若m?β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n C．若m?α，n?α，m∥n，则n∥α D．若α⊥r，β⊥r，则α∥β
3． 在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点如果EF与HG交于点M，则（ ）
A．M一定在直线AC上 B．M一定在直线BD上
C．M可能在AC上，也可能在BD上 D．M不在AC上，也不在BD上
4． 点P到ΔABC三边所在直线的距离相等，P在ΔABC内的射影为O，则O为ΔABC的（ ） A．外心 B．重心 C．内心 D．以上都不对 5． 已知ABCD为四面体，O为△BCD内一点（如图），则AO?（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
13(AB?AC?AD)是
O为△BCD重心的
A B D D．既不充分又不必要条件 O 6． 已知△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，△ABC所在平面外一点P到此三角形三个顶点的
C 距离都是14，则点P到平面ABC的距离是 （ ） A．7 B．9 C．11 D．13 7． A、B两地在同一纬线上，这两地间的纬线长为?Rcos?，（R是地球半径，?是两地的纬度数），则这两地间的球面距离为 （ ）
A．?R B．?Rcos? C．?R?2?R D．?R??R
8． 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．空间四边形ABCD的各边与对角线的长都为1，点P在边AB上移动，点Q在CD上移动，则点P和Q的最短距离为 （ ） A．
12 B．
22 C．3 D．
432
10．若四面体的一条棱长为x，其余棱长为1，体积为F(x)，则函数F(x)在其定义域上 （ ） A．是增函数但无最大值
31
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
B．是增函数且有最大值
C．不是增函数且无最大值 D．不是增函数但有最大值
二、填空题 11．在长方形ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是 ． 12．正四棱锥S－ABCD的侧棱长为的角为 ．
13．已知球的两个平行截面面积分别是5?、8?，它们位于球心的同侧，且相距为1，那么这个球的半径是 ．
14．已知PA、PB、PC两两垂直且PA＝
22，底面的边长为
3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成
，PB＝
3，PC＝2，则过P、A、B、C四点的球的体积
为 ．
15．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为4cm，过BC作一个截面，截面与底面ABC成60?角，则截面的面积是 ．
三、解答题
16．设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心． (1) 证明：PQ∥平面AA1B1B； (2) 求线段PQ的长．
D C
A B P
D
C
Q
AB
17．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AA1＝2，AB＝3，AD＝a，求 (1) 异面直线B1C与BD1所成的角； (2) 当a为何值时，使B1C?BD1？
18．如图，正方体AC1中，已知O为AC与BD的交点，M为DD1的中点． (1) 求异面直线B1O与AM所成角的大小． DC1
(2) 求二面角B1－MA－C的正切值．
A
B1
M
19．底面为等腰直角三角形的直三棱柱ABC求二面角B?B1D
32
?AD A
?A1B1C1O B
?2C
，?C?,AA1?AC，D为CC1上的点，且CC1?3C1D，
的大小．
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
20．如图，α⊥β,α∩β＝l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1，已知AB＝2，AA1＝1，BB1＝2，求： （1）直线AB与平面β所成角的大小； A α （2）二面角A1—AB—B1的大小． ABl
β B
21．直四棱柱A1B1C1D1—ABCD底面是边长为1的菱形，侧棱长为2.
(1) 求证：平面A1DC1⊥平面BB1DD1；
(2) 若异面直线B1D与A1D1所成角为60°，求二面角A1－DB1－C1的平面角的余弦值； (3) 判断∠DB1C1能否为钝角？请说明理由.
D C
A B
D1 C1
A1 B 1
立体几何初步单元测试参考答案：
1.D 2. D 3. D 4. C 5. C 6. A 7. C 8. D 9. B 10.D 11.
4?3 12.
?3 13. 3 14.
9223cm2.
16．（本题考查证明线面平行的方法）
(1)证法一:取AA1,A1B1的中点M,N,连结MN,NQ,MP ?MP//AD,MP?12AD,NQ//A1D1,NQ?12A1D1
?MP//ND且MP?ND
?四边形PQNM为平行四边形
?PQ//MN?MN?面AA1B1B,PQ?面AA1B1B
?PQ//面AA1B1B证法二：连结AD1，AB1，在△AB1D1中，显然P，Q分别是AD1，D1B的中点
33
15.
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
12∴PQ∥AB1，且PQ＝AB1 ∵ PQ?面AA1B1B，AB1?AA1B1B
∴ PQ∥面AA1B1B
证法三：取A1D1的中点R，则PR∥DD1∥BB1，OR∥A1B1，平面PQR∥平面AA1B1B，PQ∥平面AA1B1B (2) 方法一：PQ＝MN＝方法二：PQ＝AB1＝
21A1M22?A1N2?22a
2a
评注：本题提供了两种解法，方法一，通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；方法二，通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”．本题证法较多． 17．解：以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则有：
B(a,3,0),D1(0,0,2),B1(a,3,2),C(0,3,0)
．从而
?4所以BD1?(?a,?3,2)，B1Ccos?BD1,B1C??BD1?B1CBD1?B1C??(?a,0,?2)aa22?4a2?13?所以异面直线B1C与BD1所成的角为arccos(2) 当a?2时，B1C18．(1)
方法一:BO?AC,?B1O?AC,设正方体的棱长为则B1O?MB12a?4a?13?a?4222．
?BD1．
a,62a,MO?232a,MB1?32a?B1D?MO2,?MO?B1O
?B1O?面MAO?B1O?AM方法二：取AD中点N，连结A1N，则A1N是B1O在侧面ADD1A1上的射影. 易证AM⊥A1N
∴AM⊥B1O（三垂线定理）
方法三：建立空间真正坐标系（以A为原点，岔以AB、AD、AA为x轴、y轴、z轴，设正方体棱长为1） 则A(0, 0, 0)，M(0, 1,
1211)，O(，，0)，B1(1, 0, 1)
22五年高考荟萃 2009年高考题
一、选择题
1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
34
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
A.2??23 B. 4??23 C. 2??【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2?,四棱锥的底面 边长为2，高为3，
1233 D. 4??2 233 2 所以体积为?3??22?3?233233
2 2 正(主)视图
2 侧(左)视图
所以该几何体的体积为2??答案:C
.
【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积.
俯视图
2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为 （A）48+12
2 （B）48+242
（C）36+122 （D）36+242 3.正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，
则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为 （A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2
?x14.在区间[-1，1]上随机取一个数x，cos的值介于0到之间的概率为( ).
22A.
13 B.
2? C.
12 D.
23
?212?【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即x?[?1,1]时,?区间长度为1, 而cos答案 C
?x2?x2??2, ∴0?cos12?x2?1
的值介于0到
12之间的区间长度为,所以概率为.故选C
【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值cos围,再由长度型几何概型求得.
5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为
12?x2的范
。则该集合体的俯视图可以是
答案: C 6.纸制的正方体的六个
35
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体
的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“?”的面的方位是 A. 南 B. 北 C. 西 D. 下 解：展、折问题。易判断选B
?7.如图，在半径为3的球面上有A,B,C三点， ?ABC?90,BA?BC，
球心O到平面ABC的距离是?3322，则B、C两点的球面距离是
4?3A. B.? C. D.2?
答案 B
8．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为26233323A. B. C. D.
答案 C
9，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）
答案 B
二、填空题
10..图是一个几何体的
三视图，若它的体积是33，则a=_______ 答案
3
11.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a?__________
12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 cm． 答案 18
36
3
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1?3?3?9，上面的长方体体积为3?3?1?9，因此其几何体的体积为18
13.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。
则该几何体的体积为 m3
答案 4
14. 直三棱柱ABC?A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若
AB?AC?AA1?2,?BAC?120?，则此球的表面积等于 。
解:在?ABC中AB?AC?2,?BAC?120?,可得BC?23,由正弦定理,可得?ABC 外接圆半径r=2,设此圆圆心为O?，球心为O，在RT?OBO?中，易得球半径R?4?R?20?.
5，故此球的表面积为215．正三棱柱ABC?A1B1C1内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为?，则正三棱 柱的体积为 ．
答案 8
16．体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于 ． 答案
86??
17．如图球O的半径为2，圆O1是一小圆，O1O?是圆O1上两点，若A，B两点间的球面距离为
?22，A、B
2?3，则?AO1B= . 答案
18.已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1?2R2?3R3，则它们的表面积S1，S2，S3， 满足的等量关系是___________.
答案
S1?2S2?3S3
37
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
S1S2?419.若球O1、O2表示面积之比答案 2
三、解答题
20．（本小题满分13分）
，则它们的半径之比
R1R2=_____________.
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥
P?EFGH，下半部分是长方体ABCD?EFGH。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图 （1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积； （3）证明：直线BD?平面PEG.
【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.
（２）该安全标识墩的体积为：V?VP?EFGH?VABCD?EFGH ?13?40?60?40?20?32000?32000?64000
22?cm?
2 （３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,PO?平面EFGH , ?PO?HF 又EG?HF ?HF?平面PEG
又BDPHF ?BD?平面PEG；
38
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
2005—2008年高考题
一、选择题
1.(2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） H
A B I
C G 侧视 D
F 图1 答案 A
2.（2008海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ） A．22 答案 C
【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图 设长方体的高宽高分别为m,n,k，由题意得 m?n?k1?k2A B C B
E
A．
B
B B E E
F 图2
D E
E B．
C．
E D．
B．23 C．4 D．25 knm222?7，m?k222?26?n?1
22?a，1?m?b，所以(a?1)?(b?1)?6
222222?a?b?8，∴(a?b)?a?2ab?b?8?2ab?8?a?b?16 ?a?b?4当且仅当a?b?2时取等号。
3.（2008山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 A.9π B.10π C.11π D．12π
39
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
答案 D
【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为
S?4??1???1?2?2??1?3?12?.
223. (2007宁夏理?8) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ） Ａ．
4000310 2010 20正视图
cm Ｂ．
320侧视图
80003320俯视图
33cm Ｃ．2000cm Ｄ．4000cm
答案 B
4. （2007陕西理?6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A．
334 B．
33 C．
34 D．
312
答案 B
5.（2006安徽）表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
231A．? B．? C．
323? D．
223?
答案 A
【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8?a?1，则此球的直径为3a42?23知，
2，故选A。
3236.（2006福建）已知正方体外接球的体积是?，那么正方体的棱长等于（ ）
40
正在阅读：
3、立体几何初步高中一轮复习05-17
2015-2020年中国存储管市场调研及投资战略研究报告08-26
摘橘子作文500字06-17
路遥的人生02-19
新闻三则。作文400字02-05
借景抒情的优美段落02-09
电力系统自动化习题及答案04-04
有趣的科技节作文06-12
教育理论基础试题及答案（共六份试卷）10-09
试验检测师【桥涵】试题+答案05-14