数值逼近实验题目及报告要求

本学期

数值逼近实验题目

所有需提交的实验题目要用英文书写，不能打印，一律手写！

数值逼近实验 苏州大学数学科学学院

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打星号为选讲上机题。

数值实验一：Bernstein 多项式序列)(x B f n

实验目的：了解区间]1,0[上的Bernstein 多项式序列)(x B f n 的定义，即

()[]0

()()1,0,1n

n k

f

k k n

n k k B x f C x x x n -==-∈∑。

了解用Bernstein 多项式序列)(x B f n 逼近()f x 的效果。

实验题目：绘出如下()f x 及()()()51015,,f f f

B x B x B x 的图像，说明Bernstein

多项式逼近效果。

()12

1

2 01 1

x x f x x x ≤

数值实验二：Lagrange 插值

实验目的：了解插值问题中Lagrange 插值基函数()i l x 的构造，Lagrange 插值多项式的构造。即已知插值节点：()(),,0,1,,i i i x y f x i n == ，其Lagrange 插值基函数为

()()()()()()()()()()

01110111(),0,1,,i i n i i i i i i i i n x x x x x x x x x x l x i n x x x x x x x x x x -+-+-----==-----

Lagrange 插值多项式()n P x 为

()()()()()()()0011n n n P x f x l x f x l x f x l x =+++ 。

比较Lagrange 插值多项式的收敛性。

实验题目：给定1n +个插值节点()(),,0,1,,i i i x y f x i n == ，写出用以逼近函数()f x 的Lagrange 插值多项式()n P x 的程序；并任给函数()f x 及

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插值点，计算在*x x =的逼近值()*n P x 。例如以此计算定义在区间[]0,1上

的函数()210,,f x x x x =在点1

2x =处的近似值41

2P ?? ???

。插值节点为区间[]0,1的三等分点，即12

0,,,133

x =。

实验要求：采用Matlab 、C 、C++、VB 等实现。

数值实验三：Newton 插值多项式

实验目的：了解插值问题中Newton 插值多项式的构造。即已知插值节点：()(),,0,1,,i i i x y f x i n == ，其Newton 插值多项式()n P x 为

()()()()()()10101,,,,n n n n P x P x f x x x x x x x x x x -=+--- 。

了解Newton 插值多项式与Lagrange 插值多项式在实现时的优缺点。

实验题目：给定1n +个插值节点()(),,0,1,,i i i x y f x i n == ，写出用以逼近函数()f x 的Newton 插值多项式()n P x 的程序；并任给函数()f x 及插值点，计算在*x x =的逼近值()*n P x 。例如以此计算定义在区间[]0,1上

的函数()210,,f x x x x =在点1

2x =处的近似值41

2P ?? ???

。插值节点为区间[]0,1的三等分点，即12

0,,,133

x =。

实验要求：采用Matlab 、C 、C++、VB 等实现。

数值实验四*：数值积分中的龙格（Runge ）现象

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第 3 页 共 7 页 实验目的：观察Lagrange 插值及数值积分中的龙格（Runge ）现象。了解数值不稳定现象。

实验题目：（1）对于函数()[]21,4,41f x x x =

∈-+（或()[]225,5,5f x x a x

=∈-+）进行Lagrange 插值。取不同结点数n ，在区间[]4,4-（或[]5,5-）上取等距间隔的结点为插值点，把()f x 和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。（2）利用复化矩形或梯形公式计算()[]21,4,41f x x x

=∈-+在定义区间上的数值积分值，说明Runge 现象。（3）也可自行构造函数()f x 来讨论情况（1）（2）。

实验要求：提交Runge 现象分析报告。采用Matlab 、C 、C++、VB 等实现。

数值实验五：复化积分公式

实验目的：熟悉复化积分公式的使用。主要为复化梯形、复化Simpson 公式。

实验题目：给定函数()f x 及其定义区间[],a b ，输入等分区间数n ，给出计算定积分()()b a f x dx I f =?的复化梯形、复化Simpson 数值积分的

子程序。

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第 4 页 共 7 页 实验要求：采用Matlab 、C 、C++、VB 等实现。

数值实验六*：Romberg 方法

实验目的：熟悉Romberg 方法，了解多重迭代格式的编程。

实验题目：利用Romberg 方法计算函数()[]1,1,1f x x x =∈-的定积分。

实验要求：采用C++、C 、VB 等实现。

数值实验七*：最小二乘方法及其数值不稳定现象

实验目的：了解最小二乘方法并观察最小二乘方法的数值不稳定现象。

实验题目：

1.最小二乘法基本思路

已知数据对()(),1,2,,j j x y j n = ，求多项式

0()()m i

i i p x a x m n ==<∑

使得2

0110

(,,,)n m i

n i j j j i a a a a x y ==??Φ=- ???∑∑ 为最小，这就是一个最小二乘问

题。

2．最小二乘法计算步骤

用线性函数()p x a bx =+为例，拟合给定数据(),,1,2,,i i x y i m = 。

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第 5 页 共 7 页 算法描述：

步骤1：输入m 值，及(),,1,2,,i i x y i m = 。

步骤2：建立法方程组T A AX AY =。

步骤3：解法方程组。

步骤4：输出()p x a bx =+。

3．实验内容

（1

（2）在[]1,1-区间上取20n =个等距结点，计算出以相应结点上x e 的值作为数据样本，以21,,,,l x x x 为基函数做出3,5,7,9l =次的最小二乘多项式。画出()()ln ~cond A n 之间的曲线，其中A 是确定最小二乘多项式系数的矩阵。计算出不同阶最小二乘多项式给出的最小偏差

()()()21n i i i l y x y σ==-∑。

实验要求：采用C 、C++、VB 等实现。

参考答案：（报告略）

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实验报告格式：

实验题目（Numerical Experiment Title）：

1.相关理论基础（Theoretical Basis）

2实现步骤（Steps of Numerical Method）

3.实验内容（Numerical Experiment Content）

4.实验结果(Experiment Results)

5.结论(Conclusion)

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/aq3q.html