高中数学教案-人教A版必修5(11) - 数列应用问题

第十一课时 数列应用问题

教学目标：

将等比数列的通项公式和前n项求和公式应用到应用题的有关计算中去；增强学生的应用意识，提高学生的实际应用能力. 教学重点：

等比数列通项公式和前n项和公式的应用. 教学难点：

利用等比数列有关知识解决一些实际问题. 教学过程：

［例1］某人年初向银行贷款10万元用于购房.

（Ⅰ）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？

（Ⅱ）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？

解：（Ⅰ）若向建设银行贷款，设每年还款x元，

则105×(1＋10×5%)＝x(1＋9×5%)＋x(1＋8×5%)＋x(1＋7×5%)＋…＋x

105×1.5

即：10×1.5＝10x＋45×0.05元，解得x＝ ≈12245(元)

12.25

5

（Ⅱ）若向工商银行贷款，每年需还y元，则：

98

105×(1＋4%)10＝y(1＋4%)＋y(1＋4%)＋…＋y(1＋4%)＋y 1.0410－1

即10×1.04＝ ·y

1.04－1

5

10

其中：1.0410＝1＋10×0.04＋45×0.04＋120×0.04＋210×0.04＋…≈1.4802.

2

3

4

105×1.4802×0.04∴y≈ ≈12330(元)

1.4802

答：向建设银行贷款，每年应付12245元；若向工商银行贷款，每年应付12330元. ［例2］用分期付款的方式购买家电一件，价为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150元后的每一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家用电器实际花费多少钱？

解：购买时付出150元后，余欠款1000元，按题意应分20次付清，由于每次都必须交50元，外加上所欠余款的利息，这样每次交付欠款的数额顺月次构成一数列

设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20

则：a1＝50＋1000×1%＝60元，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5元 ……

a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5元 即第10个月应付款55.5元.

由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有：

S20＝

60＋（60－19×0.5）

×20＝1105(元)

2

即全部付清后实际付款（1105＋150）＝1255（元）.

［例3］某职工年初向银行贷款2万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的优惠年利率为10%，按复利计算（即将本年的本金与利润的总和计为次年的本金），若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，10年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年

应还多少元？

分析：逐年分析，寻找规律，建立恰当数学模型.

解：设贷款额为a0元，贷款年利率为α，次年等额归还x元，第n年还清，则 一年后的欠款数为：a1＝(1＋α)a0－x

二年后的欠款数为：a2＝(1＋α)a1－x＝(1＋α)2a0－x[（1＋α）＋1]

2

三年后的欠款数为：a3＝(1＋α)a2－x＝(1＋α)3a0－x[（1＋α）＋(1＋α)＋1] ……

－1－2

n年后的欠款数为：an＝(1＋α)an－1－x＝(1＋α)na0－x[(1＋α)n＋(1＋α)n＋…＋(1＋α)＋1]

由于an＝0，贷款还清，

1－(1＋α)nα(1＋α)na0

∴(1＋α)a0＝x· ， ∴x＝

1－(1＋α)(1＋α)n－1

n

将α＝0.1，a0＝20000，n＝10代入，得 2000×0.1×1.1102000×2.5937

x＝ ≈ ≈3255元. 101.59371.1－1

［例4］某人于2007年7月1日在银行按一年定期储蓄的方式存入a元，2008年7月

1日，他将到期存款的本息取出后添上a元再按一年定期储蓄存入银行，此后他每年7月1日按照同样同样的方法在银行取款和存款，设银行定期储蓄的年利率r不变，问到2012年7月1日他的本息共有多少？

分析：逐年分析，寻找规律，建立数学模型. 解：由题意得：2008年本息总数为a(1＋r)，

2

2009年本息总数为a(1＋r)＋a(1＋r), ……

1012年本息总数为：a(1＋r)5＋a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)

a(1＋r)[1－(1＋r)5]a即 ＝ [(1＋r)6－(1＋r)]

r1－(1＋r)

评述：解决等比数列应用题的关键是认真审题抓特点，仔细观察找规律，一般地，等比数列

的特点是增加或减少的百分数相同，为了分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考查.

[例5]某地区荒山2200亩，从2005年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩.

（1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化?

（2）若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S，求S的表达式.

（3）若1.28≈4.3，计算S (精确到1立方米).

分析：由题意可知，各年植树亩数为：100，150，200，……成等差数列

n（n－1）

解：(1)设植树n年可将荒山全部绿化，则：100n＋ ×50＝2200

2解之得n＝8或n＝－11(舍去)

(2)2005年所植树，春季木材量为200 m3，到2002年底木材量则增为200×1.28 m3. 2006年所植树到2012年底木材量为300×1.27 m3. ……

2012年所植树到年底木材量为900×1.2 m3，则：到2002年底木材总量为：

876

S＝200×1.2＋300×1.2＋400×1.2＋…＋900×1.2 (m3)

(3)S＝900×1.2＋800×1.2＋700×1.2＋…＋200×1.28

238

1.2S＝900×1.2＋800×1.2＋…＋300×1.2＋200×1.29，两式相减得：

923

0.2S＝200×1.2＋100(1.2＋1.2＋…＋1.28)－900×1.2

2

3

1.22（1.27－1）

＝200×1.2＋100× －900×1.2＝1812

1.2－1

9

∴S＝9060( m3)

数列应用题

［例1］某人年初向银行贷款10万元用于购房.

（Ⅰ）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？

（Ⅱ）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？

［例2］用分期付款的方式购买家电一件，价为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150元后的每一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家用电器实际花费多少钱？

［例3］某职工年初向银行贷款2万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的优惠年利率为10%，按复利计算（即将本年的本金与利润的总和计为次年的本金），若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，10年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？

［例4］某人于2007年7月1日在银行按一年定期储蓄的方式存入a元，2008年7月1日，他将到期存款的本息取出后添上a元再按一年定期储蓄存入银行，此后他每年7月1日按照同样同样的方法在银行取款和存款，设银行定期储蓄的年利率r不变，问到2012年7月1日他的本息共有多少？

[例5]某地区荒山2200亩，从2005年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩.

（1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化?

（2）若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S，求S的表达式.

（3）若1.28≈4.3，计算S (精确到1立方米).

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