2015高三文数第一轮复习导学案：直线、平面垂直的判定和性质

直线、平面垂直的判定和性质

导学目标：

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．

一、知识点回顾 1．线线垂直 判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必______于另一条． 2．线面垂直 定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相______，其中直线l叫做平面的______，平面α叫做直线l的垂面，直线与平面的交点叫做垂足．直线l与平面α垂直记作l⊥α. （1）直线与平面垂直的判定定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判 一条直线与一个平面内 定 的 都垂直，则 定 该直线与此平面垂直 理 推论： 文字语言 图形语言 符号语言 推如果在两条平行直线中，有一 论 条垂直于平面，那么另一条直 线也 这个平面 （2）直线和平面垂直的性质： ①直线垂直于平面，则垂直于平面内______直线． ②垂直于同一个平面的两条直线______． ③垂直于同一直线的两个平面________． 3、面面垂直 （1）面面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 一个平面过另一个平面 定 的 ，则这两个平 定 理 面垂直 （2）面面垂直的性质 文字语言 图形语言 符号语言 性 两个平面垂直，则一个平面 质 内垂直于 的直 定 理 线与另一个平面垂直 4、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的________所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 一直线垂直于平面，说它们所成角为________；直线l∥α或l?α，则它们成________角． 5、二面角的平面角

以二面角棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作与棱________的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．

二、典型例题

题型一：线面垂直的判定与性质

例1：如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.

变式1：如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB，PC的中点，若∠PDA＝45°。求证：MN⊥平面PCD. :变式2：如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1的中点． (1)求证：C1D⊥平面AA1B1B； (2)当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论． 题型二：面面垂直的判定定理 例2：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.

变式1：如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD. 变式2：如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD＝AC＝DE＝2AB＝2且F是CD的中点．AF＝3. (1)求证：AF∥平面BCE； (2)求证：平面BCE⊥平面CDE； (3)求直线CE与平面ADEB所成的角的正切值． 题型三：面面垂直的性质 例1：在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.证明：AB⊥VD.

变式：如图,已知ABCD是矩形,E是以CD为直径的半圆周上一点，且面CDE⊥面ABCD. 求证：CE⊥平面ADE。

题型四：综合应用 例3：如图所示，在锥体P－ABCD中，ABCD是边长为1的菱形且∠DBA＝60°，PA＝PD＝2，PB＝2，E，F分别是BC，PC的中点． (1)求证：AD⊥平面DEF；(2)求二面角P－AD－B的平面角的余弦值． 变式：如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.

(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．

练习：

1．平面α⊥平面β的一个充分条件是( )

A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥β B．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥β C．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β D．存在一条直线l，l⊥α，l∥β 2．(2010·浙江)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A．若l⊥m，m?α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 3．(2011·长沙模拟)对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：

①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；

③存在直线l?α，直线m?β，使得l∥m； ④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β. 其中，可以判定α与β平行的条件有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．(2011·十堰月考)已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( )

A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 5．(2011·滨州月考)已知直线a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：

①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n.其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3

7．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：

①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.其中正确命题的序号是( ) A．①② B．①④ C．②④ D．③④ 8．(2011·浙江)下列命题中错误的是( )

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

9．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是( )

A．一条直线 B．一个圆 C．一个椭圆 D．双曲线的一支

10．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝2a，则它的5个面中，互相垂直的面有________对． 11、Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点． (1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.

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