大学数学专业 微分几何复习题

一、

填空题：（每小题2分） ? ⒈ 向量r(t)??t,3t,a?具有固定方向，则a=_______________。

???? ⒉ 非零向量r(t)满足?r,r?,r????0的充要条件是__________________。 ???????? ⒊ 设曲线在P点的切向量为?，主法向量为?，则过P由?,?确定的平面 是曲线在P点的_______________________。

?????? ⒋ 曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r(t0)点的法平面方 程是__________________________。

??????2?，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率 ⒌ 曲线r?r(t)在t = 1点处有??(1)=___________________。

? ⒏ 在旋转曲面r???(t)cos?,?(t)sin?,?(t)?中，____________________ 是旋转曲面的经线。

⒐ 曲面z?z(x,y)在点(x0,y0,z0)的法线方程是_____________________。 ⒑ 直纹面的参数表示总可以写成 r?______________________。

???????11、向量函数r?r(t)使(r,r?,r??)?0的充要条件是r?r(t) 。

??????? 12、若r(t0)是曲线r?r(t)的正则点，则曲线r?r(t)在r(t0)的密切平面方程

是 。

13、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率? 。

15、曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线坐标网是

??16、已知曲面r?r(u,v)的第一类基本量为E、F、G，则两方向du:dv与?u:?v垂直的充要条件是 。

??? 17、对曲面r?r(u,v)有dr2?4du2?3dv2，则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从t0到t （t >t0）的弧长s = 。

?? 18、若曲面r?r(u,v)在（0，1）点处的第二基本形式????du2?3dv2，则在???（0，1）点处，ru?nu? 。其中n为曲面的单位法向量。

?? 19、已知曲面r?r(u,v)的第二类基本量L、M、N，则曲面上渐近曲线的微分

方程是 。

?? 20、若曲面r?r(u,v)的第一基本形式为ds2?Edu2?Gdv2，曲面在一点的切

1

??向dr与u—线的夹角为?，则曲面在这点沿切向dr的测地曲率

kg= 。

?21 r(t)具有固定方向的充要条件是______________________。

22 挠率______________________的曲线其副法向量是常矢。

??? 23 曲线r?r(t)在P(t0)点的主法向量是?，则曲线在P点的从切面方程是 。

25 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是________________。 26．曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为 ____________。

27．半径为R的球面的高斯曲率K= .

28. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的______________恒等于零。 30．在可展曲面上，测地三角形的三内角之和 ?。

???????31.向量函数r?r(t)使(r,r?,r??)?0的充要条件是r?r(t) 。

?????? 32、若r(t0)是曲线r?r(t)的正则点，则曲线r?r(t)在r(t0)的密切平面方程是 。

33、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率? 。

? 35、球面r?{Rcos?cos?,Rcos?sin?,Rsin?}上， 线是球面上的纬圆。

?? 36、已知曲面r?r(u,v)的第一类基本量为E、F、G，则两方向du:dv与?u:?v垂直的充要条件是 。

??? 37、对曲面r?r(u,v)有dr2?4du2?3dv2，则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从t0到t （t >t0）的弧长s = 。

?? 38、若曲面r?r(u,v)在（0，1）点处的第二基本形式????du2?3dv2，则在???（0，1）点处，ru?nu? 。其中n为曲面的单位法向量。

?? 39、已知曲面r?r(u,v)的第二类基本量L、M、N，则曲面上渐近曲线的微分

方程是 。

?? 40、若曲面r?r(u,v)的第一基本形式为ds2?Edu2?Gdv2，曲面在一点的

??切向dr与u—线的夹角为?，则曲面在这点沿切向dr的测地曲率

kg= 。 二、

选择填空题：（每小题3分）

2

1、圆柱螺线x?cost,y?sint,z?t在点?1,0,0?的切线为______。

x?1yz?? B、y?z?0 011x?1yz?? D、y?z?0 C、100 2、曲面的三个基本形式之间的关系为______。 A、Ⅲ+2HⅡ+KⅠ=0 B、Ⅲ-2HⅡ+KⅠ=0 C、Ⅲ-2KⅡ+HⅠ=0 D、Ⅲ-2HⅡ-KⅠ=0 3、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_____。

A、M = 0 B、L = N = 0 C、M = F = 0 D、F = 0 4、下列曲面中_____不是可展曲面。

A、柱面 B、锥面 C、一条曲线的切线曲面 D、正螺面 5、曲面上， 不是曲面的内蕴量。 A、两曲线的夹角 B、曲线的弧长

?????6、曲线r?r(s)在P(s)点的基本向量是?,?,?，曲率k(s)，挠率?(s)，则

A、

下式 不正确。

?????????????A、???k? B、???k???? C、??k? D、?????

?? 7、曲面r?r(u,v)在P点的第一、第二基本形式分别为?,??，曲面上曲线(C )?在P点的曲率k、沿切向dr的法曲率为kn，(C )在P点的主法向量与曲面的单

?位法向量n的夹角为?，则下式 正确。

????A、kn?? B、kn?kcos? C、|kn|? D、kn?ksin?

??8、L = N = 0 是曲面的曲纹坐标网为 的充要条件。

A、正交网 B、渐近网 C、曲率网 D、 半测地坐标网

9、在圆柱面上，圆柱螺线是 。

A、平面曲线 B、曲率线 C、测地线 D、渐近线

10、以下各项中， 不一定是测地线。

A、球面上的大圆 B、圆柱面上的螺旋线 C、旋转曲面上的经线 D、旋转曲面上的纬线

????11、设曲面在一点的单位法向量n，切向量为dr ，则dn??dr的充分必要条件是 。

??????A、 存在方向?r使dn??r?0 B、存在方向?r使dr??r?0

??????C、存在方向?r使dn??r?0且dr??r?0 D、沿dr有kn= 0

?12、对于球面r?{Rcos?sin?,Rcos?sin?,Rsin?}，以下判断中 不正确。

A、沿其上任何曲线的球面的法线曲面是可展曲面 B、其上大圆是渐近线

1C、高斯曲率为正常数 2 D、其上大圆的每一点的测地曲率为零

R

3

?????13、曲面r?r(u,v)上，曲线(C )在P点的基本向量是?,?,?，曲面在P点

??的单位法向量n，则在P点沿切向?的测地曲率?g? 。

????????????,??A、???n B、（?,k?,n） C、(r D、r,n)(??,?,n)

14、若在曲面上一点LN?M2?0,则曲面在该点的高斯曲率K 。 A、>0 B、< 0 C、= 0 D、符号不确定 15、下列直纹面中， 是可展曲面。

A、双曲抛物面 B、挠曲线的副法线曲面 C、挠曲线的切线曲面 D、单叶双曲面

16、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是______。 A、 直线 B、平面曲线 C、球面曲线 D、圆柱螺线

?? 17、曲线r?r(t)在P(t)点的曲率为k , 挠率为?，则下列式子______不正确。

????????r??r????r??r??r??r??r??r D、????2 A、k??2 B、k??3 C、k???r?r??r??r??? 18、对于曲面的第一基本形式I?Edu2?2Fdudv?Gdv2,EG?F2_____。 A、?0 B、?0 C、?0 D、?0

? 19、对于圆柱面r??Rcos?,Rsin?,z?，以下结论_____是不正确的。 A、坐标网是正交网 B、沿同一直母线的切平面是同一个 C、其上高斯曲率为零 D、其上没有抛物点 20、以下结论正确的是_____。

r在主法向量?上的投影 A、法曲率是法截线的曲率 B、法曲率是曲率向量??C、法曲率?0 D、法曲率的绝对值是法截线的曲率

??? 21、设曲面r?r(u,v),n是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中，____ 是不正确的。

??????????????????A、M?ruv?n B、M??ruv?n C、M??ru?nv D、M??rv?nu 22、球面上的大圆不可能是球面上的_____。

A、测地线 B、曲率线 C、法截线 D、渐近线

? 23、正螺面r??ucosv,usinv,bv?的坐标网不是_____。

A、正交网 B、共轭网 C、渐近网 D、半测地坐标网 24、曲面上每一点处的主方向_______。

A、只有一个 B、至少两个 C、只有两个 D、也可能不存在 25、下列直纹曲面中，_______是可展曲面。

4

??

A、双曲抛物面 B、挠曲面的副法线曲面 C、挠曲面的切线曲面 D、单叶双曲面 三、计算题

?1、设曲线?：r = { cht , sht , t }，求

①?在点(1,0,0 )的曲率和挠率； ②?的切线曲面的高斯曲率。

?2、已知圆柱螺线r??cost,sint,t?，试求

??? ⑴ 在点?0,1,?的切线和法平面。

2?? ⑵ 曲率和挠率。 ?3、对于圆柱面?:r???cos?,?sin?,u?，试求

⑴ ?的第一、第二基本形式； ⑵ ?在任意点处沿任意方向的法曲率； ⑶ ?在任意点的高斯曲率和平均曲率； ⑷ 试证?的坐标曲线是曲率线。

?4、求曲面r??vcosu,vsinu,v2?的u线的测地曲率。

5、设点P是曲面∑上一个固定点，试证明∑在P点沿任意互相垂直的两个方向的法曲率之和是常数。

?6、设曲面∑：r= { t cos? , t sin? , t }，求

① ∑的第一、第二基本形式；

② ∑在点(1,0,1)处沿任意方向的法曲率； ③ 试证∑的坐标曲线是曲率线。

7、求螺线x?cost,y?sint,z?t上点?1,0,0?的曲率和挠率。

8、确定螺旋面x?ucosv,y?usinv,z?cv上的曲率线和在任一点的高斯 曲率。

?9、求曲线r(t) = { t , t 2 , e t } 在t = 0点的密切平面和主法线。 ?10、求曲线r(t) = {a (1－sint) , a (1－cost) ，b t } 的曲率和挠率。

求抛物面z = a ( x2 + y2 ) 在 ( 0 ,0 ) 点的高斯曲率和平均曲率。

11、求平面族xcos??ysin??zsin??1的包络。

5

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