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第一单元图形的变换

1、轴对称图形沿着对称轴重叠后，图形两边可以完全重合。

2、平形四边形不是轴对称图形。长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，正（等边）三角形有3条对称轴，圆有无数条对称轴，半圆有一条对称轴。

3、轴对称图形沿着对称轴的交点至少旋转（360÷对称轴的条数）=度，可以与原来的图形完全重合。

长方形沿着对称轴的交点至少旋转360÷2=180（度）

正方形沿着对称轴的交点至少旋转360÷4=90（度）

等腰三角形沿着对称轴的交点至少旋转360÷1=360（度）

等边(正)三角形方形沿着对称轴的交点至少旋转360÷3=120（度），形沿着对称轴的交点至少旋转360÷360=1（度）

半圆沿着对称轴的交点至少旋转360÷1=360（度）与原来的图形完全重合。

4、我们学过的图形的变换有轴对称、平移、旋转。

第二单元因数和倍数

1、我们说的因数和倍数指的是整数，不包括0，也不能说小数。

2、因数和倍数是相对的，不能单独说因数和倍数。

3、一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数有无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数的最大因数=最小倍数=它本身。

4、a÷b=c(a、b、c都是整数)，我们就可以说，能被b整除，也可以说b 能整除a.(例10÷2=5，可以说10能被2整除，2能整除10)。

5、2的倍数特征：个位上是0、2、4、

6、8的数都是2的倍数。

5的倍数特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。

3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

2和5的倍数特征：个位上是0的数，既是2的倍数又是5的倍数。

判断奇数和偶数的依据是：是否是2的倍数。自然数不是奇数就是偶数。奇数：不是2的倍数的数叫奇数。(就是我们生活中常说的单数)

偶数：是2 的倍数的数叫偶数。（就是我们生活中常说的双数）

6、质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数（或素

1

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数）。

合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。判断质数和合数的依据是：根据因数的个数。

一个质数只有两个因数，一个合数至少有两个因数。

7、1既不是质数也不是合数。一个自然数除了质数还有合数，还有1。

8、既是质数又是偶数的一位数是2，既是奇数又是偶数的最小的一位数是9，最小的两位数是15。

第三单元长方体的正方体

第一部分长方体和正方体的认识

1、长方体是由六个长方形，特殊情况下（由两个相对面是正方形）围成的立体图形。正方体是由六个完全相同的正方形围成的立体图形。

2、长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶点。长方体相对的2个面的面积相等，相对的4条棱的长度相等。正方体的6个面完全相同，12条棱长度都相等。正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。正方体是特殊的长方体。

3、长方体中最少有2个面完全相同，最多有4个面完全相同。长方体最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。

4、计算长方体或正方体的棱长总和就用长度单位：米、分米、厘米。每相邻两个长度单位之间的进率是10。

长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4

长方体的棱长总和 =（长+宽+高）×4

长+宽+高=棱长总和÷4 长方体的长=棱长总和÷4 -（宽+高）长方体的宽=棱长总和÷4-(长+高) 长方体的高=棱长总和÷4 -（长+宽）5、正方体的棱长总和=棱长×12 正方体的棱长=棱长总和÷12

第二部分长方体和正方体的表面积

1、长方体和正方体6个面的总面积叫做它们的表面积。

计算表面积也用面积单位：平方米、平方分米、平方厘米。每相邻两个

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面积单位之间的进率是100。

2、长方体上（下）面的面积=长×宽

长方体左（右）面的面积=宽×高长方体前（后）面的面积=长×高长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2

长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高) ×2

正方体的表面积=棱长×棱长×6

正方体一个面的面积=正方体的表面积÷6

第三部分长方体或正方体的体积和容积

1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。

2、常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。每相邻两个体积单位之间的进率是1000。

3、棱长1米的正方体，体积是1立方米。用3根1米长的木条做成一个互成直角的架子，放在墙角，是1立方米。

棱长1分米的正方体，体积是1立方分米。一个粉笔盒的体积接近1立方分米。

棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米。一个手指尖的体积大约是1立方厘米。

4、长方体的体积=长×宽×高 V= abh

长方体的长= 长方体的体积÷宽÷高

长方体的宽=长方体的体积÷长÷高

长方体的高=长方体的体积÷长÷宽

正方体的体积= 棱长×棱长×棱长 V=a×a×a=a

5、长方体或正方体底面的面积叫做底面积。

长方体（或正方体的体积）=底面积×高 V=sh

6、一个正方体的棱长扩大a倍，棱长总和扩大a倍，表面积扩大a×a倍，体积扩大a× a× a倍。

7、计算不规则物体的体积可以用排水法。

水中物体的体积（不规则物体的体积）=容器的底面积×水面上升（或下降）的高度。

水面上升（或下降）的高度=水中物体的体积（不规则物体的体积）÷容器的底面积。

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8、容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积。计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，常用容积单位升或毫升，也可以写成L或ml。

1ml=1cm lL=1dm 1L=1000ml

9、长方体和正方体的容积计算方法，跟体积的计算方法相同。但是容积要从容器里面量出长、宽、高。物体的容积一般都小于物体的体积。只是，为了计算方便，我们把厚度忽略不计。

第四单元分数的意义和性质

第一部分分数的意义

1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的

数，叫做分数。

例（1）5

8表示把单位“1”平均分成8份，表示其中5份的数。或

者表示把5平均分成8份，表示其中1份的数。

例（2）5

8

吨表示把1吨平均分成8份，表示其中5份的数。或

者表示把5吨平均分成8份，表示其中1份的数。

2、把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数，叫做分数单位。

3、解决分数应用题。带单位与不带单位的区别。

⑴如果问题中不带单位，用问题开始的那个单位÷条件中同样的单位的数。

⑵如果问题中带单位，用问题后面的单位÷前边的单位。最后要带上单位。如果问题中每份长？重？也要按带单位的处理，要自觉带上单位。

4、分数与除法的关系：被除数÷除数=被除数

除数

a ÷b=

a

b

(b不等于0)

第二部分真分数和假分数

1、分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。

2、分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等

于1。

3、最小的假分数就是分子和分母相等的分数。

4、由一个整数和一个真分数合成的分数叫做带分数。带分数都大于1。

5、把假分数化成整数或带分数，用分数的分子除以分母，商是带分数的整

数部分，余数是带分数的分子，分母不变。

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第三部分分数的基本性质、约分、通分

1、分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。

这叫做分数的基本性质。

2、几个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中，最大的公因数叫做它们的最大公因数。

3、两个数的公因数是最大公因数的因数。已知最大公因数，求出最大公因数的所有因数，就是这两个数的所有公因数。

4、分解质因数法求两个数的最大公因数：

24=2×2×2×3 36=2×2×3×3 24和36的最大公因数=2×2×3=12 5、两个不同质数一定是互质数，但互质的两个数不一定都是质数。

公因数只有1的两个数，叫做互质数。

6、任意两个相邻的自然数是互质数。1与任何自然数是互质数。任意两个不同质数的是互质数。

7、任意两个相邻的自然数的公因数是1，最大公因数是1。1与任何自然数的公因数是1，最大公因数是1。任意两个不同质数的公因数是1，最大公因数是1。

8、分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。

9、把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。

10、约分时通常用分子和分母的最大公因数约分比较简便。约分的结果必须是最简分数。

11、约分和通分的依据都是分数的基本性质。

12、两个数或几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个公倍数叫做它们的最小公倍数。

13、公倍数是最小公倍数的倍数。

14、如果两个数是因数和倍数关系，那么它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。

如果两个数是互质数，那么它们最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。

15、把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

通分时通常选用两个分母的最小公倍数做公分母比较简便。

16、分母相同的两个分数，分子大的分数就大。分子相同的两个分数，分母

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小的分数就大。

第四部分分数与小数的互化

1、把分数化成小数：

把分数化为小数，直接用分子除以分母。（除不尽的根据需要按“四舍五入”法保留一定的小数位数。）

2、把小数化成分数：看小数部分有几位小数，就在1后面写几个0作分母，

将原来的小数去掉小数点作分子，再把分数化成最简分数。

3、如何判断一个分数能否化成有限小数。

先看看这个分数是不是最简分数，如果不是最简分数，先把它化为最简分数。再把分数的分母分解质因数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他质因数，这个分数就能化成有限小数。如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。

第五单元分数的加法和减法

1、同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减。结果能约分的要化成

最简分数。

2、异分母分数不能直接相加减，因为分母不同，就是分数单位不同；要先

通分，把它们转化成分母相同的分数，再相加减。

3、分数加减法的验算方法与整数加减法的验算方法相同。整数加法的交换

律、结合律对分数加法同样适用。

第六单元、第七单元

1、一组数据中，出现次数最多的数，叫做这组数据的众数。

众数能够反映一组数据的集中情况。

2、在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。

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下一分钟通知到的人数=上一分钟通知的人数×2+1

单位换算的方法：

大化小×进率小化大÷进率

长度单位：大小千米、米、分米、厘米、毫米

1公里＝1千米1千米＝1000米1米＝10分米

1分米＝10厘米1厘米＝10毫米

面积单位：大小平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米、平方毫米

1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米

1平方米＝100平方分米1平方分米＝100平方厘米

1平方厘米＝100平方毫米

体积单位：大小立方米、立方分米、立方厘米

1立方米=1方

1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米

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容积单位：大小升、毫升

1升=1000毫升1升=1立方分米1毫升=1立方厘米

重量单位：大小吨、千克、克

1吨=1000 千克1千克=1000克1千克=1公斤

人民币单位换算：大小元、角、分

1元=10角1角=10分1元=100分

时间单位换算: 大小年、月、日、时、分、秒

1年=12个月1日=24小时1时=60分1分=60秒

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第一单元分数乘法

知识点总结

1.分数乘整数

意义：分数乘整数与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。

分数乘整数：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积做分子，分母不变。分母与整数能约分时，可以先约分，再计算。

2.分数乘分数：乘分数的计算，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积做分母。计算时，能约分的可以先约分再乘。

3.比较积与因数大小的规律

（1）、一个数(0除外)乘以大于1的数，积大于这个数。

（2）、一个数（0除外）乘以小于1的数（0除外），积小于这个数。

（3）、一个数乘以1，积等于这个数。

4.分数的混合运算方法：分数混合运算的顺序和整数混合运算顺序相同，整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也适用。

讲练互动

例1计算。

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9 （1）41×28 65×15×2 （2）53×43 98×87×2

1 分析：分数乘整数，先将分数的分母与整数进行约分，再计算；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积做分母，能约分的先约分再乘，计算更简便。 解：（1）41×28=41×28 =7 65×15×2=65×15×2=2

5×5×2=25 1 7 2 5 1 1

1

(2) 53×43=4533X X =209 98×87×21=98×87×21=219171X X X X =187 1

训练1、计算。

76×28 367×3×6 32×23×43

例2 （1）43×（94＋54＋154） （2）2517×3729＋2517×37

8 （3）100×99

98 分析：可以运用乘法的分配律计算。

解：（1）43×（

94＋54＋154） （2）2517×3729＋2517×378 （3）100×9998 = 43×94＋43×54＋43×154 =2517×（3729＋37

8） =（99+1）×99

98 = 31＋53＋51 =25

17×1 =99×9998＋1×99

98 = 155＋159＋153 =2517 =98＋

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10 99

98 =115

2 训练2. 计算。

1. 75×53－53×72 （2）（16－76）×87 （3）（72＋214）×167

例3.小花8分钟走了480米，他55秒能走多少米？

训练3.王师傅5个小时做了400个零件，他

43个小时能做多少个零件？

能力提升训练

1.用简便方法计算。

2. 75×53－53×72 （2）（16－76）×87 （3）（72＋214）×167

2.算一算。

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11 （1）

21－31= （2）31－41= （3）41－51= （4）101－111= （5）321X = (6) 431X = (7) 541X = (8)11101X = 比较上面算式，你发现了什么？根据你发现的规律计算下题。

211X ＋321X ＋431X ＋541X ＋......＋100

991X

综合练习

一、 填空题

1、12

5 × 3 = （ ）+ （ ）+（ ）= （ ） 2、95×11

7表示： 。53×7表示 。还表示 。

3

2

×2=（ ） 32

4、 4

1小时 = （ ）分 51米 = （ ）厘米 5、在○里填上“＜ ”、“＞”或“＝”

7 × 103 ○ 7 74× 16 ○ 7

4

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12 21×125 ○125 85× 1 ○ 1

6、平角的21是（ ）度，是（ ）角。

7、一段公路每天修全长的121，4天修全长的（ ）。

一、 判断题

1、 51× 12和 12 × 51的意义相同。 （ ）

2、 94×4 = 91 （ ）

3、52×52 = 54 （ ）

4、比97小，比95大的分数只有96。 （ ）

5、 75×43表示求75的43是多少。 （

） 二、 选择题

1、下面（ ）中两个数的积在51和107之间。 A. 51× 21 B. 32× 52 C. 83×5

2、下面（ ）的积大于a （a ＞ 0 ）

A. a × 4

B. a ×41

C. a × 0

D. a × 1

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13 3、一块长方形的菜地，长20米，宽是长的54，求面积的算式是（ ）。

A. 20 ×54

B. 20 ×（20 ×54）

C. （20 + 54）×2

4、 3吨的85和5吨的83（ ）。

A. 3吨的85重

B. 5吨的83重

C.一样重

5、一辆汽车平均每分行109千米，半小时行多少千米？列式是（ ）。 A. 109×21 B. 109×121 C. 109×30

四、计算

1、看图直接写出得数

2、计算下面各题

三、 列式计算

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14 1、

2、 87千米的3

2是多少？

3、 15的

31减去5

3是多少？ 4、 42与42的7

6的差是多少？

5、36的41的5

2是多少？

四、 解决问题

1、 要求完成各题

（1）画图表示出

32×51=（ ） （2）65×31= （ ）

2、旅游商场一套西服原价420元，现在换季打八折，李叔叔身上有350元，想买这套西服够不够？

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15 3、校园里有杨树20棵，柳树是杨树的109，槐树是柳树的3

2，槐树有多少棵？

4、六年级三个班学生帮助图书室修补图书。一班修补了54本，二班修补的是一班的6

5。二班修补了多少本？三班修补的比二班少51，三班修补了多少本？

5.一桶油重40千克，第一次用去了31，第二次用去剩下的5

3，第二次用去这桶油的几分之几？

第二单元 长方体（一）

知识点总结

长方体：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对面完全相同，相对的棱长度相等。

棱：两个面相交的边叫做棱。

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顶点：三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。

正方体：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。

长方体和正方体的面、棱和顶点的数目都一样，只是正方体的棱长都相等，正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。

长方体的特点：长方体有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。

正方体的特点：正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等，有12条棱，每条的棱的长度都相等。

长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 L=（a＋b＋h）×4

长=棱长总和÷4－宽－高 a=L÷4－b－h

宽=棱长总和÷4－长－高 b=L÷4－a－h

高=棱长总和÷4－长－宽 h=L÷4－a－b

正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12

正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12

表面积：长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。

长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 S=2（ab＋ah＋bh）

无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2 S=2（ab＋ah ＋bh）－ab S=2（ah＋bh）＋ab

无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 S=2（ah＋bh）

正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=a×a×6

面积单位进率：1平方米=100平方分米=1000000平方厘米

1平方千米=100公顷=1000000平方米

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基础讲练

1.下图中能围成正方体的是（）号图形。

①③④

2.一个正方体的底面周长是24，正方体的表面积是（）。

3、一个正方体的棱长总和是36厘米，它的表面积是（）。

把一个棱长3分米的正方体，切成两个相等的长方体，增加的两个面的总面积是（）平方分米。

A、18

B、9

C、36

D、以上答案都不对。

4、5000平方分米=（）平方米 4800平方厘米=（）平方米

0.8平方米=( )平方分米=（）平方厘米

5、一个长方体食品盒，长10厘米，宽8厘米，高12厘米。如果围着它贴一圈商标纸（上下面不贴）。这张商标纸的面积至少要多少平方厘米？

综合训练

一、填空。（24点）

1、做一个长和宽都是4分米、高1米的烟囱，至少需要（）平方米的铁皮。

2、长方体每个面都是( )形，也可能有两个相对的面是( )形，( )的面的面积相等， ( )的棱的长度相等。

3、( )是特殊的长方体，它的（）、（）、（）都相等。

4、2米=（）分米 = （）厘米 30平方分米=（）平方米

3.5米=（）米（）分米 3公顷8平方米=（）平方米

5、墨水瓶盒的表面积约是140（），操场的面积约是5000（）。

6、一个长方体的长是10分米，8分米，高6分米，它的棱长总和是（）分米，表面积是（）平方分米。

7、一个正方体的棱长是6厘米，它的棱长的总和是（）分米，它的表面积是（）平方厘米。

二、判断题。（5点）

1、长方体的6个面都是长方形。（）

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18 2、正方体是一种特殊的长方体。（ ）

3、相交于三个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。（ ）

4、棱长2分米的正方体，它的棱长总和与它的表面积相等。（ ）

5、把两个完全相同的正方体木块粘成一个长方体后，表面积不变。（ ）

三、看图填空。（36点）

1、在长方体的展开图中，分别用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”标明6个面。（共6分）

2、填表。（共20点）

3、计算下面图形的表面积。（单位：）（10点）

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四、选择题。（5点）

1、下面图形中不能拼成正方体的是（ ）。

2、如果一个长方体有两个相对的面是正方形，那么其余的面（ ）。

①面积一定相等 ②面积不相等

3、一个长方体水池长20米，宽15米，深3米，占地面积是（ ）。

①300平方米 ②600平方米 ③45平方米

3、一列物体中，形状不是长方体的是（ ）。

①火柴盒 ②红砖 ③茶杯

4、3个棱长1厘米的正方体小方块排成一排，它的表面积是（ ）平方厘米。 ①14 ②18 ③16

5、一个正方体的木料，它的底面积是10cm 2，把它横截成4段，表面积增加（ ）。 ①60 ②40 ③30

五、应用题。（30点）

1、一个无盖玻璃鱼缸的形状是正方体，棱长是3分米，制作这个鱼缸至少需要多大面积的玻璃？

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2、一个长方体的食品盒，长10cm，宽6cm，高12 cm，如果围它贴一圈商标纸（上、

下面不贴），这张商标纸的面积至少需要多少cm 2

？

3、用96

4、3个棱长都是10 cm的正方体堆放在墙角处（如下图），露在外面的面积是多少cm 2

？

5、一个实验室长12米，宽8米，高4米。要粉刷实验室的天花板和四面墙壁，除去门窗和黑板的面积30平方米，平均每平方米用石灰0.2千克，一共需要石灰多少千克？

12 cm

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6、一个正方体的表面积是54平方分米，这个正方体所有棱长之和是多少？

7、一根12米长的长方体木料，侧面是正方形，把木料锯成各6米长的两段后，表面积增加了32平方分米，求原来木料的表面积。

8、一种长方体烟囱，每节烟囱高20分米，底面长4分米，宽3分米，制作12节这样的烟囱，至少需要铁皮多少平方米？

第三单元分数除法

知识点总结

倒数

1、倒数：如果两个数的乘积是1，那么我们称其中一个数是另一个数的倒数。倒数是对两个数来说的，并不是孤立存在的。

2、求倒数的方法：把这个数的分子和分母调换位置。

3、注意：1的倒数仍是1；0没有倒数。0没有倒数，是因为在分数中，0不能做分母。

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