湖北省襄阳市第五中学2015-2016学年高二数学3月月考试题 理

襄阳五中高二年级三月月考

数学试题（理）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的。

2016

1、已知i为虚数单位，复数z满足z(1―i)=1+i，则z= A．1 B．―1 C．i D．―i ２、对满足A?B的非空集合A、B，有下列四个命题：

①“若任取x∈A，则x∈B”是必然事件；②“若x?A，则x∈B”是不可能事件； ③“若任取x∈B，则x∈A”是随机事件；④“若x?B，则x?A”是必然事件． 其中正确命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 3、要计算1+

111++?+的结果，下面的程序框图中的横线上可以填 232016

A．n>2016? B．n≥2016? C．n<2016? D． n≤2016?

４、襄阳市教育局于2014年2月24日下发通知：全市中小学、幼儿园内禁止吸烟．美国癌症协会研究表明，开始吸烟年龄(X)分别为16岁、18岁、20岁和22岁，其得肺癌的相对危险度(Y)依次为15.10、12.81、9.72、3.21；每天吸烟(U)10支、20支、30支者，其得肺癌的相对危险度(v)分别为7.5、9.5和16.6．用r1表示变量X与Y之间的线性相关系数，用r2表示变量U与V之间的线性相关系数，则下列说法正确的是 A．r1<0< r2 B．0r2>0 D．rl=r2

S11=，推广到S24V空间中可以得到类似结论：已知正四面体P―ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则1=

V21111A． B． C． D．

98642734６、设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙

45５、在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是

19 400 12７、已知|AB|=3，A、B分别在x轴和y轴上运动，O为原点，OP=OA+OB，则动点P的轨迹方

33A．

B．

C．

D．

程是

9 209 253 80y2?1 A．x?92x2?y2?1 B．9y2?1 C．x?42x2?y2?1 D．4８、方程(x??y2?2y?8)x?y?0表示的曲线为

1

A．一条线段与一段劣弧 C．一条射线与半圆 B．一条射线与一段劣弧 D．一条直线和一个圆

x2y23a９、设F1、F2是椭圆E：2?2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x?上一点，△F2PF1是底

ab2角为30o的等腰三角形，则椭圆E的离心率为 A．

4 5B．

3 4C．

2 3D．

1 21，则使得f(x)>f(2x―1)成立的x的取值范围是 1?x2111A． (―∞,―)∪(,+∞) B．(―∞,)∪(1,+∞)

333111C．(―,) D．(,1)

33310、设函数f(x)=ln(1+|x|)―

x2y211、设椭圆2+2=1 (a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，点P(a，b)满足|F1F2|=|PF2|，设直线PF2与椭

ab圆交于M、N两点，若|MN|=16，则椭圆的方程为

x2y2A．+=1

144108x2y2B．+=1

36272

x2y2C．+=1

10075x2y2D．+=1

1612f(p?1)?f(q?1)>1

p?q12、已知f(x)=aln(x+1)―x在区间(0,1)内任取两个实数p、q，且p≠q，不等式

恒成立，则实数a的取值范围为 A．(―∞,15] B．[15,+∞) C．(―12,15] D．(12,30]

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

13、曲线y=2x―lnx在点（1, 2）处的切线方程是 ；

14、由曲线y=x，直线y=x―2及y轴所围成的图形的面积为 ；

15、已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a=1，2cosC+c=2b， 则△ABC的周长的取值范围是 ；

16、下列正确的是 ； ①已知命题p：|5x―2|>3，命题q：

1>0，则?q是?p的必要不充分条件； 2x?4x?5②在△ABC中，A>B是sinA>sinB的充分不必要条件；

③在△ABC中，tanAtanB>1是△ABC为锐角三角形的充要条件； ④在△ABC中，AB?BC>0是△ABC为钝角三角形的充要条件； ⑤在△ABC中，AB?AC=BA?BC是|AC|=|BC|的充要条件；

2

⑥两条直线互相平行是这两条直线斜率相等的充要条件；

3

三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（本题满分12分）

x

已知a∈R，设命题p：函数f(x)=a (a>0且a≠1)是R上的单调递减函数；

2

命题q：函数g(x)=lg(2ax+2ax+1)的定义域为R．若“p?q”是真命题，“p?q”是假命题， 求实数a的取值范围． 18、（本题满分12分）

22

已知圆C：x+y=4

(Ⅰ)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|=23，求直线l的方程；

(Ⅱ)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQ=OM+ON， 求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线. 19、（本题满分12分）

在2 016年3月份“湖北省重点中学八校联考”考试中对数学成绩数据统计显示，八校10000名学生数学的成绩服从正态分布N(120，25)，襄阳五中高三随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于85分到145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），?，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）试求出a的值；

（Ⅱ）试估计襄阳五中学生数学的平均成绩；

（Ⅲ）襄阳五中这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在八校10000名学生前13名的人数记为X，求X的分布列和期望．

2

附：若 X～N(???)，则P(?―3?＜X＜? +3?)=0.9974．

4

20、（本题满分12分）

1x2y2?3?已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?错误！未找到引用源。的离心率e?，且过点M?1,?

2ab?2?(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)椭圆C长轴两端点分别为A、B，点P为椭圆上异于A、B的动点，定直线x?4错误！未找到引用源。与直线PA、PB分别交于M、N两点，又E?7,0?，过E 、M、N三点的圆是否过x错误！未找到引用源。轴上不同于点E的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．

21、（本题满分12分）

已知函数f?x??ln?2ax?1??x33?x2?2ax?a?R?． （I）若x?2为f?x?的极值点，求实数a的值；

（II）若y?f?x?在?3,???上为增函数，求实数a的取值范围；

3（III）当a??1?1?x?2时，方程f?1?x??3?bx有实根，求实数b的最大值．

22、（本题满分10分）

用分析法证明：.若△ABC的三内角A、B、C成等差数列，求证：

1a?b+1b?c=3a?b?c。 5

襄阳五中高二年级3月月考数学试题（理）参考答案

一、选择题（5?×12=60?） 题1 2 3 4 5 6 7 8 9 号 答A C D A B D C A B 案 二、填空题（5?×4=20?） 13、x―y+1=0；14、

10 D 11 C 12 B 16；15、(2,3]；16、①③⑤； 3三、解答题（12?+12?+12?+12?+12?+10?=70?）

17、解：若p为真，则0?a?1，若q为真，则a?0或??a?0???(2a)?4?2a?02?0?a?2，????4

分

∵p?q为真命题，p?q为假命题，∴p，q一真一假， ???????????????????6分

?0?a?1?a?0或a?1当p真q假时，??a??，当p假q真时，??1?a?2或a?0，???10

a?0或a?20?a?2??分

综上所述：实数a的取值范围为{a|1?a?2或a?0}。（注意：结果中没有a=0扣2分）??????12分

18、解：（Ⅰ）①当直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为x?1，l与圆的两个交点坐标为1,3和

?1,?3?，其距离为2kx?y?k?2?0.

??3，满足题意.②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y?2?k?x?1?，即

2设圆心到此直线的距离为d，则23?24?d，得d?1∴1?|?k?2|k2?1，k?3,故所求直线方程为4所求直线为3x?4y?5?0或x?1.(没有x=1扣2分)??????????3x?4y?5?0.综上所述，6分

?????????????（Ⅱ）设点M的坐标为?x0,y0?，Q点坐标为?x,y?，则N点坐标是?0,y0?.∵OQ?OM?ON，

y22y?∴ 即,.又∵，x?xx,y?x,2yx0?y0?4???00?002y22?4.????????????8分 ∴x?4y2x2??1(y?0)，?????????由已知，直线m //x轴，所以，y?0，∴Q点的轨迹方程是

16410分

轨迹是焦点坐标为F1(0,?23),F2(0,23)，长轴为8的椭圆，并去掉(?2,0)两点.?????????12分 19、解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知[125，135）的频率为

1―(0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10)=0.12，∴a=0.12?10=0.012 ??????????4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，估计襄阳五中高三年级全体学生的数学平均成绩约为

90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112 ??????????????????6分

6

（Ⅲ）由于

131?0.9974=0.0013，根据正态分布：P(120―3×5＜X＜120+3×5)=0.9974，故P(x≥135)=

100002=0.0013，即0.0013?10000=13，所以前13名的成绩全部在135分以上根据频率分布直方图可知这50人

中成绩在135以上（包括135分）的有50×0.08=4人，而在[125，145)的学生有50×(0.12+0.08)=10 ?????8分 所以X的取值为0，1，2，3．∴P(X=0)=所以X的分布列为

数学期望值为EX=0×+1×+2×20、解：(Ⅰ)∵e=分

+3×

=，P(X=1)=

=，P(X=2)=

=

，P(X=3)=

=

；

X 0 1 2 3 P =1.2． ????????????????????????12分

1222232

?a=2c，∵a=b+c?b=a，???????????????????????2243x24y22

∴椭圆的方程为：2+=1，∵M(1,)在椭圆上，∴a=4，??????????????????22a3a4分

∴所求椭圆的方程为：错误！未找到引用源。；?????????????????????????????6分 (Ⅱ)设PA、PB的斜率分别为k1、k2，错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。 则PA：错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，PB：错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，

∴错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。?错误！未找到引用源。，?????????????????????8分 设圆过定点F?m,0?，则错误！未找到引用源。，则m?1或m?7(舍)

故过点E、M、N三点的圆是以MN为直径的圆过点F?1,0?。??????????????????12分

2ax2ax2??1?4a?x?4a2?22?x?2x?2a?21、解：（I）f??x??

2ax?12ax?12a?2a?0，解得a?0， ????????????∵x?2为f?x?的极值点，∴f??2??0，即

4a?14分

????x2ax2??1?4a?x?4a2?2?0在?3,???上恒（II）因为函数f?x?在?3,???上为增函数，所以f??x??2ax?1成立。

①当a?0时，f??x??x?x?2??0在?3,???上恒成立，∴f?x?在?3,???上为增函数，故a?0 符合题意。

②当a?0时，由函数f?x?的定义域可知，必须有2ax?1?0对x?3恒成立，故只能a?0， ∴2ax??1?4a?x?4a?2?0在?3,???上恒成立。令函数g?x??2ax??1?4a?x?4a?2，??6分

2222????????其对称轴为x?1?11?1，要使g?x??0在?3,???上恒成立，只要g?3??0即可，，∵a?0，∴1?

4a4a 7

3?133?133?13。∵a?0，∴0?a?。 ?a?444?3?13?综上所述，a的取值范围为?0,?。???????????????????????????

4??即g?3???4a2?6a?1?0，∴8分

1?1?x??b可化为lnx??1?x?2??1?x??b。

（Ⅲ）当a??时，方程f?1?x??2x3x2问题转化为b?xlnx?x?1?x??x?1?x??xlnx?x2?x3在?0,???上有解，

3即求函数g?x??xlnx?x2?x3的值域。 ???????????????????????????10分

∵函数g?x??xlnx?x?x=x(lnx+x―x)，

232

?2x?1??1?x?， 1?1?2x?xx∴当0?x?1时，h??x??0，从而函数h?x?在?0,1?上为增函数，

当x?1时，h??x??0，从而函数h?x?在?1,???上为减函数，因此h?x??h?1??0。

而x?0，所以b?x?h?x??0，因此当x?1时，b取得最大值0. ????????????????

令函数h?x??lnx?x?x?x?0?，则h??x??212分 22、解：要证

2

11322

+=?(a+b+c)(b+c)+(a+b+c)(a+b)=3(a+b)(b+c)? a+c―a?bb?ca?b?c1222

?a+c―b=ac ????????????????????82b=ac ???5分

∵A、B、C成等差数列?B=60o?cosB=分 ∴

113+= ????????????????????????????????a?bb?ca?b?c10分

8

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