2015人教A版数学(理)总复习课时演练 第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性Word版含解析
更新时间:2023-12-10 08:19:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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第二章 第三节
1.(2014·广东六校联考)若偶函数f(x)在(-∞,0)内单调递减,则不等式f(-1)<f(lg x)的解集是( )
A.(0,10) 1
,+∞? C.??10?
1
,10? B.??10?
1
0,?∪(10,+∞) D.??10?解析:选D 因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|),因为f(x)在(-∞,0)内单调递减,所1
以f(x)在(0,+∞)上单调递增.故|lg x|>1,即lg x>1或lg x<-1,解得x>10或0<x<.
10
2.(2014·东北三校模拟)若偶函数f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则下列关系式中成立的是( )
3
-? -? C.f(2) -? -? -? 3.(2014·东北三校联考)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=( ) A.-1 C.-2 B.1 D.2 解析:选A ∵函数f(x)的周期为5,∴f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1),又∵f(x)为R上的奇函数,∴f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1. 4.已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( ) A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递减区间是(-∞,0) 2 ??x-2x?x≥0? 解析:选C f(x)=?2,当x>0时,-x<0,f(-x)=-(-x)2-2·(-x)=- ?-x-2x?x<0?? x2+2x=-(x2-2x)=-f(x);当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=-(-x2-2x)=-f(x);又f(0)=0,故f(x)是奇函数.画出图象知递减区间为(-1,1),递增区间为(-∞,-1)和(1, +∞),故选C. 5.(2014·合肥检测)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x -3,则f(f(1))=( ) A.1 C.2 B.-1 D.-2 -1 解析:选A 依题意得f(1)=20-3=-2,f(f(1))=f(-2)=-f(2)=-(21-3)=1,故选A. 6.(2014·沈阳模拟)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,则满足不等式f(2x-5?1)>f??3?成立的x的取值范围是( ) 14 -,? A.??33?14?C.??3,3? 14 -,? B.??33?14?D.??3,3? 解析:选B 因为偶函数的图象关于y轴对称,在区间[0,+∞]上单调递减,所以f(x)5?5514 在(-∞,0]上单调递增,若f(2x-1)>f?,则-<2x-1<,故- 7.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2 011)+f(2 012)=( ) A.1+log2 3 C.-1 B.-1+log2 3 D.1 解析:选C ∵f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,∴f(-2 011)=f(2 011).当x≥0时,f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是以4为周期的函数.又2 011=4×502+3,2 012=4×503,∴f(2 011)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-log2(1+1)=-1,f(2 012)=f(0)=log2 1=0,∴f(-2 011)+f(2 012)=-1,故选C. 8.(2014·长春调研)设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(-x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0,那么m2+n2的取值范围是( ) A.(9,49) C.(9,25) B.(13,49) D.(3,7) 解析:选A 依题意得f(-x)=-f(x),因此由f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0得f(m2-6m+21)<-f(n2-8n)=f(-n2+8n).又f(x)是定义在R上的增函数,于是有m2-6m+21<-n2+8n,即(m-3)2+(n-4)2<4.在坐标平面mOn内该不等式表示的是以点(3,4)为圆心、2为半径的圆内的点,m2+n2可视为该平面区域内的点(m,n)与原点间的距离的平方,结合图形可知m2+n2的取值范围是(9,49),选A. 9.(2014·宁波模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=ex+a,若f(x) 在R上是单调函数,则实数a的最小值是________. 解析:-1 依题意得f(0)=0.当x>0时,f(x)>e0+a=a+1.若函数f(x)在R上是单调函数,则f(x)是R上的单调增函数,则有a+1≥0,a≥-1,因此实数a的最小值是-1. 10.(2014·孝感调研)已知y=f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,且0≤x≤2时,f(x)=x2-2x,则10≤x≤12时,f(x)=________. 解析:-x2+22x-120 因为f(x)在R上是周期为4的奇函数,所以f(-x)=-f(x),f(x+4)=f(x)?f(x-12)=f(x).设0≥x≥-2,则0≤-x≤2,f(x)=-f(-x)=-x2-2x.当10≤x≤12时,-2≤x-12≤0,f(x)=f(x-12)=-(x-12)2-2(x-12)=-x2+22x-120. 11.(2012·上海高考)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=________. 解析:-1 ∵y=f(x)+x2为奇函数 ∴f(-x)+(-x)2=-[f(x)+x2] ∴f(x)+f(-x)+2x2=0 ∴f(1)+f(-1)+2=0 ∵f(1)=1 ∴f(-1)=-3 ∵g(x)=f(x)+2 ∴g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1. 12.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则f(-25),f(11),f(80)从大到小的顺序为________. 解析:f(11)>f(80)>f(-25) 因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).因为f(x)在R上是奇函数,f(0)=0,得f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1),而由f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1),又f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(1)>f(0)=0.所以-f(1)<0,即f(11)>f(80)>f(-25). 13.(2014·潍坊模拟)已知定义在R上的偶函数满足:f(x+4)=f(x)+f(2),且当x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减,给出以下四个命题: ①f(2)=0;②x=-4为函数y=f(x)图象的一条对称轴;③函数y=f(x)在[8,10]上单调递增;④若方程f(x)=m在[-6,-2]上的两根为x1,x2,则x1+x2=-8. 以上命题中所有正确命题的序号为________. 解析:①②④ 令x=-2,得f(2)=f(-2)+f(2),所以f(-2)=0,又函数f(x)是偶函数,故f(2)=0;根据①可得f(x+4)=f(x),则函数f(x)的周期是4,由于偶函数的图象关于y轴对称,故x=-4也是函数y=f(x)图象的一条对称轴;根据函数的周期性可知,函数f(x)在[8,10]上单调递减,③不正确;由于函数f(x)的图象关于直线x=-4对称,故如果方程f(x)=m在 x1+x2 区间[-6,-2]上的两根为x1,x2,则=-4,即x1+x2=-8.故正确命题的序号为① 2②④. 14.已知函数f(x)=x2+a x(x≠0,常数a∈R). (1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若f(1)=2,试判断f(x)在[2,+∞)上的单调性. 解:(1)当a=0时,f(x)=x2, f(-x)=f(x),函数是偶函数. 当a≠0时,f(x)=x2+a x(x≠0,常数a∈R),取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0; f(-1)-f(1)=-2a≠0, 即f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). 故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)若f(1)=2,即1+a=2,解得a=1, 这时f(x)=x2+1 x . 任取x1,x2∈[2,+∞),且x1 x21211+x?1 ?-??x2+x?2 ? =(xx2-x1 1+x2)(x1-x2)+x1x2 =(x1-x2)??x+x112-x? 1x2?. 由于x1≥2,x2≥2,且x1 1-x2<0,x1+x2>xx, 12所以f(x1) 故f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数. 1.设f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则x·f(x)<0的解集是( A.{x|-3 解析:选D 由x·f(x)<0, 得???x<0,??x>0??f?x?>0 或?,??f?x?<0, 而f(-3)=0,f(3)=0, ) ???x<0,?x>0,?即或? ?f?x?>f?-3????f?x? 所以x·f(x)<0的解集是{x|-3 2.函数f(x)的定义域为R,且满足:f(x)是偶函数,f(x-1)是奇函数,若f(0.5)=9,则f(8.5)=( ) A.-9 C.-3 B.9 D.0 解析:选B 因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x),又f(x-1)是奇函数,所以f(-x-1)=-f(x-1).令t=x+1,可得f(-t)=f(t)=-f(t-2),所以f(t-2)=-f(t-4).所以可得f(x)=f(x-4).所以f(8.5)=f(4.5)=f(0.5)=9. 3.若偶函数y=f(x)为R上的周期为6的周期函数,且满足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),则f(-6)=________. 解析:-1 ∵y=f(x)为偶函数,且f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3), ∴f(x)=x2+(1-a)x-a,∴1-a=0. ∴a=1.f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3). f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1. 4.关于函数,给出下列命题: ①若函数f(x)是R上周期为3的偶函数,且满足f(1)=1,则f(2)-f(-4)=0; ②若函数f(x)满足f(x+1)f(x)=2 013,则f(x)是周期函数; ??x-1,x>0,③若函数g(x)=?是偶函数,则f(x)=x+1; ?f?x?,x<0? ④函数y= 31?log|2x-3|的定义域为??2,+∞?. 3 其中正确的命题是________.(写出所有正确命题的序号) 解析:①② ①因为f(x+3)=f(x)且f(-x)=f(x),所以f(2)=f(-1+3)=f(-1)=f(1)=1,f(-4)=f(-1)=f(1)=1,故f(2)-f(-4)=0,①正确. 2 0132 013 ②因为f(x+1)f(x)=2 013,所以f(x+1)=,f(x+2)==f(x).所以f(x)是周期 f?x?f?x+1?为2的周期函数,②正确. ③令x<0,则-x>0,g(-x)=-x-1.又g(x)为偶函数,所以g(x)=g(-x)=-x-1.即f(x)=-x-1,③不正确. ??log1|2x-3|≥0,3 ④要使函数有意义,需满足?3即0<|2x-3|≤1,所以1≤x≤2且x≠, 2 ??|2x-3|>0, 33 1,?∪?,2?,④不正确. 即函数的定义域为??2??2? -x+2x,x>0,?? 5.已知函数f(x)=?0,x=0, ??x2+mx,x<0(1)求实数m的值; (2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围. 解:(1)设x<0,则-x>0, 所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2. ??a-2>-1, (2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象知? ?a-2≤1.? 2 是奇函数, 所以1 6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称. (1)求证:f(x)是周期为4的周期函数; (2)若f(x)=x(0 又函数f(x)是定义在R上的奇函数, 故有f(-x)=-f(x). 故f(x+2)=-f(x). 从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即f(x)是周期为4的周期函数. (2)解:由函数f(x)是定义在R上的奇函数,有f(0)=0. x∈[-1,0)时,-x∈(0,1], f(x)=-f(-x)=--x. 故x∈[-1,0]时,f(x)=--x. x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=--x-4. 从而,x∈[-5,-4]时, 函数f(x)=--x-4.
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