上海虹口区2011学年度第二学期高三年级数学学科教学质量监控测试卷（理科）

虹口区2011学年度第二学期高三年级数学学科

教学质量监控测试卷（理科）

（时间120分钟，满分150分）

一、填空题（每小题4分，满分56分）

1、已知集合A?xx?2，B??x???x?5??0?，则A?B? ．

?x?1?2、数列?an?的前n项和Sn?n2?n?3，则通项公式an? ． 3、直线x?y?5?0被圆x2?y2?2x?4y?4?0所截得的弦长等于 ． 4、各项都为正数的等比数列?an?中，a1?1，a2?a3?27(11?)，则通项公式a2a3an? ．

OB5、以O为起点作向量a，终点分别为A、B．已知：a?2，b?5，a?b??6，则?Ab，

的面积等于 ．

6、过抛物线y2?4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若AB?10，则AB的中点P到y轴的距离等于 ．

7、若P，Q是等腰直角三角形ABC斜边AB的三等分点，则tan?PCQ? ．

结束 28、不等式x?3?ax?a对一切3?x?4恒成立，

开始 S=0 T=0 n=0 是 输出T T>S S=S+5 则实数a的取值范围是 ．

9、执行右边程序框图，输出的T? ．

n=n+2 T=T+n 第9题

10、在极坐标系中，由三条直线??0，??于 ．

?4，?cos??2?sin??2围成图形的面积等

11、从1，2，3，4，5中任取2个不同数作和，如果和为偶数得2分，和为奇数得1分，若?表示取出后的得分，则E?? ．

12、关于x的方程x2?ax?a2?9?0（a?R）有唯一的实数根，则a? ． 13、公差为d，各项均为正整数的等差数列中，若a1?1，an?51，则n?d的最小值等于 ．

14、定义在R上的偶函数f(x)，对任意的x?R均有f(x?4)?f(x)成立，当x?[0,2]时，

f(x)?x?3，则直线y?

9

与函数y?f(x)的图像交点中最近两点的距离等于 ． 2

二、选择题（每小题4分，满分16分）

15、给定空间中的直线l及平面?，条件“直线l与平面?垂直”是“直线l与平面?内无数条直线垂直”的（ ）

A. 充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件

x2y2??1的16、如果2?i是关于x的实系数方程x?mx?n?0的一个根，则圆锥曲线mn2焦点坐标是（ ）

A.(?1,0) B. (0,?1) C.(?3,0) D. (0,?3)

17、已知：函数f(x)???log3x(0?x?9)??x?11(x?9)b，，若a，且f(a)?f(b)?f(c)，c均不相等，

则a?b?c的取值范围是（ ） A. (0,9) B. (2,9) C. (9,11) D.(2,11)

an的最小值为（ ） n18、已知：数列?an?满足a1?16，an?1?an?2n，则 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

三、解答题（满分78分） 19、（本题满分14分）

已知：四棱锥P?ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA?平面ABCD，且PA?2，?ABC?60?，E，F分别是BC，PC的中点．

P（1）求四棱锥P?ABCD的体积； （2）求二面角F?AE?C的大小． FAD

CBE 20、（本题满分14分） 已知：函数f(x)?psin?x?cos?x?cos2?x(p?0,??0)的最大值为（1）求：p，?的值，f(x)的解析式；

（2）若?ABC的三条边为a，b，c，满足a?bc，a边所对的角为A．求：角A的取值范围及函数f(A)的值域．

21、（本题满分16分）数列?an?中，an?0，an?1，且an?1?（1）证明：an?an?1； （2）若a1?21?，最小正周期为． 223an?（n?N）．

2an?13，计算a2，a3，a4的值，并求出数列?an?的通项公式； 4（3）若a1?a，求实数p（p?0），使得数列?

?p?an??成等比数列． a?n?

x2y222、（本题满分16分）已知：椭圆2?2?1（a?b?0），过点A(?a,0)，B(0,b)的

ab直线倾斜角为

?3，原点到该直线的距离为． 62（1）求椭圆的方程；

（2）斜率大于零的直线过D(?1,方程；

（3）是否存在实数k，直线y?kx?2交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过点

0)与椭圆交于E，F两点，若ED?2DF，求直线EF的

D(?1,0)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

23、（本题满分18分）

对于定义域为D的函数y?f(x)，如果存在区间[m,①f(x)在[m,n]?D，同时满足：

n]内是单调函数；

n]时，f(x)的值域也是[m,n]．

②当定义域是[m,则称[m,． n]是该函数的“和谐区间”

（1）求证：函数y?g(x)?3?5不存在“和谐区间”． x(a2?a)x?1（2）已知：函数y?（a?R,a?0）有“和谐区间”[m,n]，当a变化时，

a2x求出n?m的最大值．

（3）易知，函数y?x是以任一区间[m,n]为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”

的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的y?x及形如

y?

bx?c的函数为例） ax虹口区2010学年度第二学期高三年级数学学科

教学质量监控测试卷答案（理科）

一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、x?2?x?1； 2、?????1(n?1)； 3、2； 4、3n?1；

?2n(n?2)3 8、；a?3 9、；30 45、；4 6、；4 7、；10、

27； 11、； 12、3； 13、16； 14、1 35二、选择题（每小题4分，满分16分）

15、B； 16、D； 17、C； 18、B； 三、解答题（满分78分） 19、(14分)（1）VP?ABCD?P43????4分 3FAOGBECD?FO//PA（2）取AC的中点O，连接FO，?F为PC中点，

1且FO?PA，又PA?平面ABCD，?FO?平面

2ABCD．????????6分

GO就是二面角F?AE?C过O作OG?AE于G，则?F的平面角．??????????8分 由FO?1，GO?

1，得二面角的大小为arctan2??????14分 2p1120、（14分）（1）f(x)?sin2?x?cos2?x??222由

p2?111sin(2?x?arctan)?， 2p22???，得??2??????2分 2?2由

p2?111??及p?0，得p?3??????4分 222?1?f(x)?sin(4x?)?????6分

62b2?c2?a2b2?c2?bc2bc?bc1???．??????8分 （2）cosA?2bc2bc2bc2A为三角形内角，所以0?A??3??????10分

???6?4A??6?7?1?1，??sin(4A?)?1，??1?f(A)?????14分 626221、（16分）（1）若an?an?1，即

3an?an，得an?0或an?1与题设矛盾， 2an?1?an?an?1??4分

（2）a2?92781，a3?，a4?????6分（错一个扣1分，错2个全扣） 1028823n解法一：用数学归纳法，先猜想an?n，再用数学归纳法证明．????10分

3?1解法二：，由

1an?1112111?()?，得?1?(?1)， 3an3an?13an?数列{111111?1}是首项为?1?，公比为的等比数列，??1?()n，得

3a13anan33nan?n????10分

3?1p?an?1?p?an?an?1(2p?3)an?pq（3）设数列?成等比数列，公比为，则??q， ?p?a3(p?an)n?an?an即(2p?3q?3)an?3pq?p??????14分

?p??1?2p?3q?3?0?由p?0，??an?不是常数列，??，?1，

q??p(3q?1)?0?3?此时，?

22、（16分）（1）由

?p?an?1?是公比为的等比数列??????16分

3?an?13b31?a2?b2 ，得a?3，b?1， ?，a?b??222a3

x2?y2?1????????4分 所以椭圆方程是：3x2?y2?1，得(m2?3)y2?2my?2?0， （2）设EF：x?my?1（m?0）代入3设E(x1,y1)，F(x2,y2)，由ED?2DF，得y1??2y2．

2m?22yy??2y?，????????8分 122m2?3m2?32m21)?2得(?2，?m?1，m??1（舍去），（没舍去扣1分）

m?3m?3由y1?y2??y2?直线EF的方程为：x?y?1即x?y?1?0????????10分

x2?y2?1，得(3k2?1)x2?12kx?9?0（*） （3）将y?kx?2代入3记P(x1,y1)，Q(x2,y1)?(x2?1,y2)，PQ为直径的圆过D(?1,0)，则PD?QD，即

(x1?1,2y2)?(x1?1)(x2?1)?y1y2?0，又y1?kx1?2，y2?kx2?2，

?12k?14?0．??????14分

3k2?177

解得k?，此时（*）方程??0，?存在k?，满足题设条件．????16分

66

得(k?1)x1x2?(2k?1)(x1?x2)?5?23、（18分）（1）设[m,n]是已知函数定义域的子集．?x?0，[m,n]?(??,0)或

5在[m,n]上单调递增． x[m,n]?(0,??)，故函数y?3?若[m,?g(m)?m，则??????4分 n]是已知函数的“和谐区间”

?g(n)?n5?x的同号的相异实数根． x5?x2?3x?5?0无实数根，?函数y?3?不存在“和谐区间”．??????6分

x故m、n是方程3?

（2）设[m,n]是已知函数定义域的子集．?x?0，[m,n]?(??,0)或

(a2?a)x?1a?11??在[m,n]上单调递增． [m,n]?(0,??)，故函数y?22aaxax若[m,?f(m)?m，则??????10分 n]是已知函数的“和谐区间”

?f(n)?na?11?2?x，即a2x?(a2?a)x?1?0的同号的相异实数根． aax故m、n是方程

?mn?1?0，?m，n同号，只须??a2(a?3)(a?1)?0，即a?1或a??3时，已2a知函数有“和谐区间”[m,114n]，?n?m?(n?m)2?4mn??3(?)2?，

a3323??????14分 3?当a?3时，n?m取最大值

（3）如：y??x?2和谐区间为[0,2]、[?1,3]，当a?b?2的区间[a,b]；

y?sinx和谐区间为[0,1]；

?2 y?1?x2和谐区间为[?1,0]；????

??????????????18分 阅卷时，除考虑值域外，请特别注意函数在该区间上是否单调，不单调不给分．如举y?x及形如y?

bx?c的函数不给分． ax

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