2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.6正弦定理和余弦定理课后作业理

3．6 正弦定理和余弦定理

[重点保分 两级优选练]

A级

一、选择题

1．(2017·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝13，b＝3，A＝60°，则边c＝( )

A．1 B．2 C．4 D．6 答案 C

解析 a＝c＋b－2cbcosA?13＝c＋9－6ccos60°，即c－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)．故选C.

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝2a，则( ) A．a>b B．a

D．a与b的大小关系不能确定 答案 A

解析 据题意由余弦定理可得a＋b－2abcos120°＝c＝(2a)，化简整理得a＝b＋

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ab，变形得a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝ab>0，故有a－b>0，即a>b.故选A.

A．2 B．3 C.2 D.3 答案 A

解析 由2bsin2A＝asinB，得4bsinAcosA＝asinB，由正弦定理得4sinBsinAcosA＝1222222

sinAsinB，∵sinA≠0，且sinB≠0，∴cosA＝，由余弦定理得a＝b＋4b－b，∴a＝4b，

4∴＝2.故选A.

1

A．1 B．2 C．－2 D.

2答案 B

解析 不妨设a＝2，b＝3，c＝4，故cosC＝2－6

＝2，故选B.

4＋9－161sinA－2sinBa－2b＝－，故＝＝2×2×34sin2C2ccosCab?1?8×?－??4?

5．在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知

b2＋c2＝a2＋bc.若sinBsinC＝，△ABC的形状( )

A．等边三角形 C．钝角三角形

B．不含60°的等腰三角形 D．直角三角形

34

答案 A

b2＋c2－a2222

解析 在△ABC中，由余弦定理，可得cosA＝，由已知，得b＋c－a＝bc，

2bc1

∴cosA＝. 2

∵0

π. 3

π2π

∵A＋B＋C＝π，A＝，∴C＝－B.

333?2π?3

由sinBsinC＝，得sinBsin?－B?＝.

4?3?4即sinB?sin

??

2π2π3

cosB－cossinB?＝. ?33?4

3132

sinBcosB＋sinB＝， 224313sin2B＋(1－cos2B)＝， 444

π?31?sin2B－cos2B＝1，∴sin?2B－?＝1.

6?22?又∵－∴2B－

ππ7π

<2B－<， 666πππ＝，即B＝. 623

π

∴C＝，也就是△ABC为等边三角形．故选A.

3

6．(2014·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c＝(a－

2

b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )

A．3 B.答案 C

解析 c＝(a－b)＋6，即c＝a＋b－2ab＋6.① π222

∵C＝，∴由余弦定理得c＝a＋b－ab，②

3由①和②得

2

2

2

2

2

π3

9333

C. D．33 22

ab＝6，∴S△ABC＝

11333

absinC＝×6×＝，2222

故选C.

7．(2018·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，

b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为( )

A．(2，3) B．(1，3) C．(2，2) D．(0,2) 答案 A

解析 由＝＝，得b＝2cosA.

sinAsinBsin2Aπππ

ππ

，所以A<， 24

abbππ23

1

8．(2014·全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝2，则AC＝( )

2A．5 B.5 C．2 D．1 答案 B

1112

解析 S△ABC＝AB·BCsinB＝×1×2sinB＝，∴sinB＝，∴B＝45°或135°.若B2222＝45°，则由余弦定理得AC＝1，∴△ABC为直角三角形，不符合题意，因此B＝135°，由余弦定理得AC＝AB＋BC－2AB·BCcosB＝1＋2－2×1×2×?－B.

9．(2018·辽宁五校第一次联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，则△ABC一定是( )

A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰或者直角三角形 答案 C

解析 由两直线平行可得bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0，11

即sin2A＝sin2B，又A、B∈(0，π)，且A＋B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即22

2

2

2

?

?2?

?＝5，∴AC＝5.故选2?

A＝B或A＋B＝.若A＝B，则a＝b，cosA＝cosB，此时两直线重合，不符合题意，舍去，

π

故A＋B＝，则△ABC是直角三角形，故选C.

2

10．(2017·武昌调研)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2bsinC，则tanA＋tanB＋tanC的最小值是( )

A．4 B．33 C．8 D．63 答案 C

解析 a＝2bsinC?sinA＝2sinBsinC?sin(B＋C)＝2sinBsinC?tanB＋tanC＝2tanBtanC，又根据三角形中的三角恒等式tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC(注：tanA＝tan(π－B－C)＝－tan(B＋C)＝－tanB＋tanC，

1－tanBtanCtanA，

tanA－2

π2

即tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC)?tanBtanC＝

tanAm?t＋2?4

∴tanAtanBtanC＝tanA·＝(tanA＝m)，令m－2＝t?＝t＋＋

tanA－2m－2tt4

4≥8，当且仅当t＝，即t＝2，tanA＝4时，取等号．故选C.

22

t二、填空题

11．(2015·重庆高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC1

＝－，3sinA＝2sinB，则c＝________.

4

答案 4

3

解析 由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.由余弦定理cosC＝

2

222

a2＋b2－c212＋3－c，得－＝，解得c＝4. 2ab42×2×3

12．(2018·河北唐山一模)在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90°，则cosB＝________.

3答案 4

解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c. ∴2sinB＝sinA＋sinC.

∵A－C＝90°，∴2sinB＝sin(90°＋C)＋sinC. ∴2sinB＝cosC＋sinC. ∴2sinB＝2sin(C＋45°)．①

∵A＋B＋C＝180°且A－C＝90°，∴C＝45°－，代入①式中，2sinB＝2

2

BB??sin?90°－?. 2??

∴2sinB＝2cos.

2∴4sincos＝2cos.

222

BBBBB2

∴sin＝. 24

132B∴cosB＝1－2sin＝1－＝. 244

13．(2018·沈阳监测)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4S＝a－(b－c)，b＋c＝8，则S的最大值为________．

答案 8

1222

解析 由题意得4×bcsinA＝a－b－c＋2bc.

2

又a＝b＋c－2bccosA，代入上式得2bcsinA＝－2bccosA＋2bc，

2

2

22

2

即sinA＋cosA＝1，2sin?A＋

??

π?

?＝1， 4?

ππ5ππ3π

又0

44444π11

∴A＝，S＝bcsinA＝bc，又b＋c＝8≥2bc，

222当且仅当b＝c时取“＝”，∴bc≤16， ∴S的最大值为8.

14．(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.

答案

15

2

10 4

解析 依题意作出图形，如图所示，

则sin∠DBC＝sin∠ABC.

由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2， 115

则cos∠ABC＝，sin∠ABC＝. 441

所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC

211515＝×2×2×＝. 242

1BD＋BC－CD因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－＝

42BD·BC8－CD＝，所以CD＝10.

8由余弦定理，得cos∠BDC＝

4＋10－42×2×10

＝10. 4

2

2

2

2

B级

三、解答题

43

15．(2018·郑州质检)已知△ABC的外接圆直径为，角A，B，C所对的边分别为a，

3

b，c，C＝60°.