第二章 质点动力学 南京大学出版社 习题解答

第二章 习题解答

2-17 质量为2kg的质点的运动学方程为 ???(3t2?3t?1)?， 求证质点受恒力而运动，并求力的方r?(6t2?1)ij（单位：米，秒）向大小。

???2?2????12?解：∵a?dr/dt?12i?6j, F?ma?24ij 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。

F=(242+122)1/2=125N，力与x轴之间夹角为：

??arctgFy/Fx?arctg0.5?26?34'

2-18 质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程为：

???bsin?t?r?acos?tij，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。

?????bsin?t?证明：∵a?d2r/dt2???2(acos?tij)???2r ???F?ma??m?2r, ∴作用于质点的合力总指向原点。

2-19在图示的装置中两物体的质量各为m1,m2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可

N1 伸长。

f1 解：以地为参考系，隔离m1,m2，受力及运动情况T m1g 如图示，其中：f1=μN1=μm1g， a

f2=μN2=μ(N1+m2g)=μ(m1+m2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：

m1 m2 T f2 f1 a

F N2 N1 m2g

F

T??m1g?m1a①F??m1g??(m1?m2)g?T?m2a②

①+②可求得：a?F?2?m1g??g

m1?m2m1(F?2?m1g)

m1?m2将a代入①中，可求得：T?2-20天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m1,m2

的物体（m1≠m2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。

解：隔离m1,m2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用m1 m2 牛顿第二定律：

a

1

T' a

T' T m1g

m2g T' T' T'?m1g?m1a①m2g?T'?m2a②T?2T' 由①②可求得：

T'?2m1m2g2m1m2g ,T?m1?m2m1?m2所以，天平右端的总重量应该等于T，天平才能保持平衡。

2-21 一个机械装置如图所示，人的质量为m1=60kg，人所站的底板的质量为m2=30kg。设绳子和滑轮的质量以及滑轮轴承的摩擦力都可略去不计，若想使所站着的底板在空中静止不动，此人应以多大的力量拉绳子？此时人对升降机的压力是多大？

解：装置的各部分和人的受力如图所示，据题意有：

?T1??T1T2??T2T3??T3??N??NT2??2T3T1?T2 ??T1??T3??N??m2g?0??T3??N?m1g?01?T?(m?m2)g??341解方程组得：?

1?N?(3m?m)g12??4?T3?220.5N代入数据得：?，即人应以220。5N的力量拉绳子？此时人对升降机的压

N?367.5N?力是367.5N。

2-22 桌面上有一质量m1=1kg的木板，板上放一个质量为m2=2kg的物体。已知物体和板之间的滑动摩擦系数?2=0.4，静摩擦系数为?0=0.5，板和桌面间的滑动摩擦系数?1=0.3。

（1）今以水平力拉板，物体和板一起以加

速度a=1m/s2运动，计算物体和板以及板和桌面间的相互作用力；

（2）若使板从物体下抽出，至少需用多大的力？

解：以地为参考系，隔离m1、m2，其受力与运动情况如图所示，

N1 y N2 f2 f1' a2 a1

x

F

2 N' 1f1

m1g

m2g （1）物体和板之间的最大静摩擦力可提供的最大加速度大于a=1m/s2，所以它们之间无相对运动。

?f1?m1a1?f1?2N?f??N解方程组并代入数据得： ??222f?8.82N?2?N?N?mg?012?2所以物体和板以及板和桌面间的相互作用力分别为2N和8.82N。

（2）其中，N1'=N1，f1'=f1=μ0N1，f2=μ2N2，选图示坐标系o-xy，对m1，m2分别应用牛顿二定律，有

??0N1?m1a1?N?mg?0?11 ?F??N??N?ma012222??N?N?mg?0?212解方程组，得 a1??0ga2??F??0m1g??2m1g??2m2g?/m2

要把木板从下面抽出来，必须满足a2?a1，即

F??0m1g??2m1g??2m2g?m2?0g?F???0??2??m1?m2?g??0.5?0.3???1?2??9.8?23.52N 即要把木板从下面抽出来，沿水平方向必须用大于23.52N的力。

2.23沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示，火箭质量为2kg，t=0时处于静止，求火箭发射后的最大速率和最大高度（注意，推力大于重力时才启动）。

98 解：根据推力F-t图像，可知F=4.9t（t≤20）,令F=mg， F(N) t(s) 20 2.23题图 即4.9t=2×9.8，t=4s，因此，火箭发射可分为三个阶段：t=0—4s 为第一阶段，由于推力小于重力，火箭静止，v=0,y=0；t=4—20s 为第二阶段，火箭作变加速直线运动，设t=20s时，y = y1，v = vmax ； t≥20s 为第三阶段，火箭只受重力作用，作竖直上抛运动，设达最大 高度时的坐标 y=y2.

第二阶段的动力学方程为：F- mg = m dv/dt

dv?F/mdt?gdt?4.9/2tdt?9.8dt

?v0dv?4.9/2?tdt?9.8?dt44tt?t?20?

3

v?4.9/4t2?9.8t?4?4.9?t?20?

vmax?v(20)?314m/s?dy?vdt?(4.9/4t2?9.8t?4?4.9)dt??dy?4.9/4?tdt?9.8?tdt?4?4.9?dt0444y12022020

y1?1672m第三阶段运动学方程

v?314?9.8(t?20)(1),y?y1?314(t?20)?4.9(t?20)2(2)

令v=0,由（1）求得达最大高度y2时所用时间（t-20）=32，代入（2）中，得y2-y1=5030 y2=ymax=5030+1672=6702(m)

2.24汽车质量为1.2×10kN，在半径为100m的水平圆形弯道上行驶，公路内外侧倾斜15°，沿公路取自然坐标，汽车运动学方程为s=0.5t3+20t (m)，自t=5s开始匀速运动，试求公路面作用于汽车与前进方向垂直的摩擦力的大小，并指出是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内侧？

解：以地为参考系，把汽车视为质点，受力及运动情况如图示： v=ds/dt=1.5t2+20，v| t=5 =1.5×52+20=57.5m/s，an=v2/R=57.52/100=33 设摩擦力f方向指向外侧，取图示坐标o-xy，应用牛顿第律：

x α N 二

f α 定

Ncos??fsin??mgNcos??mg?fsin?①

Nsin??fcos??manNsin??man?fcos?②②/①得：tg??(man?fcos?)/(mg?fsin?)

y an mg α=15°

mgtg??fsin?tg??man?fcos?,f?m(gtg??an)

cos??sin?tg??gtg??an?9.8tg15??33??30.43?0,?f?0，说明摩擦力方向与我们事先假设方向相反，指向内侧。

2.25 一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tgα=0.02，所受阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？

解：设卡车匀速上坡时，速率为v, 牵引力为F, 功率为N,由质点平衡方程有，F = (0.04+sinα)mg，∴N = Fv = (0.04+sinα)mgv

4

设卡车匀速下坡时，速率为v’,牵引力为F',功率为N', 由质点平衡方程有 F'+ mg sinα= 0.04mg, F'=(0.04-sinα)mg, ∴N'= (0.04-sinα)mgv'.

令N'= N, 即（0.04+sinα）mgv = (0.04-sinα)mgv'，可求得：

v'= v(0.04+sinα)/(0.04-sinα). 利用三角函数关系式，可求得： sinα≈tgα=0.02 ,∴v'=3v =3×15×103/602 m/s = 12.5m/s.

2.26如图所示，质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N，木块在A点时具有向右的速率v0=6m/s，求力T将木块从A拉至B点时的速度。

2.26题图

2.27题图

20.8m8s /解：以A为原点建立图示坐标o-x，木块由A到B，只有拉力T做功：

444(4?x)dx(4?x)2?32A??Fxdx??Tcos?dx?T?0004T221/24???[(4?x)2?9]?1/2d[(4?x)2?9]??50|02?2[(4?x)?9]04?50(4?x)2?9|0?50?(5?3)?100J3m A 2θ 4m B T x

2 设木块到达B时的速度为v，由动能定理：A?1mv?10 22mvv?2A/m?v0?2?100/0.5?62?20.88m/s，方向向右

2

5

当0?t?0.05时，F?t0.05Fmax当0.05?t?0.08时，F?0.08?t0.03Fmax

[斜截式方程y=kx+b，两点式方程 (y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)]

0.080.050.08由动量定理：m?v??Fdt?Fmax0.0??Fmax05tdt?0.03(0.08?t)dt

00.05可求得Fmax = 245N

2.38地球质量为6.0×1024kg，地球与太阳相距149×106km，视地球为质点，它绕太阳做圆周运动，求地球对于圆轨道中心的角动量。

2.65?1040kgm2/s

解：L?mvr?m?r2?6.0?1024?2?(149?109)2365?24?60?60

?6.0?2??1492365?24?60?60?1042?2.65?1040kgm2/s 2.39 一个质量为m的质点在o-xy平面内运动，其位置矢量为r??acos?ti??bsin?t?j，

其中a、b和ω是正常数，试以运动学和动力学观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒。

证明：

v??dr?/dt??a?sin?ti??b?cos?t?ja??dv?/dt??a?2cos?ti??b?2sin?t?j???2r? ⑴运动学观点：

L??r??mv??(acos?ti??bsin?t?j)?m(?a?sin?ti??b?cos?t?j)?i??i???j??j?0,i???j??j?(?)?k? ?L??i?mab?cos2?tk??mab?sin2?tk??mab?k?显然与时间t无关，是个守恒量。

⑵动力学观点：

∵???r??F??r??ma??r??m(??2r?)??m?2r??r??0,∴该质点角动量守恒。

2.40 质量为200g的小球B以弹性绳在光滑水平

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面上与固定点A相连。弹性绳的劲度系数为8 N/m，其自由伸展长度为600mm.最初小球的位置及速度v0如图所示。当小球的速率变为v时，它与A点的距离最大，且等于800mm，求此时的速率v及初速率v0.

解：设小球B的质量m=0.2kg,原来与固定点A的距离r0=0.4m,当速率为v时，与A点距离r=0.8m,弹性绳自由伸展的长度为d=0.6m.

小球B的速率由v0→v的过程中，作用在小球B上的力对过A点轴的力矩之和始终为零，因而小球对A点的角动量守恒，有

??r0mv0sin30o= rmv (最大距离时，r?v) （1）

另外,在此过程中,只有保守内力（绳的弹力）做功,因而能量守恒，

12221mv0?12k(r?d)?2mv2(2)

为求解方便，将⑴⑵化简，并代入已知数据可得：

v0?4v(1)'v0?1.6?v22(2)'

解此方程组，求得：v0 ≈1.3 m/s v ≈0.33 m/s

2.41两个滑冰运动员的质量各为70kg，以6.5m/s的速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10m，当彼此交错时，各抓住10m绳索的一端，然后相对旋转。⑴在抓住绳索一端之前，各自对绳索中心的角动量是多少？抓住之后是多少？⑵它们各自收拢绳索，到绳长为5m时，各自的速率如何？⑶绳长为5m时，绳内张力多大？⑷二人在收拢绳索时，各自做了多少功〉⑸总动能如何变化？

解：设每个运动员的质量为m=70kg，收绳前相对绳中心O的距离为d = d1= 5m，速率为v=v1=6.5m/s；当把绳收拢为d = d2= 2.5m时, 速率v=v2

⑴对绳中心o点的角动量各为

L=mv1d1=70×6.5×5=2275kgm2/s（抓住绳索前后角动量相同）

⑵把两个运动员视为一个质点系,在收绳过程中，质点系对o轴的角动量守恒,有2m v1d1 = 2m v2 d2∴v2 = v1d1/d2 = 6.5×5/2.5 =13 m/s

⑶把某一运动员视为质点，作为研究对象，由牛顿第二定律，绳中张力F = m v22/d2 = 70×132 /2.5 = 4732 N

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⑷由质点动能定理，每人所做的功均为：

11A?11?2m(v2?v1)(v2?v1)2mv2?2mv22??70(13?6.5)(13?6.5)?4436J12

⑸总动能增大了ΔEk = 2×4436 = 8872 J

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