高中文科数学平面向量知识点整理

高中文科数学平面向量知识点整理

1、概念

向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：a=-b b=-a a+b=0

向量表示：几何表示法；字母a表示；坐标表示：a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OA a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|.

（

|a| a |a|2 x2 y2。）

零向量：长度为0的向量。a＝O ｜a｜＝O.

【例题】1.下列命题：（1）若a b，则a b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC，则ABCD是平行四边形。（4）

,/c，若ABCD是平行四边形，则AB DC。（5）若a bb,c ，则a c。（6）若a/bb

则a//c。其中正确的是_______

（答：（4）（5））

2.已知

a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a 3b|＝_____

）；

2

2、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

b

⑶三角形不等式：a b a b a b．

a b C C

⑷运算性质：①交换律：a b b a；②结合律：a b c a b c； ③a 0 0 a a．

⑸坐标运算：设a x1,y1 ，b x2,y2 ，则a b x1 x2,y1 y2

．

3、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设a x1,y1 ，b x2,y2 ，则a b x1 x2,y1 y2 ． 设 、 两点的坐标分别为 x1,y1 ， x2,y2 ，则 x1 x2,y1 y2 ．

【例题】

（1）①AB BC CD ___；②AB AD DC ____；

③(AB CD) (AC BD) _____ （答：①AD；②CB；③0）；

（2）若正方形ABCD的边长为1，AB a,BC b,AC c，则|a b c|＝_____

（答：）；

（3）已知作用在点A(1,1)的三个力F1 (3,4),F2 (2, 5),F3 (3,1)，则合力F F1 F2 F3的终点坐标是（答：（9,1））

4、向量数乘运算：

⑴实数 与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a． ① a a；

②当 0时， a的方向与a的方向相同；

当 0时， a的方向与a的方向相反；当 0时， a 0．

⑵运算律：① a a；② a a a；③ a b a b． ⑶坐标运算：设a x,y ，则 a x,y x, y ．

1

【例题】（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且MP MN，则点P的坐标为_______

3

7

（答：( 6, )）；

3

5、向量共线定理：向量aa 0与b共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使

b a．设a x1,y1 ，b x2,y2 ，（b 0） (a b)2 (|a||b|)2。

【例题】 (1)若向量a (x,1),b (4,x)，当x＝_____时a与b共线且方向相同

（答：2）；

（2）已知a (1,1),b (4,x)，u a 2b，v 2a b，且u//v，则x＝______

（答：4）；

6、向量垂直：a b a b 0 |a b| |a b| x1x2 y1y2 0.

【例题】(1)已知OA ( 1,2),OB (3,m)，若OA OB，则m

3）； 2

（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB， B 90 ，则点B的坐标是________

（答：(1,3)或（3，－1））；

（3）已知n (a,b),向量n m，且n m，则m的坐标是________

（答：

（答：(b, a)或( b,a)）

7、平面向量的数量积：

⑴a b abcos a 0,b 0,0 180．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a和b都是非零向量，则①a b a b 0．②当a与b同向时，

a b ab；当a与b反向时，a b

ab；a a a2 a或a ．③a b ab．

2

⑶运算律：①a b b a；② a b a b a b；③a b c a c b c． ⑷坐标运算：设两个非零向量a x1,y1 ，b x2,y2 ，则a b x1x2 y1y2． 若a x,y

，则a x2 y2，或a

设a x1,y1 ，b x2,y2 ，则a⊥b a〃b＝0 x1x2＋y1y2＝0.

则a∥b a＝λb(b≠0) x1y2＝ x2y1.

2

设a、b都是非零向量，a x1,y1 ，b x2,y

2 ， 是a与b的夹角，则

cos

a bab

（注|a b| |a||b|）

【例题】

（1）△ABC中，|AB| 3，|AC| 4，|BC| 5，则AB BC _________

（答：－9）；

11

（2）已知a (1,),b (0, ),c a kb,d a b，c与d的夹角为，则k等

2

2

4

于____ （答：1）；

（3）

已知a 2,b 5,ab 3，则a b等于____ ； （4）已知a,b是两个非零向量，且a b a b，则a与a b的夹角为____

（答：30）

（5）已知a ( ,2 )，b (3 ,2)，如果a与b的夹角为锐角，则 的取值

41

范围是______ （答： 或 0且 ）；

33

（6）已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）。（1）

若x＝，求向量、的夹角； （答：150°）；

3

8、b在a上的投影：即|b|cos ，它是一个实数，但不一定大于0。

【例题】已知|a| 3，|b| 5，且a b 12，则向量a在向量b上的投影为

12

______ （答：) 5

平面向量高考经典试题

一、选择题

1．已知向量a ( 5,6)，b (6,5)，则a与b

A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向

，n)，b ( 1，n)，若2a b与b垂直，则a （ ） 2、已知向量a (1

A．1

3、若向量a,b满足|a| |b| 1，a,b的夹角为60°，则a a a b=______；

B

C．2

D．4

CD 4、在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD 2DB，

A．

2

3

B．

1 3

C．

1 3

1

CA CB，则 （ ） 32D．

3

5、若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 （ ） A．EF OF OE B. EF OF OE C. EF OF OE D. EF OF OE

，，b (1， 1)，则向量6、已知平面向量a (11) 1) Ａ．( 2，，0) Ｃ．( 1

二、填空题

13

a b （ ） 22

， Ｂ．( 21)，2) Ｄ．( 1

4 b= 11， ．若向量b (a+ b)，则实数 的值是1、已知向量a= 2，，

2、若向量a，b的夹角为60，a b 1，则aa b

0)，B(11)，，则3、在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0，

ABAC

三、解答题：

．

1、已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)． (1)若ABAC 0，求c的值；

(2)若c 5，求sin∠A的值

2、在△ABC中，角A，B，

C的对边分别为a，b，c，tanC （1）求cosC； （2）若CBCA

，c分别是三个内角A，B，C的对边．若a 2,3、在△ABC中，a，b

5

，且a b 9，求c．

2

C

π

，4

cos

B2，求△ABC的面积S．

25

4、设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a 2bsinA．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若a c 5，求b．

5、在△ABC中，tanA （Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若△

ABC

13

，tanB ． 45

答案 选择题

1、A. 已知向量a ( 5,6)，b (6,5)，a b 30 30 0，则a与b垂直。

,，由)2a b与b垂直可得：

2、C 2a b=(3n

(3,n) ( 1,n) 3 n2 0 n a 2。 313

3、 解析：a a a b 1 1 1 ，

222

4、A 在 ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，= ，则

1

3

CD CA AD CA

12222

AB CA (CB CA) CA CB， =。

33333

5、B 由向量的减法知EF OF OE 6、D

13

a b ( 1，2). 22

填空题

1、解析：已知向量a= 2，，4 b= 11， ．量a b (2 ,4 )，b (a+ b)，则2+λ+4+λ=0，实数 =－3． 2、

21211

【解析】a a b a a b a a bcos60 1 。

222

3、解析：ABAC (0,1) ( 1,1) 0 ( 1) 1 1 1.

解答题

1、解: (1) AB ( 3, 4) AC (c 3, 4 )

由 ABAC 得 c 3(c 3) 16 25 c3 (2) AB ( 3, 4) AC

(

2 ,4 ) cos A

2、解：（1）

又

25

3

ABACABAC

sin A

tanC

sinC

cosC

1

sin2C cos2C 1 解得cosC ．

81

tanC 0， C是锐角． cosC ．

8

55

（2）CBCA ， abcosC ， ab 20．

22

又

a b 9

a2 2ab b2 81． a2 b2 41．

c2 a2 b2 2abcosC 36． c 6．

43

3、解： 由题意，得cosB ，B为锐角，sinB ，

55

sinA sin(π B C) sin 由正弦定理得 c

3π 72

， B

4 10

10111048

， S acsinB 2 ．

227577

4、解：（Ⅰ）由a 2bsinA，根据正弦定理得sinA 2sinBsinA，所以sinB 由△ABC为锐角三角形得B

1

， 2

π． 6

222

（Ⅱ）根据余弦定理，得b a c 2accosB 27 25 45 7．

所以，b

5、本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．

13

解：（Ⅰ）C π (A B)， tanC tan(A B) 1．

131 45

3

又0 C π， C π．

4

3

（Ⅱ）C ，

AB边最大，即AB ．

4

又

tanA tanB，A，B 0 ， 角A最小，BC边为最小边．

sinA1

， tanA π

由 cosA4且A 0 ，

2 sin2A cos2A 1，

得sinA

ABBCsinA

得：BC

ABsinCsinAsinC所以，最小边BC．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/aol1.html