高二数学第一讲等差数列

数学讲义

一、知识梳理

1、等差数列的定义：数列{an}满足：an?an?1?d(n≥2,n?N*)（d是与n的取值 的常数）； 2、等差数列的通项公式：（1）an?a1? d；（2）an?am? d(n,m?N?)； 3、等差中项：三个数a,A,b组成等差数列，A叫做a,b的等差中项，且A= ； 4、等差数列前n项和的公式：Sn? ＝ ； 5、等差数列{an}的常用性质：

（1）数列{an}是等差数列，则数列{an?p}、{pan}（p是常数）都是等差数列；

（2）在等差数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,an?k,an?2k,an?3k?? 为等

差数列，公差为kd

（3）若m?n?p?q，则 。特别地当p?q?2m时， 。 （4）Sn,S2n?Sn,S3n?S2n仍是等差数列，其公差为 （5）两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则

等差数列

anS2n?1?． bnT2n?1二、典例研习

类型一、等差数列的判断与证明

例1、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bn?

Sn(n?N?)，求证：数列{bn}是等差数列 n - 1 -

变式1、已知数列{an}中，a1?1，an?1?an(n?N*)

2an?1?1?（1）求证数列??为等差数列；

?an?（2）求数列{an}的通项公式

方法点拨：等差数列的判定方法：①定义法：即证明an?1?an?d（d是常数，n?N*）。

②中项公式法：即证明2an?1?an?an?2(n?N*)。

类型二、等差数列的基本运算

例2、已知等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a9?7,S20?155，求：a11及S10

变式2、（1）已知{an}为等差数列，且a7?2a4??1，a3?0，则公差d?（ ）

11B．? C． D．2

221（2）若数列{an}为等差数列，公差为，且S100?145，则a2?a4??a100的值为（ ）

2A．?2 A．60

B．85

C．

145 2D．其它值

方法点拨：①等差数列中，五个基本量a1,n,d(q),an,Sn“知三可求二”，基本量中公差d是联系数列中各

项重要的量，是解题的关键。②等差数列{an}中，当项数为2n(n?N?)时，有

SaS偶?S奇?nd,偶?n?1；

S奇an - 2 -

类型三、等差数列性质的运用

例3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项

数n。

变式3、（1）在等差数列{an}中，已知log2(a5?a9)?3，则等差数列{an}的前13项的和等于

（ ）

A．42

B．48

C．52

D．60

（2）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3?9，S6?36，则a7?a8?a9?（ ）

A．63 B．45

C．36

D．27

类型四、等差数列的前n项和及最值问题

例4、设等差数列{an}的前n项和为Sn。若a1??11，a4?a6??6，则当Sn取最小值时，n等于（ ）

A．6

B．7

C．8

D．9

变式4、（1）已知?an?为等差数列，a1+a3+a5=105，a2?a4?a6=99，以Sn表示?an?的前n项和，则

使得Sn达到最大值的n是（ ） A．21

B．20

C．19

D．18

（2）已知数列?an?的前n项和Sn?n2?9n，第k项满足5?ak?8，则k等于（ ）

A．9

B．8

C．7

D．6

方法点拨：①数列中涉及最值的问题时，常利用函数的思想求解；②给出Sn求an，利用关系式：

?S1an???Sn?Sn?1

(n?1)(n≥2)，特别小心n?1的情形看是否符合通项公式。

类型五、与等差数列有关的转化

例5、已知数列?an?中，a1?2,an?an?1?2n?1(n≥2)，求数列?an?的通项公式

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变式5、已知数列?an?满足a1?1,an?1?2nan，求通项公式an

方法点拨：迭加法适用于求递推关系形如“an?1?an?f(n)”；迭乘法适用于求递推关系形如

“an?1?an?f(n)”；通过迭加法、迭乘法可把一般的数列转化为等差数列的相关问题再求解。．．．．．．．．．．．．．迭加法、迭乘法公式：

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1

aaaa3a2??a1 或an?n?n?1?n?2an?1an?2an?3a2a1类型六、等差数列的综合运用

例6、已知等差数列?an?中，a2??20,a1?a9??28.

（1）求数列?an?的通项公式；

（2）若数列?bn?满足an?log2bn，设Tn?b1b2

变式6、已知{an}是等差数列，a4?15，S5?55，则过点P(3,a3),Q(4,a4)的直线的斜率为（ ）

A．4

B．

bn，且Tn?1，求n的值。

1 4C．?4 D．?14

三、小结归纳：

1、弄清等差的基本概念及性质，掌握等差数列的通项公式、前n项和公式；

2、涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问题； 3、利用数列中an与Sn之间的关系，求通项公式及解决其他数列问题； 4、利用数列的递推关系，求通项公式，结合n项和公式，解决数列应用题；

5、等差数列前n项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值问题；有时利用数列的单调性 （d?0,递增；d?0,递减）。

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四、课后巩固

1、已知数列?an?中，a3?2,a7?1，若??1?a?成等差数列，则a?11等于（ ） n?1?A．0

B．

12 C．23 D．2 2、在等差数列?an?中，若a2?2a6?a10?120，则a3?a9等于学

（ ） A．30 B．40 C．60 D．80

3、设Sn为数列?an?的前n项和，an?2n?49，则Sn达到最小值时，n的值为（ ）

A．12 B．13 C．24 D．25

4、已知数列?an?满足a1?0,an?1?an?n，那么a10=（ ）

A．36

B．45

C．50

D．55

5、已知等差数列?an?中，a3a7??16,a4?a6?0,求?an?的前n项和Sn。

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