毕业论文-无穷级数求和的方法

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目 录

中文摘要 ……………………………………………………………2 英文摘要 ……………………………………………………………2 一、引言 ……………………………………………………………3 二、无穷级数的性质及常见的几种级数 …………………………3 三、无穷级数求和的方法举例

（一）利用级数和的定义 …………………………………………5 （二）裂项相消法 ………………………………………………6 （三）拆项求和法 ………………………………………………7 （四）利用已知函数的幂级数展开式求和 ……………………7 （五）逐项微分与逐项积分法 …………………………………8 （六）利用傅里叶级数求和法 …………………………………9 （七）利用欧拉常数法 ………………………………………10 （八）方程式法求和 …………………………………………11 （九）利用子序列的极限 ……………………………………11 （十）转化为函数项级数的和 ………………………………12 （十一）利用概率求一类函数 …………………………………12 四、总结 ………………………………………………………16 五、 参考文献 …………………………………………………16

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无穷级数求和的方法

伊杰文

摘要：无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究数的性质以及

进行数值计算的一种工具。因此在生产与自然科学中大量地存在。无穷级数的求和方法。在通常的论著和教材中一般都讲得很少，而且介绍分散，本文集中介绍了几种求级数的方法。

关键词：无穷级数；求和；极限

中图分类号：O173.2

The summation methods of infinite series

Yi Jie-wen

Abstract: Infinite series of higher mathematics is an important component of that function it is to study the nature of a few, as well as a tool for numerical calculation. Therefore, in production and the existence of large numbers of natural sciences. Summation of infinite series. In the usual textbooks on the forward and speak generally small and scattered, introduced in this paper focuses on the series for a number of ways. Keywords: infinite series;summation;limits

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一、引言

无穷级数是研究有次序的可数无穷个数或者函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和；发散的无穷级数没有和。算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，有些数列可以用无穷级数方法求和。 包括数项级数、函数项级数（又包括幂级数、Fourier级数；复变函数中的泰勒级数它是表示函数、研究数的性质以及进行数值计算的一种工具。因此在生产与自然科学中大量地存在。无穷级数的求和方法。在通常的论著和教材中一般都讲得很少，而且介绍分散，本文集中介绍了几种求级数的方法。

二、无穷级数的性质及常见的几种级数

（一）、数项级数的性质

（1）、 若有一个无穷级数：s=u1?u2?u3?...?un?... 如果每一项乘以一个常数a，则和等于as。 as = au1?au2?au3?...?aun?...

（2）、收敛级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：

s=

u1?u2?u3?...?un?...和

t =

v1?v2?v3?...?vn则 s+t=

u1?u2?u3?...?un?...+v1?v2?v3?...?vn

（3）、级数前面加上有限项或减去有限项不影响其收敛性，如：s=u1?u2?u3?...?un?...和 s =u1这两个级数的收敛性是一样的。 （二）、常见的几种级数 （1）、幂级数

如下形式的函数项级数

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?a(x?x)n0n?1?n ?a0?a1(x?x0)?...?an(x?xn)n?、、、称为（x--x0）的幂级数，其中an（n=0,1,2,…）为常数。 当x0=0时，?an(x?x0)??anx称为x的幂级数。

nn?1n?0??

（2）、泰勒展开式(幂级数展开法)

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+... （3）、实用幂级数：

e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...

ln(1+x)= x-x^2/3+x^3/3-...(-1)^(k-1)*x^k/k+... (|x|<1)

sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+...

(-∞

cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞

sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞

arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)

三、几种无穷级数的解法

（一）利用级数和的定义求和

例1：求级数?(2n?1)qn?1,|q|?1的和。

n?1? 4

解：Sn?1?3q?5q2?7q3???(2n?1)qn?1 （1）

qSn?q?3q2?5q3?7q4???(2n?3)qn?1?(2n?1)qn （2） （1）-（2）得：

(1?q)Sn?1?2q?2q2?2q3???2qn?1 1?qn?1(2n?1)q?1?2q?(2n?1)qn

1?qn11?qn?1qn Sn??2q?(2n?1)1?q(1?q)21?qlimSn?n??12q? 1?q(1?q)212q? 21?q(1?q)即级数和S?111???arctan??收敛，并求其和。 例2 证明级数arctan?arctan2222?22?n111???arctan证明 级数的部分和Sn?arctan?arctan，

22?222?n2注意到公式arctan????arctan??arctan?，有 1???11?211222?2， S2?arctan?arctan?arctan?arctan21122?231??222?21213S3?S2?arctan?arctan?arctan?arctan，

2?3232?324n(n?1,2,?)， 用数学归纳法易证 Sn?arctann?1n??， 因此，limSn?limarctann??n??n?14从而?arctann?1???1收敛，和为。

42?n2?ilSn=S，如果级数?un的部分和数列{Sn}有极限S，即m则称无穷级数?un收敛，

n?1n??n?1这时极限S叫做这级数的和，并写成S?u1?u2???un??，如果{Sn}没有极限，则称

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无穷级数?un发散。

n?1?(二） 裂项相消法

例1 求S??n?1??14n?112

1?1111解：Sn??2??(?)?(1?)

4k?122k?12k?122n?1k?1k?1111?S?limSn?lim(1?)?

n??n??22n?12例2 求S??arctann?1n?1 2n?n?1n1(k?1)?k解：Sn??arctan2 ??arctank?k?11?(k?1)kk?1k?1n ??[arctan(k?1)?arctank]

k?1 ?arctan(n?1)?arctan1?arctan(n?1)??4

?S?limSn?lim[arctan(n?1)?]???。

n??n??4244????这是一种简单、常用的方法，适用于一些简单的级数求和问题。其基本思想是收敛求和级数?an的通项an分解为：an?bn?1?bn，代入级数的部分和Sn，相邻两项相消，

n?1?则有Sn?bn?1?b1，并且已知limbn?1?b，所以?an?limSn?b?b1。

n???n?1n??

（三） 拆项求和

求级数

?n/(n?1)!的和

n?1?解：因为n/(n?1)!?n?1?1/(n?1)!?1/n!?1/(n?1)! 所以前n项和

Sn=[1-(1/2!)]+[(1/2!)+(1/3!)]+[（1/3！）-（1/4！）]+…+[1/n!-1/(n+1)!]

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=1-1/(n+1)!

所以?n/(n?1)!?lim[1?1/(n?1)!]?1

n?1n???（四） 利用已知函数的幂级数展开式求和

例1 求?(?1)nn?0?n?n的和。

2n?1!???n(2n?1)?11解： ?(?1)??(?1)n?

?2n?1?!n?0?2n?1?!2n?0111??(?1)n[?]

22n!2n?1!????n?01?11?1n ??(?1)??(?1)n2n?0?2n?!2n?0?2n?1?!注意到

?x3x5x2n?1n?1sinx?x?????(?1)??(???x???)，

3!5!(2n?1)!2nx2x4nxcosx?1?????(?1)??(???x???)， 2!4!(2n)!得?(?1)nn?0??n1?(cos1?sin1)

?2n?1?!2n2例2 求?

n?1n!?n2?n(n?1)?n?11解：???。 ????n!n?1n!n?1n?1(n?1)!n?2(n?2)!?注意到ex?1?x??121x??xn??(???x???)，有 2!n!?(n?1)!?1?1?2!?3!???e，

n?1?111111?1?1?????e， ?2!3!n?2(n?2)! 7

n2因而，??2e。

n?1n!?这种方法的基本思想是：欲求的和?un令un?an?n，若幂级数un?anxn函数已知，

n?1?设f(x)?anx，则?un??an?n?f(?)。此方法的关键是找出函数f(x)。

nn?1n?1??

（五） 逐项微分与逐项积分法

例 1求S(x)??2n?12nx的和。 n!n?0?解：此幂级数的收敛半径为??，在任意区间上可逐项积分。

??112n?1(x2)n2nx2 S(t)dt?(2n?1)tdt?x?x?xe?????n!n?0n!0n?0n!n?00?xx所以

xS(x)?[?S(t)dt]?(xe)?(1?2x)e

0x22x2111例2 求1?????的和。

4710解：由莱布尼兹判别法知级数?(?1)nn?0?1收敛，设其和为S。 3n?1再令f(x)??(?1)nn?0?1x3n?1，有f(0)?0 3n?1此幂级数收敛域为(?1,1]，下面求f(x)的表达式。 由于

f'(x)??(?1)nx3n?1?x3?x6?x9???n?0?1 1?x3所以

xf(x)??f'(t)dt??01dt 31?t0x 8

1112x?11?ln(1?x)?ln(1?x?x2)?(arctan?arctan) 363331?因此S?f(1)?ln2?

333这种方法用于求某些函数项级数的和函数。在函数项级数一致收敛的条件下，对其进行逐项微分或积分后求和，然后再反过来求一次积分或微分，便可得到原级数的和函数。

（六） 利用傅立叶级数求和法

例1 求1?111?2?2??的和。 2357解：将函数|x|在[??,?]上展成傅立叶级数得：

|x|??2?4?(cosx?cos3xcos5x???),x?[??,?] 3252令x??，则

111?21?2?2?2??? 3578类似地，将f(x)?x2在[??,?]上展成傅立叶级数后，令x??可得：

1?2 ??26n?1n?令x?0可得：

(?1)n?1?2 ??2n12n?1?将f(x)?x在[??,?]上展成傅立叶级数后， 令x?

??2

，可得：

(?1)n?1?? ?2n?14n?1在将某些函数展开成傅立叶级数时，往往得到一些比较规范的三角级数展开式。此时，适当选取自变量的取值，便可得到一些数值级数的和。

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（七） 利用欧拉常数法

例1求S??n1

n(2n?1)n?1?n112解：Sn????(?)

2k?1k?1k(2k?1)k?1k1111 ???2(????)

k352n?1k?111112111 ???2(1?????)??2(1?????)

232n2n?1242nk?1k2n112 ?2??2???2

kk2n?1k?1k?1nnn ?2(c?lnn??n)?2(c?ln2n??2n)? ?2?2ln2?2?n?2?2n?即S?2?2ln2

2?2 2n?12?2?2ln2(n??) 2n?11极限lim(??lnn)的值为所谓的欧拉常数，设为c（c?0.57721?）

n??k?1kn则有：?1?lnn?c??n，其中lim?n?0，利用上式，可求某些数值级数的和。

n??k?1kn（八）方程式法求和

x2x3x4x5x6?????的和。 例1 求幂级数S(x)?1?x??21?32?41?3?52?4?6解：收敛半径R?1?an?1limn??an112?4?6?2n?(2n?2)limn??12?4?6?2n???（令n为偶数），

同理可求当n为奇数时，收敛半径R???。

对已知级数两边逐项微分可得S'(x)?1?xS(x)，且S(0)?1。 解此微分方程得S(x)?ex2x2?e0t22dt?1)。

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思想:设法证明级数的和满足某个方程式，然后求此方程的解，即得级数的和。

（九）利用子序列的极限

1111111111例1 计算1??(?1)???(?)???(?)??

2345627893解：此级数每项趋向零，因此只要求S3n的极限，注意公式

1?111?????c?lnn??n， 23n其中c为Euler常数，?n?0（当n??时），因此，对原级数，

S3n?1?11111?????1???? 233n2n ?ln3n?lnn??3n??n?ln3（当n??时） 故原级数和 S?ln3

我们知道，若{S2n}与{S2n?1}有相同极限S，则limSn?S。因此，对于级数?an，

n???n?1若通项an?0（当n??时），则部分和的子序列{S2n}收敛于S。意味着{S2n?1}与收敛于S，从而?an?S。我们把{S2n}与{S2n?1}称为互补子序列。这个原理可推广到一般：

n?1?p是某个正整数）若?an的通项an?0（当n??时），Sn的子序列{Spn}?，n?1?S（

n?1??则?an?S。

n?1

（十）转化为函数项级数的和

例1求级数?[1/(2n?1)](1/2)2n的和函数

n?0?解：因为级数?[1/(2n?1)]x2n?1的收敛域为（-1，1）

n?0?则令S(x)=?[1/(2n?1)](1/2)2n?1

n?0? 11

?S(x)??{[1/(2n?1)]x2n?1},n?0所以??xn?0?2n

?1?x2?x4?...?x2n?...?1/(1?x2)xx所以?S(x)dx??1/(1?x2)dx?1/2ln(1?x)/(1?x)

00所以S(x)=?[1/(2n?1)]x2n?1?1/2ln(1?x)/(1?x) (-1

n?0?因为x=1/2在收敛域内 所以

S(x)??[1/(2n?1)](1/2)n?0?2n?1?(1/2)?[1/(2n?1)](1/2)2nn?0?

?(1/2)ln[1?(1/2)/1?(1/2)]?1/2ln3所以?[1/(2n?1)](1/2)2n?ln3

n?0?

（十一）利用概率求一类无穷级数的和

（1） 由一个概率问题的两种解法所引起的思考

（2）

从1 个装有1个红球和1个黑球的窗口里取两次球，每次取1个，取后放回，如果两次连续取出红球，就算胜利。否则就算失败，假如失败，则在窗口里多放一个黑球，再继续进行抽取，若再次连续取出红球，即算胜利。假如失败，则再多放1个黑球，这样继续进行，以致无穷，问取得胜利的概率如何？ 在各次不同的实验中，取得胜利的概率依次是：败的概率依次是：1?为：

lim(1?n??111,,?,,?。而在各次实验中失22223n111,1?,?,1?,?。因此，在所有各次实验中全部失败的概率2232n2111)(1?)?(1?) 22223n22?132?1n2?1?lim(2)(2)?(2) n??23n 12

1?3?2?4?[(n?3)(n?1)][(n?2)n][(n?1)(n?1)] 222n??2?3?nn?11?lim? n??2n2111就是说，所有各次实验全部失败的概率是，胜利的概率是1??

222?lim下面直接研究胜利的概率：

111(1?)?2 ；第一次失败，第二次胜利，其概率为22232111第一次、 第二次失败，第三次胜利，其概率为(1?2)?(1?2)?2

234第一次胜利，其概率为

第一次、 第二次、?、第n?1次失败，第n次胜利，其概率为

(1?1111)?(1?)?(1?)? 2232n2(n?1)2这样，全部实验取得胜利的概率是：

1111111111?(1?)??(1?)?(1?)????(1?)?(1?)?(1?)??? 222222222222323423n(n?1)但已知取得胜利的概率为

1，从而求得： 211111111?(1?)????(1?)?(1?)?(1?)???? （1） 222222222323n(n?1)2（2）改变上述概率问题

容器里装有3个球，1个红球，2个黑球，实验方法和取得的条件不变，那么，在各次实验中，取得胜利的概率依次是：

111,,?,,? 22234(n?2)各次实验失败的概率依次是：1?中都失败的概率

lim(1?n??111,1?,?,1?,?，这样，在所有各次实验3242(n?2)2111)(1?)?[1?] 22234(n?2)32?142?1(n?1)2?1(n?2)2?1?lim(2)(2)?[][] 22n??34(n?1)(n?2) 13

?lim(n??2?43?5n(n?2)(n?1)(n?3))()?[][] 3242(n?1)2(n?2)2?lim2(n?3)2?

n??3(n?2)321?。 33胜利的概率就是：1?下面直接研究取得胜利的概率：

111(1?)?； ；第一次失败，第二次胜利，其概率为

323242111第一次、 第二次失败，第三次胜利，其概率为(1?2)?(1?2)?2；

345第一次胜利，其概率为

第一次、 第二次、?、第n?1次失败，第n次胜利，其概率为：

(1?1111)(1?)?[1?]? 3242(n?1)2(n?2)2这样，全部实验取得胜利的概率是

1111111?(1?)????(1?)?(1?)?[1?)]??? 3232423242(n?1)2(n?2)21但已知得到胜利的概率是，故有：

311111111?(1?)????(1?)?(1?)?[1?)]???? （2） 222222233434(n?1)(n?2)3（3） 总结规律

观察一、二部分，将发现一个规律，如果容器中有4个球，1个红球和3个黑球，取球方法和取得胜利的条件不变，那么全部取得胜利的概率将表示为这样一个无穷级数：

1111111?(1?)????(1?)?(1?)?[1?)]??? 4242524252(n?2)2(n?3)2借助于计算试验失败的概率，将得到

11111111?(1?)????(1?)?(1?)?[1?)]???? （3） 222222244545(n?2)(n?3)4于是，我们可以总结出如下规律：如果容器装有r个球，1个红球，r-1个黑球，取球方法和取得胜利的条件不变，则可依据前述分析，得到全部取得胜利的概率是：

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1111111?(1?)????(1?)?[1?]?[1?)]??? r2r2(r?1)2r2(r?1)2(r?n?2)2(r?n?1)2同理同，借助于计算实验失败的概率，得到这个无穷级数的和为，故有：

11111111 （4） ?(1?)????(1?)?[1?]?[1?)]????2222222rr(r?1)r(r?1)(r?n?2)(r?n?1)r（4） 推广规律

前述概率问题中，我们发现r个球中，总是1个红球，现在我们再把问题修改一下，现有a+b个球，其中a个红球，b个黑球（a

(a2a2aa2aaa)?[1?()]?()2???[1?()]?[1?()2]?[1?()2)]?()2?? （5） a?ba?ba?b?1a?ba?b?1a?b?n?2a?b?n?1下面我们来求这个级数的和，在各次实验中，取得胜利的概率依次是：

(a2aa),()2,?,()2,? a?ba?b?1a?b?n?1a2aa),1?()2,?,1?()2,? a?ba?b?1a?b?n?1a2aa)][1?()2]?[1?()2] a?ba?b?1a?b?n?1各次实验失败的概率依次是：

1?(这样在所有各次实验中都失败的概率是：

lim[1?(n??=limb(2a?b)(b?1)(2a?b?1)(b?n?1)(2a?b?n?1)????

n??(a?b)2(a?b?1)2(a?b?n?1)b(b?1)?(b?a?1)(a?b?n?1)(a?b?n)?(2a?b?n?1)?

n??(a?b)(a?b?1)?(2a?b?1)(b?n?1)(b?n)?(a?b?n?1)b(b?1)?(b?a?1)

(a?b)(a?b?1)?(2a?b?1)?lim?于是得到全部取得胜利的概率为

1?b(b?1)?(b?a?1)

(a?b)(a?b?1)?(2a?b?1)因此，（5）式的和为

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