概率论与数理统计试卷3

《概率论与数理统计》试卷3

一、填空题 (每小题3分，共15分)

1. 某门诊有三个诊室，先后有三个患者来看病，病人可随机选择诊室，则每个诊室恰好接待一个患者的概率为 ． 2. 设随机变量X~b(1,1), 随机变量Y?2X?1, 则P{Y?2}? . 41XY3. 设随机变量(X,Y)~N(2,0,22,32,), Z??, 则D(Z)? . 24214. 设X～t(n)，其中n?1, 则2～ .

X5. 设总体X~b(1,p)，1,0,1,1,0是来自总体X的样本观察值，则p的矩估计值为 .

二、选择题 (每小题3分，共15分)

1. 假设事件A和B满足P(B|A)?1, 则 ( ).

(A) A是必然事件 (B) P(B|A)?0 (C)A?B (D) A?B

??11?2. 设随机变量X与Y独立同分布，X~??2313??，则必有（ ）.

??（A）X?Y （B）P{X?Y}?58 (C) P{X?Y}?59 (D) P{X?Y}?1 3. 设Xi(i?1,2,?,n)是独立同分布的随机变量, E(Xi)?1，D(Xi)?4且E(Xi)存在，

2i?1,2,?,n, 对任意整数??0，则（ ）成立.

?1n??1n?2(A) limP??Xi?4????1 (B) limP??Xi?4????1

n??n???ni?1??ni?1??1n??1n2?2(C) limP??Xi?5????1 (D) limP??Xi?3????1

n??n???ni?1??ni?1?4. 在假设检验中，原假设为H0，检验显著性水平为?，则下列各式正确的是( ).

(A) P{接受H0|H0正确}=? (B) P{拒绝H0|H0正确}=? (C) P{接受H0|H0正确}=1－? (D) P{拒绝H0|H0正确}=1－?

5.设有一批零件的长度服从正态分布N(?,?)，其中?，?均未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值x?9(cm), 样本标准差为s?1(cm)，则?的置信度为0.95的置信区间为（ ）.

2211（9?t0.05(16)） t0.025(16)） （B）

4411（C）（9?t0.05(15)） （D）（9?t0.025(15)）

44（A）（9?三、(10分) 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有

以下的数据：

元件制造厂 1 2 3 次品率 0.02 0.01 0.03 提供元件的份额 0.10 0.75 0.15 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的。在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率.

?ky(1?x),0?x?1,0?y?x(X,Y)~f(x,y)?四、（14分）设, ?0其它?（1）求常数k； （2）求(X,Y)关于X及Y的边缘密度fX(x)和fY(y); （3）计算概率P{X?Y?1}.

五、（10分）设总体X在区间(0,?)上服从均匀分布，X1，X2，X3，X4为其样本. 试求（1）max(Xi)的概率密度函数; (2) E(1?i?41max(X)??). 21?i?4i六、（12分）某箱装有100个产品，其中一、二、三等品分别为60、30、10件. 现在从中随

?1,抽到i等品机抽取一件, 记Xi??，（i?1,2,3).

0,其它?试求: (1)X1与X2的联合分布律; (2)X1与X2的相关系数?.

七、（12分）某家庭的日开支X（元）的任意三次抽样为40，20，30，设

?a(x?10)2??a(x?10)e，x?10X~f(x)??，求参数a的极大似然估计值（保留三位小数）.

x?10??0，2八、（12分）机器包装袋盐，假设袋盐重量服从正态分布，规定袋重标准差不能超过12g，

某天开工后要检查机器工作是否正常，从装好的袋盐中随机抽查9袋，测得样本标准差为16.03g，问按显著性水平??0.05, 能否认为包装机工作是正常的?

参考答案： 一、填空题 23731. 2. 3. 4. F(n,1) 5. 9445二、选择题

1. D 2. C 3. C 4. B 5. D

三、解：记A表示“取到的是一只次品”，Bi（i?1,2,3）表示“取到的产品是由第i家工厂提供的”

则 P(B1)?0.10，P(B2)?0.75,P(B3)?0.15,

P(A|B1)?0.02, P(A|B2)?0.01，P(A|B3)?0.03,

由全概率公式得P(A)??P(B)P(A|B)?0.014.

iii?13四、解：(1) 由? (2)

?????????f(x,y)dxdy??100?xky(1?x)dxdy?k?1，得 k?24. 24fX(x)??????x2???024y(1?x)dy,0?x?1?12x(1?x),0?x?1f(x,y)dy??=?其它?0,?其它?0,fY(y)??（3）

?????124y(1?x)dx,0?y?1?12y(y2?2y?1),0?y?1? f(x,y)dx???y=?其它?0,?其它?0,P{X?Y?1}?x?y?1??f(x,y)dxdy???1201?yy24y(1?x)dxdy??12012y?24y2dy?1.2?0，?x?五、解：（1）令Y?max(Xi)，由X的分布函数F(x)??，1?i?4????1，x?00?x??得， x??Y的分布函数为FY(y)?[F(y)]4，

?4y3?所以Y的概率密度为fY(y)???4?0?0?y??其它

（Y）?（2） E??4y40?4dy?4?， 51143E(max(Xi)??)???????? . 21?i?4255六、解: (1) P{X1?1}?603010?0.6,P{X2?1}??0.3,P{X3?1}??0.1, 100100100P{X1?0,X2?0}?P{X3?1}?0.1.

X1 X2 0 0.1 0.3 0.4 21 0.6 0 0.6 0.7 0.3 20 1 (2) E(X1)?0.6, E(X2)?0.3, E(X1)?0.6, E(X2)?0.3,

D(X1)?0.6?0.62?0.24, D(X2)?0.?320.?30.E1(X1X2)?0 , , 2?XX?12E(X1X2)?E(X1）E(X2）?0.6?0.342???.

14D(X1)D(X2)0.240.21七、解：构造似然函数：

?(xi?10)2?2，xi?10,i?1,2,?,n， L(a)??f(xi)?an??(xi?10)?ei?1nni?1i?1na其对数似然函数为：

lnL(a)?ln?i?1nanf(xi)?nlna??ln(xi?10)??(xi?10)22i?1i?1nxi?10,i?1,2,?,n

dn1n??lnL(a)???(xi?10)2?0，得a令

daa2i?12n?(xi?10)2i?1n，

代入相关数据得a??0.004． 八、解: 检验假设

①H0:??12 H1: ??12, ②取检验统计量??222222(n?1)S2?022??2(n?1),

③拒绝域形式为????(n?1), ④?0.05(8)?15.507,??22(n?1)S2?028?16.032??14.276?15.507??0.052(8) 212⑤?值不在拒绝域内, 接受H0:??12, 综上讨论,认为包装机工作正常.

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