山东省济南市2012届高考数学3月模拟考试 - 理

山东省济南市2012届高三3月高考模拟考试

数学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后将答题卡交回. 注意事项：

1. 答题前，考生务须用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

4. 填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：

如果事件A、B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B);如果事件A、B独立,那么P(A∩B)=P(A) P(B).

如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率: Pn(k)=Cknpk(1?p)n?k(k=0,1,2,?, n).

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的. 1. 复数

1+i的虚部是 4+3i11A. i B.

2525 C. ?11 D. ?i 25252. 直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0

互相垂直，则k=

A. -3或-1 B. 3或１

C. -3或１ D. -1或3 3. 函数y=sinxsin?A.

?π??x?的最小正周期是 ?2?π B. π C. 2π D. 4π 第4题图 24. 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为

A. 22 B. 4 C. 3 D. 23高考资源网

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1??5. 设a=?π0sinxdx,则二项式?ax??的展开式的常数项是

x??A. 160 B. -160

C. 240 D. -240 6. 如右图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有

A. 11种 B. 20种 C. 21种 D. 12种

第6题图

7. 函数

6y=lg

1|的大致图象为 |x?1|8. 设p:|4x-3|≤1，q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0，若非p是非q的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是

A. ?0,? B. ?0,?

22?1?????1??C. （－∞，0］∪?,??? D.（－∞，0）∪??1?2???1?,??? ?2?S12S10=2，则S2 012的值等于 ?12109. 在等差数列an?中，a1=-2 012 ，其前n项和为Sn，若

?A. -2 011 B. -2 012 C. -2 010 D. -2 013

10. 偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1)，且在x∈[0，1]时,f(x)=x ，则关于x的方程f(x)=

?1???，在x∈[0，4]上解的个数是 ?10?A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 已知实数x,y满足|2x+y+1|≤|x+2y+2|，且-1≤y≤1，则z=2x+y的最大值

A. 6 B. 5 C. 4 D. -3 12. 在△ABC中，E、F分别为AB，AC中点.P为EF上任一点,实数x，y满足PA+xPB+

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x????????

????yPC=0.设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记

SS1S??1,2??2,3??3,则?2??3取最大值时，2x+y的值为 SSS33A. -1 B. 1 C. - D.

22

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数学（理工类）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

1. 第Ⅱ卷共2页，所有题目的答案考生须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效;作图时，可用2B铅笔；要求字体工整，笔迹清晰，在草稿纸上答题无效,考试结束后将答题卡和第Ⅱ卷一并上交.

2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚，密封线内答题无效.

二、 填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上.

13. 随机变量ξ服从正态分布N(40, ?2)，若P(ξ<30)=0.2，则P(30<ξ<50)= . 14. 如果执行右面的程序框图，那么输出的S= .

x2y215. 过双曲线2?2=1(a>0,b>0)的左焦点F，作圆

aba2x?y?的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于

422点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为 . 16. 下列四种说法中正确的是 .

① “若am2

② 线性回归方程对应的直线y?bx?a一定经过其样本

数据点 (x1?y1),(x2?y2)，?，(xn,yn)中的一个点； 第14题图 ③ 若实数x,y∈[0.1],则满足：x?y＞1的概率为

n22???π； 4④ 用数学归纳法证明(n+1)(n+2)?(n+n)= 213?(2n-1)(n∈N*)时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是2(2k+1).

三、 解答题：本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）

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?????A25???在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos?,AB?AC=3.

25（1） 求△ABC的面积； （2） 若c=1,求a、sinB的值. 18. （本小题满分12分）

已知等比数列an?的前n项和为Sn，且满足Sn=3n+k， （1） 求k的值及数列an?的通项公式； （2） 若数列bn?满足19. （本小题满分12分）

如图,在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP⊥AB，AB=BC=

???an?1ab=(4?k)nn，求数列?bn?的前n项和Tn. 21AP=2，D是AP的中点，E，F，G2分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.

第19题图

(1) 求证：平面PCD⊥平面PAD； (2) 求二面角G-EF-D的大小； (3) 求三棱椎D-PAB的体积. 20. （本小题满分12分）

一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的.评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”.某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求出该考生：

（1） 得60分的概率；

（2） 所得分数ξ的分布列和数学期望. 21. （本小题满分12分）

已知椭圆的焦点坐标为F1（-1,0），F2（1,0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3，

（1） 求椭圆的方程；

（2） 过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

22. （本小题满分14分）

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数. （1） 当a=-1时，求f（x）的最大值；

（2） 若f（x）在区间（0，e］上的最大值为-3，求a的值；高考资源网

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（3） 当a=-1时，试推断方程f(x)=

lnx1?是否有实数解. x2

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数学（理工类）参考答案

一、 选择题

1. B 2. C 3. B 4. D 5. B 6. C 7. D 8. A 9. B 10. D 11. B 12. D 二、 填空题

13. 0.6 14. 20 15. 三、 解答题

10 16. ④ 22

?25?317. 解：（1） cosA=2×?-1=,??????????????????2分 ??5?5??????????????????3而AB?AC?|AB|?|AC|cosA=bc=3，∴bc=5????????4分

54又A∈（0，π），∴sinA=，???????????????5分

5114∴S=bcsinA=×5×=2. ???????????????6分

225 （2） ∵bc=5,而c=1，∴b=5.???????????????????8分

∴a2?b2?c2-2bccosA=20，a=25????????????10分

4bsinAab5?25.?????12分 ?又，∴sinB=?a5sinAsinB255?18. 解（1） 当n≥2时由an?Sn?Sn?1?3n?k?3n?1?k?2?3n?1????2分

a1?S1=3+k，所以k=?1，????????????????4分

（2） 由

an?1n3n,?(4?k)anbn，可得bn?b??,?????６分 n22?3n?123n3?123nTn???2?3????n2?3333 Tn???????????????７分 ?133?123n????????????????????9分 2?3233343n?1?

23?1111n??Tn???2?3????n?n?1?????????10分 32?33333?用心 爱心 专心 - 5 -

Tn?9?11n?????????????????12分 ???nn?1?4?22?33?19. 解 (1) 证明:方法一:

∵PD⊥平面ABCD ∴PD⊥CD????????????????????????1分 ∵CD⊥AD ∴CD⊥平面PAD?????????????????????2分 ∵CD?平面PCD ∴平面PCD⊥平面PAD??????????????????3分 方法二：略（向量法）

????????????（2） 如图以D为原点,以DA,DC,DP为方向向量建立空间直角坐标系D-xyz.

则有关点及向量的坐标为: ????????????4分

G（1，2，0）,E（0，1，1），F（0，0，1）

????????，EG=（1，1，-1）??5分 EF=（0，-1，0）

?设平面EFG的法向量为n=（x，y，z）

???????x?z?n?EF?0??y?0∴?????????. 第19题图 ???n?EG?0?x?y?z?0?y?0?取n=(1,0,1) ????????????????????????6分

????平面PCD的一个法向量, DA=(1,0,0)?????????????7分

??????????DA?n22???∴cosDA,n????????????????8分 ?2|DA|?|n|22结合图知二面角G-EF-D的平面角为45°???????????9分 VD?PAB?VP?DAB?1114S?ABDPD=??2?2?2???????12分 332320. 解：（1） 设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A，“有一道题

可判断一个选项是错误”选对的为事件B，“有一道题不理解题意”选对的为事件C，

111，P（B）=，P（C）=，∴得60分的概率为23411111p=????．??????????????????4分 223448∴P（A）=

（2） ξ可能的取值为40，45，50，55，60????????????5分

11231?；??????????????6分

2234811231113112117P（ξ=45）=C12?????????????

22342234223448P（ξ=40）=???????????????????????????????7分

用心 爱心 专心

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P（ξ=50）=?11231113112???C12?????C12??? 223422342231111117；????????????????8分 ??????4223448P（ξ=55）=

1111112111137??9分 ????????????223422342234481111111111P（ξ=60）=???? ?????223448223448C12?ξ P(ξ) 40 45 50 55 60 1 817 4817 487 481 48????????????????????????????10分

61771575+（45+50）×+55×+60×=???12分 4848484812x2y221. 解：（1） 设椭圆方程为2?2=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1???1分

ab2b2 由PQ|=3，可得=3，?????????????????2分

a 解得a=2，b=3，???????????????????３分

x2y2故椭圆方程为?=1?????????????????4分

43（2） 设M(x1,y1)，N(x2,y2),不妨y1>0, y2<0,设△F1MN的内切圆的径R，

1则△F1MN的周长=4a=8，S?F1MN?（MN+F1M+F1N）R=4R 2因此S?F1MN最大，R就最大，???????????????6分

（3） Eξ=40×

SAMN?1F1F2(y1?y2)?y1?y2， 2由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，

?x?my?1?22由?x2y2得(3m?4)y+6my-9=0，?????????８分

?1??3?4?3m?6m2?1?3m?6m2?1得y1?，y2?，

3m2?43m2?4 则S?AMN212m2?11，?????9分 ?AB（y1?y2）=y1?y2=3m2?42令t=m?1,则t≥1,

12m2?112t12??则S?AMN?,?????????10分

3m2?43t2?13t?1t11令f（t）=3t+，则f′(t) =3-2，

tt用心 爱心 专心

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当t≥1时，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上单调递增，

12=3, 3123即当t=1,m=0时，S?AMN≤=3, S?AMN=4R，∴Rmax=，

349这时所求内切圆面积的最大值为π.

169故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为π??????12分

1611?x22. 解：(1) 当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′(x)=－1+?????????1分

xx 有f(t)≥f(1)=4, S?AMN≤

当00；当x>1时，f′(x)<0.

∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数????3分 f(x)max=f（1）=-1??????????????????????4分 (2) ∵f′(x)=a+

11?1?，x∈(0,e］，∈?,???????????????5分 xx?e?1① 若a≥?，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0,e］上增函数

e ∴f(x)max=f（e）=ae+1≥0.不合题意?????????????6分

111② 若a0?a?>0，即0

exa11由f(x)<0?a?<0，即?

xa1???1?从而f(x)在?0,??上增函数,在??,e?为减函数

a???a??1??1?∴f(x)max=f???=-1+ln??????????????????8分

?a??a??1??1?令-1+ln???=-3，则ln???=-2

?a??a?11∴?=e?2，即a=?e?2. ∵?e?2

ae(3) 由（Ⅰ）知当a=-1时f(x)max=f（1）=-1，

∴|f（x）|≥1???????????????????????10分 又令g（x）=

lnx11?lnx,令g′(x)=0，得x=e, ?,g′（x）=

x2x2当00,g(x) 在(0,e)单调递增高考资源网；

当x>e时,g′(x)<0，g(x) 在(e,+∞)单调递减??????????11分

11?<1, ∴g(x)<1???????????12分 e2lnx1 ∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|> ???????????????13分

x2lnx1∴方程|f（x）|=?没有实数解.?????????????14分

x2 ∴g(x)max=g（e）=

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