典型相关分析

相关分析的类型

典型相关分析：用于探究一组解释变量与一组反应变量时间的关系。

典型相关分析函数：cancor（x，y，xcenter=T，ycenter=T） x为第一组变量数据矩阵 y为第二组变量数据矩阵

xcenter表示第一组变量是否中心化 ycenter表示第二组变量是否中心化

自编典型相关函数：cancor.test（x，y，plot=T） x为第一组变量数据矩阵 y为第二组变量数据矩阵 plot为是否绘制典型相关图

例1：d11.1 生理指标与训练指标之间的典型相关性。 生理指标：体重（x1）、腰围（x2）、脉搏（x3）； 训练指标：引体向上次数（y1）、起坐次数（y2）、跳跃次数（y3）。

> X<-read.table(\ > R<-cor(X)

> R

x1 x2 x3 y1 y2 y3 x1 1.0000 0.8702 -0.36576 -0.3897 -0.4931 -0.22630 x2 0.8702 1.0000 -0.35289 -0.5522 -0.6456 -0.19150 x3 -0.3658 -0.3529 1.00000 0.1506 0.2250 0.03493 y1 -0.3897 -0.5522 0.15065 1.0000 0.6957 0.49576 y2 -0.4931 -0.6456 0.22504 0.6957 1.0000 0.66921 y3 -0.2263 -0.1915 0.03493 0.4958 0.6692 1.00000

> R11<-R[1:3,1:3];R12<-R[1:3,4:6];R21<-R[4:6,1:3];R22<-R[4:6,4:6]

> A<-solve(R11)%*%R12%*%solve(R22)%*%R21 #A=(R11)-1 R12 (R22)-1 R21

> ev<-eigen(A)$values #特征值 > sqrt(ev) #典型相关系数

[1] 0.79561 0.20056 0.07257

以上过程是一步一步计算的，接下来我们使用R自带的典型相关函数：

> xy<-scale(X) #数据标准化

> ca<-cancor(xy[,1:3],xy[,4:6]) #典型相关分析 > ca$cor #典型相关系数

[1] 0.79561 0.20056 0.07257 > ca$xcoef #x的典则载荷

[,1] [,2] [,3] x1 -0.17789 -0.43230 0.04381 x2 0.36233 0.27086 -0.11609 x3 -0.01356 -0.05302 -0.24107 > ca$ycoef #y的典则载荷

[,1] [,2] [,3] y1 -0.08018 -0.08616 0.29746 y2 -0.24181 0.02833 -0.28374 y3 0.16436 0.24368 0.09608

典型变量的系数载荷并不唯一，只要是它的任意倍数即可，所以每个软件得出的结果并不一样，而是相差一个倍数。

R自带的典型分析函数cancor（）并不包括对典则相关系数的假设检验，为了方便，使用自编典型相关检验函数cancor.test()。

> cancor.test(xy[,1:3],xy[,4:6],plot=T)

$cor

[1] 0.79561 0.20056 0.07257

$xcoef

[,1] [,2] [,3]

x1 -0.17789 -0.43230 0.04381 x2 0.36233 0.27086 -0.11609 x3 -0.01356 -0.05302 -0.24107

$ycoef

[,1] [,2] [,3] y1 -0.08018 -0.08616 0.29746 y2 -0.24181 0.02833 -0.28374 y3 0.16436 0.24368 0.09608

$xcenter

x1 x2 x3

-5.551e-18 -1.943e-17 1.821e-17

$ycenter

y1 y2 y3

-2.776e-17 3.331e-17 3.365e-17

cancor test:

r Q P

[1,] 0.79561 16.25496 0.06174 [2,] 0.20056 0.67185 0.95475 [3,] 0.07257 0.07128 0.78948

经检验不拒绝原假设，即认为在0.05的水平上没有一个典型相关是显著的。从典型相关图上也可以看出效果不是很理想，所以就不需要做进一步的典型相关分析了。

例2：d11.2 广东省能源消费量与经济增长之间的典型相关分析。

> X<-read.table(\ > library(mvstats)

> cancor.test(X[,1:4],X[,5:10],plot=T)

$cor

[1] 0.9990 0.9549 0.7373 0.4267

$xcoef

[,1] [,2] [,3] [,4] x1 -0.01398 0.2627 -0.1634 -0.05500 x2 0.11887 0.4359 1.5137 -0.02025 x3 0.09036 -0.7627 -1.6045 -0.96536 x4 0.03687 0.1724 0.1985 1.04168

$ycoef

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] y1 -0.05901 1.7712 1.05700 1.5687 -2.690 -1.4398 y2 -0.22982 -5.0797 3.72101 1.5689 12.636 6.4680 y3 0.05815 1.2193 0.09171 0.9209 -1.509 -3.9680 y4 0.32723 4.4700 -2.21300 -0.2103 -12.580 -6.8854 y5 0.08586 -0.3787 0.95434 -0.8582 2.151 0.7645 y6 0.05439 -1.9202 -3.59565 -2.9345 1.884 4.9775

$xcenter

x1 x2 x3 x4

3.418e-16 -4.382e-17 -8.035e-17 -9.641e-17

$ycenter

y1 y2 y3 y4 y5 y6 -5.551e-17 3.871e-17 -9.641e-17 7.888e-17 3.494e-16 8.327e-17

cancor test:

r Q P

[1,] 0.9990 120.648 7.438e-15 [2,] 0.9549 39.264 5.851e-04 [3,] 0.7373 10.345 2.416e-01 [4,] 0.4267 1.909 5.914e-01

经检验，在0.05水平下有三个典型相关是显著的，即需要三个典型变量，于是可得出前三对典型变量的线性组合是：

对结果进行分析：

1） 由于r1=0.999，说明u1、v1之间具有高度的相关关系（尤其是绝对值较大的权系数），

而各自的线性组合中变量的系数大部分都为正，因此一般来说，能源消费越多，经济增长就越快。

2） 在第一对典型变量u1、v1中，u1为能源消费指标的线性组合，其中x2（油品消费量）

和x3（电力消费量）比其他变量有较大的载荷，说明油品、电力是能源消费量的主要指标，它们在能源消费中占主导地位。x4（能源进口量）比x1（原煤消费量）有较大载荷，说明随着经济的逐渐发展，本地的能源逐渐不能满足经济发展的需要，进口能源逐渐展示其重要性。。。。。。

从图中可以看出，散点在近似的一条直线上分布，两者之间呈线性相关关系。这说明用典型相关分析的方法能较好的说明能源消费与经济增长之间的相关关系。散点图上几乎没有离开群体的差异值，这表明能源消费量和经济增长之间的关系很稳定，波动也非常平稳。

练习题1：e11.6 对我国工农业产业系统的典型相关分析。

练习题2：e11.7 对各类投资资金与三大产业的典型相关分析。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/aobf.html