软件学院离散数学单元测试题（半群与群答案）

近世代数单元测试题（二）

（院系：软件学院 年级：2007级）

一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末括号里） 1．下列运算中，哪中运算关于整数集不能构成半群（ ）。

A．a?b?max{a,b} B．a?b?b C．a?b?|a?b| D． a?b?2ab 2．在自然数集合N上定义运算?为：对任意a，b∈N，a?b=a+b+a则下面说法正确的是（ ）。

A． 是群 B． 是幺半群但不是群 C． 是半群但不是幺半群 D． 不是半群

R为实数集，a,b?R,a*b?a?|b|，3．运算*定义为：则代数系统

b，

A．半群 B．独异点 C．群 D． 阿贝尔群 4．下列代数系统中，哪个是群（ ）。

A．S?{1,3,4,5,9} ，*是模11乘法 B．S?Q（有理数集合） ，*是普通乘法

C．S?Z（整数集合） *是一般减法 D． S?{0,1,3,5}，*是模7加法 5．下列代数系统?G,*?中，哪个不构成群（ ）。

A．G?{1,10} ，*是模11乘法 B．G?{1,3,4,5,9}，*是模11乘法 C．G?Q（有理数集合） +是普通法 D． G?Q（有理数集合） *是普通法

6．下面4个代数系统中构成群的是（ ）。

A. 〈R?，×〉 B. C. D. 7．下面4个代数系统中不构成群的是（ ）。

A. B. C. D.

??8．是群(其中Z11={1，2，3,…,10},?11是模11乘法运算)，下面子

1

集中（ ）不是它的子群。

A. {1} B. {1，10}

C. {1，2，4，6，8} D. {1，3，4，5，9}

9．设G={1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}，则G关于模7乘法构成群，下列子集能构成G的

子群的是（ ）。

A. {1 , 2 , 4} B. {1 , 3 , 5} C. {1 , 3 , 6} D. {1 , 5} 10．设?R,??为群，其中R是实数集，而乘法?:a?b?a?b?k，这里k为R中固定的常数。那么群?R,??中的单位元e和元x的逆元分别是（ ）。 A．0和?x B．1和0 C．k和x?2k D．?k和?(x?2k) 11．关于循环群，下面说法不正确的是（ ）。

A. 循环群的子群一定是循环群 B. 循环群一定是素数阶的 C. 阶数相同的循环群彼此同构 D. 循环群一定是交换群 12．下面关于循环群性质的描述，错误的是（ ）。 A. 同阶的循环群必同构。

B. 循环群的生成元一定是唯一的。

C. 设G是n阶循环群，a∈G，则a是生成元当且仅当a的阶数是n。 D．循环群的子群仍然是循环群。

13．设?H,??是?G,??的真子群，且|H|?n,|G|?m，则有（ ）。

A．n整除m B．m整除n C．n整除m且m整除n D． n不整除m且m不整除n

14．10阶循环群的子群一定不是（ ）。

A. 2阶 B. 3阶 C. 5阶 D.10阶

15．设H，K是群?G,??的子群，下面哪个代数系统一定是?G,??的子群（ ）。

A．?HK,?? B．?H?K,?? C．?K?H,?? D． ?H?K,?? 16．设?L,??是有界格，则它是有补格，只要满足（ ）。

A．每个元素都有一个补元 B. 每个元素都至少有一个补元 C. 每个元素都无补元 D. 每个元素都有多个补元

17．下图为四个格所对应的哈斯图，哪个是分配格（ ）。

2

A B CD

18．N是自然数集，?是小于等于关系，则是 （ ）。 A.有补格 B.分配格 C. 有补分配格 D.有界格 19．有限布尔代数的元素的个数必定等于（ ）。 A. n2 B. 2n C） 2n D）4n

20．下列集合关于整除关系都构成偏序集，其中不是格的是（ ）。

A. L={1 , 2 , 3 , 6 } B. L={2 , 3 , 6 , 12} C. L={1 , 2 , 4 , 8 } D. L={1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 }

21．下列各集合关于整除关系都构成偏序集，其中是格的是（ ）。

A．L={1 , 2 , 3 , 4，5} B．L={1，2 , 4 , 6 , 8} C．L={2 , 3 , 6 , 12，18} D．L={1 , 2 , 3 , 6 , 12}

二、填空题

1.．设Zn?{0,1,2,...,n?1}，在代数系统?Zn,?,??中，?,?分别表示模n的加法和乘法，则Zn对?运算的单位元是________， Zn对?的单位元是_________。 2. 设G={1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 8, 9, 10}，G关于模11乘法构成群，群G的幺元是_______，元素2与_________互为逆元。

3. 设G={1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6}，G关于模7乘法构成群，群G的幺元是________，元素3与______互为逆元。

4．设G是群，a∈G，a的阶数是18，则元素a的阶数是____________。 5．群G中的元素a的阶等于50，则a4的阶等于 。

6．设群G中元素a的阶为m，如果an?e，那么m与n存在整除关系为 。 7．设G?{1,5,7,11}，?G,??为群，其中?为模12乘法，则5的阶为_________， ?G,??有________真子群。

3

128.G?{e,a,...,a11}是12阶循环群，则G的生成元除a,a5外还有____和____。 9. 令G1??Z,??是整数加群，G2??Zn,??是模n的整数加群. 令

?:Z?Zn,?(x)?(x)modn，则?是G1到G2的同态. 同态核ker?=___________。

*?是非零实数关于普通乘法构成的群. 10．令G1??R,??是实数加群，G2??R,?令?:R?R*,?(x)?ex，则?是G1到G2的同态. 同态核ker?=___________。 11. 令

f：Z→z6，f(x)=xmod6，则f是整数加群到模6整数加群

f是_______________(满同态，单同态，同构)。

的同态映射， 则12.令

f:R?R*，f(x)?ex，则f是整数加群到非零实数集关于普通

*乘法构成的群的同态映射，则同构)。

f是_______________(满同态，单同态，

13.设G是一个奇数阶有限交换群，则G中所有元素的乘积一定等于________。

)，则?的阶为 。 14. 设置换的轮换表示为??(3142515.n元对称群Sn 的阶为_________。

（)56）16．已知??(152)(346)，??(13)(24是两个置换，求???_______________；

??1?____________。

17. 已知??(14)(2356)，??(135)(246）是两个置换，求???_______________；

??1?____________。

18．如果一个格是有补____________格称为布尔代数。

19. 设X={1，2，3，5，6，10，15，30}，Y={2，3，6，12，24，36}， W={1，2，3，6，18，54}，T={2n|n为正整数}，这些集合中关于整除关系不能构成格的有____________。

20．设?L,??是格，其哈斯图如下图所示。取

S1?{a,b,c,d},S2?{a,b,d,f},S3?{b,c,d,f}，则_______是?L,??的子格。

4

abcegd f

21．设L为格，则公式b?(c?a)?(b?c)?a的对偶式为___________________。

A B CD

22. 设是分配格，若对?a,b,c?A,若有a?b?a?c,a?b?a?c成立，则

_______。

23. 设P是命题(a?b)?(b?c)?(c?a)?(a?b)?(b?c)?(c?a)，则P的对偶命

是____________________________。 24. 如果一个格是_________分配格称为布尔代数。

25.设L为格，则公式a?(b?c)?(a?b)?(a?c)的对偶式为___________________。 三、判断题

1．是独异点，a ，b∈S，且a ，b均有逆元，则(a*b)?1?a?1*b?1（ ）。 2．若半群有左单位元，则左单位元唯一（ ）。 3有单位元且适合消去律的有限半群一定是群 （ ）。 4 一个群可以有多个等幂元 （ ）。

5设G为群，H为G的正规子群，则?a?G,?h?H,有ha?ah。（ ） 6. H, K是群G的子群，则H∪K也是G的子群（ ）。 7. 若H，K是群G的子群，则H∩K也是G的子群。（ ） 8．素数阶的群必为循环群。（ ） 9. 循环群中的生成元是唯一的（ ）。

5

10．交换群一定是循环群。（ ）

11．设G是循环群，G同构与H，则H也是循环群 （ ）。 12．在整环〈A，+,·〉中无零因子条件等价于乘法消去律。（ ）

13．任意n元置换都可以分解为若干不相交对换的乘积，而且表示式是唯一的。（ ）

14．任意n元置换都可以分解为若干不相交轮换的乘积。（ ）

15．在有界分配格中，一个元素若有补元，则补元不一定是唯一的（ ）。 16．设A为一有限集合，则为有补格。（ ）。

17．N是自然数集，≤是小于等于关系，则是有补格。（ ） 18．如果在一个格中交运算对并运算可分配，则并运算对交运算也一定可分配。反之亦然（ ）。 四、解答题

1设G??a?是18阶循环群，求出G的所有子群。

?12345??12345?2设?,?是5元置换，且????，????，

2145334512????计算①??；②??1；③将??表示成不交的轮换之积。 3、令G??Z,??是整数加群，求商群Z/4Z。

?12?为模12整数加群，求商群Z12/<3>。 4.设?Z12，??,G2??R，??,其中R*为非零实数的集合，5. G1??Z，+和?分别表示数的加

法和乘法。

*?:Z?R*,?(x)???1x是偶数

??1x是奇数说明?是否是单同态，满同态和同构，并求同态像?（G1)和同态核ker?。

??,G2??A，??,其中+和?分别表示数的加法和乘法。5. G1??R，A?{x|x?C?|x|?1}其中,C为复数集合。

?:Z?A,?(x)?cosx?i?sinx

说明?是否是单同态，满同态和同构，并求同态像?（G1)和同态核ker?。

6．设G?{a,b,c,d,e,f}，G上的运算*定义如表所示。

6

* e a b c d f e e a b c d f a a b e d f c b b e a f c d c c f d e b a d d c f a e b f f d c b a e （1） 找出所有2个元素的子群； （2） 求?d?的所有右陪集。

7．设G是一个10阶循环群，a是它的一个生成元，指出G的所有生成元，并写出G的2阶和5阶子群。

8．设A?{1，2，3，4，6，812，，24},|为整除关系，则?A,|?是格，其中画出?A,|?的哈斯

图，并给出所有有补元素的补元。

，2，3}，则A的幂集P(A)与集合的包含关系?构成格?P(A),??，画出9. 设A?{1?P(A),??的哈斯图，并给出所有元素的补元。

10.设?A,|?是格，其中A?{1，2，510，，，1122，55110}，，|为整除关系，画出?A,|?的哈斯图，并给出所有有补元素的补元。

11．设?A,|?是格，其中A?{1,2,3,4,6,9,12,18,36}，| 为整除关系，画出?A,|?的哈斯图，并给出所有有补元素的补元。 五、证明题

1.设G1??Q,+?是有理数加群，G2??Q*,??是非零有理数乘法群，证明不存在G2到

G1的同构。

??为实数加群，?R*，??为非零实数集关于普通乘法构成的群，2．设?R，??到?3.令f:R?R*,f(x)?ex，证明：f是?R，同态核kerf。

R*，??的同态映射，并求

4. 设G?{23|m,n?Z}，G关于普通的乘法构成群，对任意的m，n，f(2m3n)?2m，试证明：f是G到G的同态映射，并求同态核kerf。

5.

mnSn是A?{1,2,3,...,n}上的所有置换组成的集合，

(1)．证明Sn对置换乘法（函数复合）运算构成群；

7

?1?s,t?S,sRt??g?G,s?gtg,证SS(2)．G是n的子群，则n上定义关系R，n明R是Sn上的等价关系。

??10??10???10???10??6.设G????01??,??0?1??,??01??,??0?1???，证明G关于矩阵乘法构成群。

??????????7．设G={a + bi|a ,b∈Z}，其中i是虚数单位，则是一个群。 8.设G为群，a,b,c?G是有限阶元，证明|abc|=|bca|。

9. 在整数集Z上定义：a*b?a?b?2,?a,b?Z，证明是一个群。 10．设G是群，H≤G，对任意的a∈G，令H1=aHa证明：H1≤G。

11 .设G是群，令C?{a|a?G??x?G(ax?xa)}，证明C≤G。 12.设H和K分别为群G的r，s阶子群，若r和s互素，证明H?K?{e}。 13.证明G1为循环群，?是G1到G2的同态，证明?(G1)也是循环群。 14.设?是G1到G2的同态，则ker??G1.

15. 设L是格，试证明：?a,b,c?L,有a?(b?c)?(a?b)?(a?c).

?1={aha?1| h∈H}，

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