6-1-3植树问题.题库教师版

植树问题的公式知识点：

一、植树问题分两种情况，不封闭与封闭路线。

不封闭的植树路线.

① 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1. 全长、棵数、株距三者之间的关系是： 棵数?段数?1?全长?株距?1 全长?株距?(棵数?1) 株距?全长?(棵数?1)

② 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为： 全长?株距?棵数；

棵数?段数?全长?株距； 株距?全长?棵数.

③ 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵. 棵数?段数?1?全长?株距?1. 株距?全长?(棵数?1). 全长?株距?(棵数+1) 封闭的植树路线.

在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.

棵数?段数?周长?株距.

二、解植树问题的三要素

解决植树问题，首先要牢记三要素：总路线长、间距（棵距）长、棵数．只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．

三、方阵问题

明确空心方阵和实心方阵的概念及区别. 每边的个数＝总数÷4?1”； 每向里一层每边棋子数减少2；

掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。

板块一、非封闭的植树问题

【例 1】 大头儿子的学校旁边的一条路长400米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，一共能种几

棵树？

【解析】 从图上可以看出，每隔4米种一棵树，如果20米长的路的一边共种了6棵树，这是因为我们首

先要在这条路的一端种上一棵，就是说种树的棵树要比间距的个数多1，所以列式为：400÷4+1=101（棵）.

【巩固】 一条公路的一旁连两端在内共植树91棵，每两棵之间的距离是5米，求公路长是多少米？ 【解析】 根据植树问题得到：?91?1??5?450（米）

【巩固】 在一条长240米的水渠边上植树，每隔3米植1棵。两端都植，共植树多少棵？ 【解析】 240?3?1?81（棵） 6-1-3.植树问题.题库 教师版 page 1 of 13

【例 2】 从小熊家到小猪家有一条小路，每隔45米种一棵树，加上两端共53棵；现在改成每隔60米种

一棵树．求可余下多少棵树?

【解析】 该题含植树问题、相差关系两组数量关系.从小熊家到小猪家的距离是：45×(53-1)=2340(米)，

间隔距离变化后，两地之间种树：2340÷60+1=40(棵)，所以可余下树： 53-40=13(棵) ， 综合算式为：53-[45×(53-1)÷60+1]=13(棵).

【巩固】 从甲地到乙地每隔40米安装一根电线杆，加上两端共51根；现在改成每隔60米安装一根电线

杆．求还需要多少根电线杆?

【解析】 该题含植树问题、相差关系两组数量关系. 解：①从甲地到乙地距离多少米? 40?(51?1)?2000(米)

②间隔距离变化后，甲乙两地之间安装多少根电线杆? 2000?20?100(根)，100?1?101（根） ③还需要下多少根电线杆? 101?51?50(根)

综合算式：[40?(51?1)?20?1]?51?50(根)

【例 3】 马路的一边，相隔8米有一棵杨树，小强乘汽车从学校回家，从看到第一棵树到第153棵

树共花了4分钟，小强从家到学校共坐了半小时的汽车，问：小强的家距离学校多远？

【解析】 第一棵树到第153棵树中间共有153-1=152（个）间隔，每个间隔长8米，所以第一棵树到

第153棵树的距离是：152×8=1216（米），汽车经过1216米用了4分钟，1分钟汽车经过：1216÷4=304（米）,半小时汽车经过：304×30=9120（米），即小明的家距离学校9120米.

【巩固】 马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少

千米？

【解析】 张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车

速度.

解：5分钟汽车共走了：

9?(501?1)?4500(米)，

汽车每分钟走：4500?5?900(米)， 汽车每小时走：

900?60?54000(米)?54(千米) 列综合式：

9?(501?1)?5?60?1000?54(千米)

【例 4】 一位老爷爷以匀速散步，从家门口走到第11棵树用了11分钟，这位老爷爷如果走24分

钟，应走到第几棵树？（家门口没有树）

【解析】 从家门口走到第11棵树是走了11个间隔，走一个间隔所用时间是：11÷11=1（分钟），那么走

24分钟应该走了：24÷1=24（个）间隔，所以老爷爷应该走到了第24棵树.

【例 5】 晶晶上楼，从第一层走到第三层需要走36级台阶．如果从第一层走到第六层需要走多少级台

阶?(各层楼之间的台阶数相同)

【解析】 题意的实质反映的是一线段上的点数与间隔数之间的关系．线段示意图如下：

解：①每相邻两层楼之间有多少级台阶?

36?(3?1)?18(级)

②从第一层走到第六层共多少级台阶?

6-1-3.植树问题.题库 教师版 page 2 of 13 18?(6?1)?90(级)

【巩固】 丁丁和爸爸两个人比赛跑楼梯，从一层开始比赛，丁丁到四层时，爸爸到三层，如此算来，丁

丁到16层时，爸爸跑到了几层？

【解析】 丁丁实际跑了三层的距离，爸爸跑了两层的距离，到16层需要跑15层的距离，所以丁丁跑了

． 15?3?5（个）三层的距离，爸爸同时跑了5个两层的距离．所以爸爸跑到了5?2?1?11（层）

【例 6】 元宵节到了，实验中学学校大门上挂了红绿两种颜色的彩灯，从头到尾一共挂了21只，

每隔30分米挂一只红灯，相邻的2只红灯之间挂了一只绿灯，问实验中学学校的大门有多宽？

【解析】 一共挂了21只彩灯说明彩灯中间的间距有：21-1=20（个），每隔30分米挂一只红灯，相邻的2

只红灯之间挂了一只绿灯，说明每个间距的长是：30÷2=15（分米），所以学而思学校的大门宽度为：15×20=300（分米）

【例 7】 有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续3秒．如果敲响6下，那么从敲响第一下到最后一下

持续声音结束，一共需要43秒．现在敲响12下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多长时间？

【解析】 每次敲完以后，声音持续3秒，那么从敲完第一下到敲完第6下，一共经历的时间是43?3?40（秒），而这之间只有6?1?5（个）间隔，所以每个间隔时间是40?5?8（秒），现在要敲响12下，所以一共经历的时间是11个间隔和3秒的持续时间，一共需要时间是：11?8?3?91（秒）．

【巩固】 有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，六点时，5秒钟敲完，那么十二点时，几秒钟

才能敲完？

【解析】 六点时敲6下，中间共有5个间隔，所以每个时间间隔是5?5?1（秒），十二点要敲12下，中

间有11个时间间隔，所以十二点要用：11?1?11（秒）才能敲完．

【例 8】 小明家的小狗喝水时间很规律，每隔5分钟喝一次水，第一次喝水的时间是8点整，当小狗第

20次喝水时，时间是多少？

【解析】 第20次喝水与第1次喝水之间有20?1?19(个)间隔，因为小狗每隔5分钟喝一次，所以到第20

次喝水中间间隔的时间是：19?5?95(分钟)，也就是1个小时35分钟，所以小狗第20次喝水时时间是：9时35分．

【巩固】 科学家进行一项试验，每隔5小时做一次记录，做第12次记录时，挂钟时针恰好指向9，问做

第一次记录时，时针指向几？

【解析】 我们先要弄清楚从第一次记录到第十二次记录中间经过的时间是多少．第1次到第12次有11个

间隔：5?11?55（小时）．然后我们要知道55小时，时针发生了怎样的变化．时针每过12小时就会转一圈回到原来的状态，所以时针转了4圈以后，又经过了7个小时．55?12?4??7（小时）而这时时针指向9点，所以原来时针指向2点．

【例 9】 裁缝有一段16米长的呢子，每天剪去2米，第几天剪去最后一段？ 【解析】 如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2个2米，

只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，还剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3个2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，还剩6米，第二天再剪2米，还剩4米，这样第三天即可剪去最后一段，8米里有4个2米，用3天，……我们可以从中发现规律：所用的天数比2米的个数少1．因此，只要看16米里有几个2米，问题就可以解决了．16米中包含2米的个数：16?2?8（个）剪去最后一段所用的天数：8?1?7（天），所以裁缝第7天剪去最后一段．

6-1-3.植树问题.题库 教师版 page 3 of 13 【巩固】 一根木料在24秒内被锯成了4段，用同样的速度锯成5段，需要多少秒？ 【解析】 锯的次数总比锯的段数少1．因此，在24秒内锯了4段，实际只锯了3次，这样我们就可以求出

锯一次所用的时间了，又由于用同样的速度锯成5段；实际上锯了4次，这样锯成5段所用的时间就可以求出来了．所以锯一次所用的时间：24?(4?1)?8（秒），锯5段所用的时间：

． 8?（5?1）?32（秒）

【巩固】 有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处需用3分钟，全部锯完需要多少分钟? 【解析】 求锯的次数属植树问题思路．一根木料锯成了3段，只要锯3?1?2次，锯3根木料要2?3?6次，

问题随之可求．

解：①一根木料要锯成3段，共要锯多少次? 3?1?2(次)

②锯开三根木料要多少次? 2?3?6(次)

③锯三根木料要多少时间? 3?6?18(分钟)

综合算式：3?[(3?1)?3]?18(分钟) 或3?(3?1)?3?18(分钟)

【例 10】 有一根 180厘米长的绳子，从一端开始每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将标有

记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段？

【解析】 ⑴ 每3厘米作一记号，共有记号： 180?3?1?59（个）

⑵ 每4厘米作一记号，共有记号： 180?4?1?44（个） ⑶ 其中重复的共有： 180?12?1?14（个） ⑷ 所以记号共有： 59?44?14?89（个） ⑸ 绳子共被剪成了： 89?1?90（段）．

【例 11】 在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红色点，同时自右向左每隔5 厘米也

染一个红点，然后沿红点将木棍逐级锯开，那么长度是4厘米的短木棍有多少根？

【解析】 由于100是5的倍数，所以自右向左每隔5厘米染一个红点相当于自左向右每隔5厘米染一个红

点．而每隔30厘米可得到2个4厘米的短木棍．最后100?30?3?10（厘米）也可以得一个短木棍，故共有2?3?1?7（个）4厘米的短棍．

【巩固】 （1990年小学数学奥林匹克决赛试题）甲、乙俩人对一根3米长的木棍涂色，首先甲从木棍端

点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底．然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底．最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为 厘米．

【解析】 考虑60cm长的一段木棍中，没有被涂黑的部分长度总和为1?3?5?4?2?15（如上图），所（cm）以3米长的木棍中共有15?长未被涂黑． （300?60）?75（cm）056151825303640485060

6-1-3.植树问题.题库 教师版 page 4 of 13 【巩固】 大头儿子和小头爸爸一起攀登一个有300级台阶的山坡，爸爸每步上3级台阶，儿子每步上2

级台阶，从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少级不同的台阶？

【解析】 大头儿子踏过的台阶数是：300?2?150（级），小头爸爸踏过的台阶数是300?3?100（级），父

子俩每2?3?6（级）台阶要共同踏1级台阶，共重复踏了300?6?50（级），所以父子俩共踏了：

． 150?100?50?200（级）

【例 12】 同学们做操，小林站在左起第5列，右起第3列；从前数前面有4个同学，从后数后面有6个同

学．每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人？

【解析】 带领学生画图求解．

一共有几行？列式：4+6+1=11（行）

一共有几列？列式：5?3?1?7（列） 一共有多少人？列式：11?7?77（人）

【巩固】 一群小猴排成整齐的队伍做操，长颈鹿站在队伍旁边，一下子看到了他的好朋友金丝猴．长颈

鹿数了数，金丝猴的左边有4只猴，右边也有4只猴，前面有5只猴，后面也有5只猴．小朋友，你能算出有多少只猴子在做操吗？

【解析】 一共有多少行？列式：5+5+1=11（行） 一共有多少列？列式：4+4+1=9（列） 一共有多少只猴子？11?9?99（只）．

【巩固】 校门口放着一排花，共10盆．从左往右数茉莉花摆在第6，从右往左数，月季花摆在第8， 一

串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间．算一算，一串红花一共有多少盆？

【解析】 从左往右数茉莉花摆在第6，那么从右往左数茉莉花就是第：10?(6?1)?5（盆）花，从右往左

数，月季花摆在第8，从左往右数月季花就是第：10?(8?1)?3（盆）花，一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间，一串红花一共有：10?5?3?2（盆）．

【巩固】 (2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)小朋友们做广播体操，小明恰好站在队列的正中

心，此时无论是从前往后或者从后往前数他都排在第5个，无论是从左往右或者是从右往左数他都排在第6个，则这个队列中一共有________位小朋友．

【解析】 根据题意知：每列有5?5?1?9(人)，每行有6?6?1?11（人），则这个队列共有：（人）． 9?11?99

【例 13】 北京市国庆节参加游行的总人数有60000人，这些人平均分为25队，每队又以12人为一排列

队前进．排与排之间的距离为1米，队与队之间的距离是4米，游行队伍全长多少米？

【解析】 这道题仍是植树问题的逆解题，它与植树问题中已知树的棵数，树间的距离，求树列的全长相

当．逆解时要注意段数比树的棵数少1．所以，

⑴每队的人数是： 60000?25?2400(人)

⑵每队可以分成的排数是： 240?0?12(排) ⑶200排的全长米数是： 1?(200?1)?199(米) ⑷25个队的全长米数是： 199?25?4975(米) ⑸25个队之间的距离总米数是：4?(25?1)?96(米)

⑹游行队伍的全长是： 4975?96?5071(米)

【巩固】 一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米。这列车队

共排列了多长？如果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地，需要多少时间？

【解析】 车队间隔共有30?1?29(个)，每个间隔5米，所以，间隔的总长为(30?1)?5?145(米)，而车

身的总长为30?4?120(米)，故这列车队的总长为(30?1)?5?30?4?265(米)．由于车队要行

6-1-3.植树问题.题库 教师版 page 5 of 13

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ao63.html