二次函数与几何综合类存在性问题 学生版

二次函数与几何综合类存在性问题

二次函数与几何综合类存在性问题

二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透。存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题。解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设。

探究一 二次函数与三角形的结合

例1 如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点为A、B两点，其中点A的坐标为(－3，0)． (1)求点B的坐标；

(2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x 轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

二次函数与几何综合类存在性问题

探究二 二次函数与四边形的结合

例2 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，－3)，点P是直线BC下方抛物线上的动点． (1)求这个二次函数的解析式；

(2)连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

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探究三 二次函数与相似三角形的结合

例3 如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3，0)，与y轴

交于点C(0，4)，以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G. (1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；

(3)在(2)的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．

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探究四 二次函数与圆的结合

例4 如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(4，0)，B点坐标为(－1，

0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的正半轴交于点C. (1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；

(2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式； (3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

二次函数与几何综合类存在性问题

巩固练习

1、如图已知直线y=－2x+12分别与y轴、x 轴交与A、B两点,点M在y轴上,以点M为圆

心的⊙ M与直线AB相切于点D,连结MD

(1).求证: △ AMD ∽△ AOB

529

(2).如果⊙M的半径为25,请求出点M的坐标,并写出以( ,)为顶点,且过点

22

M的抛物线的解析式

(3). 在(2)的条件下,试问在此抛物线上是否存在点P,使得以P、A、M三点为顶点的三角形与 △ AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

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2、如图，过A（8，0）、B（0，y 3x交于点C．平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S，直线l

的运动时间为t（秒）．

（1）直接写出C点坐标和t的取值范围； （2）求S与t的函数关系式； （3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形

为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

备用图1

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3、如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（4，0），B（2，﹣（1）求此二次函数的解析式；

），M是OA的中点． 3

（2）设P是抛物线上的一点，过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM是菱形，求P点的坐标；

（3）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线OB′A（B′为B关于x轴的对称点），在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连接CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D．若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．

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4、如图，已知抛物线y （1）求抛物线的解析式；

12

x bx c图象经过A（-1，0），B（4，0）两点． 2

（2）若C（m，m-1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F． ①求证：四边形DECF是矩形；

②连结EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

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5、在平面直角坐标系xOy中，二次函数y

123

x x 2的图像与x轴交于点A，B（点22

B在点A的左侧），与y轴交于点C，过动点H（0, m）作平行于x轴的直线，直线与二次函数y

123

x x 2的图像相交于点D，E. 22

（1）写出点A,点B的坐标；

（2）若m>0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m

的值；

（3）直线上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存

在，请说明理由.

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6、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2

，顶点坐标为N（﹣

1且与

x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；

），3

（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

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7、如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶

点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=

1

AC，连接OA，OB，BD和AD． 2

（1）若点A的坐标是（﹣4，4） ①求b，c的值；

②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；

（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．

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8、如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以

直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点.（1）求该抛物线线的函数解析式.

（2）已知直线l的解析式为y x m，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.

①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积.

②当m

3时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F. 是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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9、如图，抛物线y x2 bx c与x轴交于A(-1，0)，B(5，0）两点，直线y x

3与

y轴交于点C，，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m. （1）求抛物线的解析式； （2）若PE =5EF，求m的值；

（3）若点E/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E/落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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10、已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

(3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

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11、设抛物线y ax2 bx 2与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)， 与y轴交于点C.且∠ACB=90°． (1)求m的值和抛物线的解析式；

(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A的直线y x 1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标． (3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于________________．

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12、已知抛物线y ax2 bx c经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点. （1）求抛物线的函数关系式；

（2）若过点B的直线y kx b 与抛物线相交于点C（2，m），请求出 OBC的面积S的值. （3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得 OCD与 CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

-6 --4

1 2

y

4 2

G

x

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13、如图，抛物线y a(x 1)(x 5)与x轴的交点为M，N．直线y kx b与x轴交于

P( 2，0)，与y轴交于C．若A，B两点在直线y kx

b上，且AO BO ，

AO BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高． （1）OH的长度等于 ；k ，b ．

（2）是否存在实数a，使得抛物线y a(x 1)(x 5)上有一点E，满足以D，N，E为顶点的三角形与△AOB相似？若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点（简要说明理由）；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G

是否总满足PBPG ，写出探索过程．

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14、如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；

（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若点的坐标；若不存在，说明理由． 存在，求出N

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15、如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CE—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO. (1)试比较EO、EC的大小，并说明理由 (2)令m

S四边形CFGHS四边形CMNO

，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由

(3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝

12

，Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx2+bx+c经33

过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.

(4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。

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16、矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A(6，0)，

C(0， 3)，直线y

（1）求点D的坐标；

3

x与BC边相交于D点． 4

9

x经过点A，试确定此抛物线的表达式； 4

（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M， 点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形 2

（2）若抛物线y ax

与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．

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