2017-2018学年度上学期期末考试九年级数学试卷（含答案）

2017~2018学年度上学期期末考试九年级数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A．ax2?bx?c?0 B．

1?x?2 x2 C．x2?2x?x2?1 D．2?x2?0

2．若α、β为方程2x2?5x?1?0的两个实数根，则2?2?3???5?的值为（ ） A．﹣13

B．12

C．14

D．15

3．袋内装有标号分别为1、2、3、4的4个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为（ ） A．

1 4 B．

5 16 C．

71 D． 1624．由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积为（ ）

A．4π B．9π C．16π D．25π 5．已知函数y?(k?3)x2?2x?1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A．k≤4且k≠3

B．k＜4且k≠3

C．k＜4 D．k≤4

k6．如图，矩形OABC中，A（1，0），C（0，2），双曲线y?(0?k?2)的图象分别交AB，CB于

x点E，F，连接OE，OF，EF，S△OEF=2S△BEF，则k值为（ ）

24A． B．1 C． D．2 337．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=2 cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1 cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ） A．20 cm B．18 cm C．25cm D．32cm 8．如图，抛物线y?ax2?bx?c(a?0)的对称轴为直线x??2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①4a?b?0；②c?0；③?3a?c?0；④

951；⑤点4a?2b?at2?bt（t为实数）（?，y1)，（?，y2)，（?，y3)是该抛物线上的点，则y1

222＜y2＜y3，正确的个数有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

第6题图 第7题图 第8题图

9．如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P是直线y??x?3上的一个动点，点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是（ ） A．3

B．5 C．7 D．3

10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连

接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC，其中正确的是（ ） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④

第9题图 第10题图

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率

为x，根据题意可列方程是 ____． 12．若抛物线y?2x2?px?4p?1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为 ．

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，

使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，2），∠OCB=60°，∠COB=45°，

则OC= ． 15．如图．在等边△ABC中，AC=8，点D、E、F分别在三边AB、BC、AC上，且AF=2，FD⊥DE，

∠DFE=60°，则AD的长为 ．

第13题图 第14题图 第15题图

16．在平面直角坐标系中，点C沿着某条路径运动，以点C为旋转中心，将点A（0，4）逆时针旋转90°到点B（m，1），若﹣5≤m≤5，则点C运动的路径长为 ． 三、解答题（17-20题每题8分，21、22题每题9分，23题10分，24题12分） 17．解方程：

（1）5x（x+1）=2（x+1）； （2）x2﹣3x﹣1=0．

18．关于x的方程x2?(2k?1)x?k2?2k?3?0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围；

（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得x1?x2?5？若存在，

求出这样的k值；若不存在，说明理由．

19．阅读材料，回答问题：

材料：题1：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆车向左转的概率．

题2：有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁（一把钥匙只能开一把锁），第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？

我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题1：在口袋中放三个不同颜色的小球，红球表示直行，绿球表示向左转，黑球表示向右转，三辆汽车经过路口，相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球．

问题：（1）事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件？ （2）设计一个“袋中摸球”的试验模拟题2，请简要说明你的方案． （3）请直接写出题2的结果．

20．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直

线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离．

21．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连

接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C． （1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．

22．一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12．用这块废料剪出一个矩形CDEF，其中，

点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使剪出的矩形CDEF面积最大，点E应选在何处？

23．某公司产销一种产品，为保证质量，每个周期产销商品件数控制在100以内，产销成本C是商品

件数x的二次函数，调查数据如表： 20 30 产销商品件数（x/件） 10 120 180 260 产销成本（C/元） 1x（每个周期的产销利润=P?x﹣C） 10（1）直接写出产销成本C与商品件数x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） （2）该公司每个周期产销多少件商品时，利润达到220元？ （3）求该公司每个周期的产销利润的最大值．

24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛

物线y?x2?bx?c经过A，B两点．

商品的销售价格（单位：元）为P?35?（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于

点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；

（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？

若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2017~2018学年度上学期期末考试九年级数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题）

1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）

1?x?2 C．x2?2x?x2?1 D．2?x2?0 2x【分析】只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断．

【解答】解：A、当a=0时，边上一元二次方程，不符合题意； B、为分式方程，不符合题意；

C、不是关于x的一元二次方程，不符合题意； D、只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意； 故选D

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，为整式方程；特别注意二次项系数不为0．

A．ax2?bx?c?0 B．

2．若α、β为方程2x2?5x?1?0的两个实数根，则2?2?3???5?的值为（ ） A．﹣13 B．12

C．14

D．15

【分析】根据一元二次方程解的定义得到2?2?5??1?0，即2?2=5??1，则2?2?3???5?可

515???）?3???1，再根据根与系数的关系得到???=，??=?，然后利用整体代入的方表示为（22法计算．

【解答】解：∵α为2x2?5x?1?0的实数根， ∴2?2?5??1?0，即2?2=5??1，

（???）?3???1， ∴2?2?3???5?=5??1?3???5?=5∵α、β为方程2x2?5x?1?0的两个实数根，

51∴???=，??=?，

22512（?）?1=12． ∴2??3???5?=5??3?22故选B．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2?bx?c?（的两根时，0a?0）bcx1?x2=?，x1x2=．也考查了一元二次方程解的定义．

aa

3．袋内装有标号分别为1、2、3、4的4个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为（ ）

1571A． B． C． D．

416162【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出所成的两位数是3的倍数的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中所成的两位数是3的倍数的结果数为5，

5所以成的两位数是3的倍数的概率=．

16故选B．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．

4．由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积为（ ） A．4π B．9π C．16π D．25π

【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．

【解答】解：由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积是以5为半径的圆与以3为半径的圆组成的圆环的面积，

即π×52﹣π×32=16π， 故选：C．

【点评】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键．

5．已知函数y?(k?3)x2?2x?1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）

A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4

【分析】由于不知道函数是一次函数还是二次函数，需对k进行讨论．当k=3时，函数y=2x?1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；

当k≠3，函数y?(k?3)x2?2x?1是二次函数，当Δ≥0时，二次函数与x轴都有交点，解Δ≥0，求出k的范围．

【解答】解：当k=3时，函数y=2x?1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；

当k≠3，函数y?(k?3)x2?2x?1是二次函数，

当△=22﹣4（k﹣3）≥0，即k≤4时，函数的图象与x轴有交点． 综上k的取值范围是k≤4． 故选D．

【点评】本题考察了二次函数、一次函数的图象与x轴的交点、一次不等式的解法．解决本题的关键是对k的值分类讨论．

k6．如图，矩形OABC中，A（1，0），C（0，2），双曲线y?(0?k?2)的图象分别交AB，CB

x于点E，F，连接OE，OF，EF，S△OEF=2S△BEF，则k值为（ ）

24A． B．1 C． D．2 33

m，2），根据三角形面积公式得到S△BEF=（12m1﹣）（2﹣m），根据反比例函数k的几何意义得到S△OFC=S△OAE=m，由于S△OEF=S矩形ABCO﹣S△OCF

22﹣S△OEA﹣S△BEF，列方程即可得到结论．

【解答】解：∵四边形OABC是矩形，BA⊥OA，A（1，0），

m∴设E点坐标为（1，m），则F点坐标为（，2），

2【分析】设E点坐标为（1，m），则F点坐标为（则S△BEF=（1﹣

m）（2﹣m），S△OFC=S△OAE=m， 211m∴S△OEF=S矩形ABCO﹣S△OCF﹣S△OEA﹣S△BEF=2﹣m﹣m﹣（1﹣）（2﹣m），

222∵S△OEF=2S△BEF，

11mm∴2﹣m﹣m﹣（1﹣）（2﹣m）=2×（1﹣）（2﹣m），

2222322整理得（m?2）?m?2?0，解得m1=2（舍去），m2=，

43∴E点坐标为（1，

22），∴k=． 33故选A．

【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义和矩形的性质；会利用面积的和差计算不规则图形的面积．

7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=2 cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1 cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ）

A．20 cm

B．18 cm C．25cm D．32cm

【分析】根据已知条件得到CP=6﹣t，得到PQ?PC2?CQ2?(6?t)2?t2?2(t?3)2?18，于是得到结论．

【解答】解：∵AP=CQ=t， ∴CP=6﹣t，

∴PQ?PC2?CQ2?(6?t)2?t2?2(t?3)2?18， ∵0≤t≤2，

∴当t=2时，PQ的值最小， ∴线段PQ的最小值是25．

故选C．

【点评】本题考查了二次函数的最值，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．

8．如图，抛物线y?ax2?bx?c(a?0)的对称轴为直线x??2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①4a?b?0；②c?0；③?3a?c?0；④

951（?，y1)，（?，y2)，（?，y3)是该抛物线上的点，则y1＜y2；⑤点4a?2b?at2?bt（t为实数）

222＜y3，正确的个数有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【分析】根据抛物线的对称轴可判断①，由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②，由x??1时y＞0可判断③，由x??2时函数取得最大值可判断④，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x??2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．

b【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x????2，

2a∴4a?b?0，所以①正确；

∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，

∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间， ∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故②正确； ∵由②知，x??1时y＞0，且b?4a，

∴a?b?c?a?4a?c??3a?c?0，所以③正确； 由函数图象知当x??2时，函数取得最大值， ∴4a?2b?c?at2?bt?c， 即4a?2b?at2?bt（t为实数），故④错误； ∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x=﹣2， ∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大， ∴y1＜y3＜y2，故⑤错误； 故选：B．

【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y?ax2?bx?c(a?0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，

22

c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b﹣4ac=0时，

2

抛物线与x轴有1个交点；△=b﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

9．0）如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，，半径为1，点P是直线y??x?3上的一个动点，点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是（ ） A．3 B．5 C．7 D．3

【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y??x?3时，PQ最小，根据相似三角形的性质得到AP，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：如图，作AP⊥直线y??x?3，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，当AP⊥BC时，此时切线长PQ最小，

∵A的坐标为（﹣1，0），

设直线与x轴，y轴分别交于B，C， ∴B（0，3），C（3，0）， ∴OB=3，AC=4，

∴BC=32，

在△APC与△BOC中， ∵∠APC=∠BOC=90°，∠ACP=∠OCB， ∴△APC∽△OBC， APAC∴， ?OBBC∴AP=22，

∴PQ?AP2?AQ2?7，

故选C．

【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC，其中正确的是（ ）

A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④

【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论． 【解答】解：∵△BPC是等边三角形， ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 在正方形ABCD中，

∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DCF=30°， ∴BE=2AE；故①正确； ∵PC=CD，∠PCD=30°， ∴∠PDC=75°， ∴∠FDP=15°， ∵∠DBA=45°， ∴∠PBD=15°， ∴∠FDP=∠PBD，

∵∠DFP=∠BPC=60°，

∴△DFP∽△BPH；故②正确； ∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°， ∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°， ∴∠PFD≠∠PDB，

∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误； ∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC， ∴△DPH∽△CPD，

DPPH， ?PCDP∴DP2=PH?PC，故④正确； 故选C．

【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．

二．填空题（共6小题）

11．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 50（1﹣x）2=32 ．

【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．

【解答】解：由题意可得， 50（1﹣x）2=32，

故答案为：50（1﹣x）2=32．

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．

∴

12．若抛物线y?2x2?px?4p?1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为（4，33）． 【分析】把含p的项合并，只有当p的系数为0时，不管p取何值抛物线都通过定点，可求x、y的对应值，确定定点坐标．

【解答】解：y?2x2?px?4p?1可化为y?2x2?p(x?4)?1， 分析可得：当x=4时，y=33；且与p的取值无关； 故不管p取何值时都通过定点（4，33）．

【点评】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断．

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为4或

25 ． 4

【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再分△ADP∽△ABC与△ADP∽△ACB两种情况进行讨论即可．

【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴AB?82?62=10． ∵D是边AB的中点， ∴AD=5．

ADAP5AP，即?，解得AP=4； ?ABAC108ADAP5AP25当△ADP∽△ACB时，，即?，解得AP=． ?ACAB810425故答案为：4或．

4【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 14．如图，在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，2），∠OCB=60°，∠COB=45°，当△ADP∽△ABC时，则OC= 1?3．

【分析】连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO=∠OCB=60°，已知OA=2，即可求得OB的长；

过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC=OD+CD求出OC的长．

【解答】解：连接AB，则AB为⊙M的直径． Rt△ABO中，∠BAO=∠OCB=60°，

∴OB?3OA?3?2=6． 过B作BD⊥OC于D． Rt△OBD中，∠COB=45°， 2OB=3． 2Rt△BCD中，∠OCB=60°，

则OD?BD?3BD=1． 3∴OC=CD+OD=1?3．

则CD?故答案为：1?3．

【点评】此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力，能够正确的构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键．

15．如图．在等边△ABC中，AC=8，点D、E、F分别在三边AB、BC、AC上，且AF=2，FD⊥DE，∠DFE=60°，则AD的长为 3 ．

【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠2=∠3，再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠A=∠C，然后根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ADF和△CFE相似，根据相似三角形对

ADDF1，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DF?EF，?CFEF2然后代入数据进行计算即可得解．

【解答】解：∵∠DFE=60°， ∴∠1+∠2+60°=180°， ∴∠2=120°﹣∠1，

在等边△ABC中，∠A=∠C=60°， ∴∠A+∠1+∠3=180°， ∴∠3=180°﹣∠A﹣∠1=120°﹣∠1， ∴∠2=∠3， 又∵∠A=∠C， ∴△ADF∽△CFE， 应边成比例可得

ADDF， ?CFEF∵FD⊥DE，∠DFE=60°， ∴∠DEF=90°﹣60°=30°， ∴

1EF， 2又∵AF=2，AC=8， ∴CF=8﹣2=6， ∴DF?AD1?， 62解得AD=3． 故答案为：3．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，根据平角等于180°和三角形的内角和定理求出∠2=∠3是解题的关键，也是本题的难点．

16．在平面直角坐标系中，点C沿着某条路径运动，以点C为旋转中心，将点A（0，4）逆时

∴

针旋转90°到点B（m，1），若﹣5≤m≤5，则点C运动的路径长为52．

【分析】在平面直角坐标系中，在y轴上取点P（0，1），过P作直线l∥x轴，作CM⊥OA于M，作CN⊥l于N，构造Rt△BCN≌Rt△ACM，得出CN=CM，若连接CP，则点C在∠BPO的平分线上，进而得出动点C在直线CP上运动；再分两种情况讨论C的路径端点坐标：①当m=﹣5时，②当m=5时，分别求得C（﹣1，0）和C1（4，5），而C的运动路径长就是CC1的长，最后由勾股定理可得CC1的长度．

【解答】解：如图1所示，在y轴上取点P（0，1），过P作直线l∥x轴， ∵B（m，1）， ∴B在直线l上，

∵C为旋转中心，旋转角为90°， ∴BC=AC，∠ACB=90°， ∵∠APB=90°，∴∠1=∠2，

作CM⊥OA于M，作CN⊥l于N，则Rt△BCN≌Rt△ACM，

∴CN=CM，

若连接CP，则点C在∠BPO的平分线上， ∴动点C在直线CP上运动；

如图2所示，∵B（m，1）且﹣5≤m≤5， ∴分两种情况讨论C的路径端点坐标， ①当m=﹣5时，B（﹣5，1），PB=5， 作CM⊥y轴于M，作CN⊥l于N， 同理可得△BCN≌△ACM， ∴CM=CN，BN=AM， 可设PN=PM=CN=CM=a， ∵P（0，1），A（0，4）， ∴AP=3，AM=BN=3+a， ∴PB=a+3+a=5，∴a=1， ∴C（﹣1，0）；

②当m=5时，B（5，1），如图2中的B1，此时的动点C是图2中的C1， 同理可得C1（4，5），

∴C的运动路径长就是CC1的长，

由勾股定理可得，CC1?[4?(?1)]2?52?50?52．

【点评】本题主要考查了旋转图形的坐标、全等三角形的判定与性质以及轨迹的运用，解题时注意：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质，求出旋转后的点的坐标．

三、解答题（共8小题） 17．解方程：

（1）5x（x+1）=2（x+1）；（2）x2﹣3x﹣1=0． 【分析】（1）先移项得到5x（x+1）﹣2（x+1）=0，然后利用因式分解法解方程； （2）利用求根公式法解方程． 【解答】解：（1）5x（x+1）﹣2（x+1）=0， （x+1）（5x﹣2）=0 x+1=0或5x﹣2=0，

2所以x1=﹣1，x2=；

5（2）△=（﹣3）2﹣4×（﹣1）=13，

x?3?13， 2?13?133?13，x2?． 22所以x1?【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．

18．关于x的方程x2?(2k?1)x?k2?2k?3?0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围；

（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得x1?x2?5？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列出关于k的不等式求解可得；

（2）由韦达定理知x1?x2?2k?1，x1x2?k2?2k?3?(k?1)2?2?0，将原式两边平方后把x1?x2，x1x2代入得到关于k的方程，求解可得．

【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴?=[?(2k?1)]2?4(k2?2k?3)?4k?11?0，

11解得：k?；

4（2）存在，

x1?x2?2k?1，x1x2?k2?2k?3?(k?1)2?2?0

∴将x1?x2?5两边平方可得x12?2x1x2?x22?5，即(x1?x2)2?4x1x2?5， 代入得：(2k?1)2?4(k2?2k?3)?5，

4k﹣11=5， 解得：k=4．

【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．

19．阅读材料，回答问题：

材料：题1：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少要两辆车向左转的概率．

题2：有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁（一把钥匙只能开一把锁），第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？

我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题1：在口袋中放三个不同颜色的小球，红球表示直行，绿球表示向左转，黑球表示向右转，三辆汽车经过路口，相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球．

问题：（1）事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件？ （2）设计一个“袋中摸球”的试验模拟题2，请简要说明你的方案． （3）请直接写出题2的结果．

【分析】题1：因为此题需要三步完成，所以画出树状图求解即可，注意要做到不重不漏； 题2：根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率；

问题：

（1）绿球代表左转，所以为：至少摸出两个绿球； （2）写出方案；

（3）直接写结果即可．

【解答】解：题1：画树状图得：

∴一共有27种等可能的情况；

至少有两辆车向左转的有7种：直左左，右左左，左直左，左右左，左左直，左左右，左左左， 则至少有两辆车向左转的概率为：题2：列表得： 锁1 锁2 钥匙1 （锁1，钥匙1） （锁2，钥匙1） 钥匙2 （锁1，钥匙2） （锁2，钥匙2） 钥匙3 （锁1，钥匙3） （锁2，钥匙3） 所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，则

7． 2721?． 63问题：

（1）至少摸出两个绿球；

（2）一口袋中放红色和黑色的小球各一个，分别表示不同的锁；另一口袋中放红色、黑色和绿色的小球各一个，分别表示不同的钥匙；其中同颜色的球表示一套锁和钥匙．“随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率”，相当于“从两个口袋中各随机摸出一个球，两球颜色一样的概率”； P?1（3）．

3【点评】此题考查了树状图法或列表法求概率以及利用类比法解决问题，解题的关键是根据题意画出树状图或表格，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解．

20．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离．

【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△ANM，再利用相似三角形的性质解答即可．

【解答】解：在△ABC与△AMN中，

AC305AM10005ACAM，又∵∠A=∠A， ??，??，∴?AB549AN18009ABAN∴△ABC∽△ANM，

BCAC4530，即， ??MNAMMN1000解得：MN=1500米，

答：M、N两点之间的直线距离是1500米；

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键．

21．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．

∴

【分析】（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE=DE，OE⊥BD，

=

12，由圆周角定

理得出∠BOE=∠A，证出∠OBE+∠DBC=90°，得出∠OBC=90°即可；

（2）由勾股定理求出OC，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长． 【解答】（1）证明：连接OB，如图所示： ∵E是弦BD的中点，

1∴BE=DE，OE⊥BD，=，

2∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°， ∵∠DBC=∠A， ∴∠BOE=∠DBC， ∴∠OBE+∠DBC=90°， ∴∠OBC=90°， 即BC⊥OB，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，

∴OC?OB2?BC2?10，

11OC?BE=OB?BC， 22OBBC6?8∴BE???4.8，

OC10∴BD=2BE=9.6，即弦BD的长为9.6．

【点评】本题考查了切线的判定、垂径定理的推论、圆周角定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握垂径定理的推论和圆周角定理是解决问题的关键．

∵△OBC的面积=

22．一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12．用这块废料剪出一个矩形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使剪出的矩形CDEF面积最大，点E应选在何处？

【分析】首先在Rt△ABC中利用∠A=30°、AB=12，求得BC=6、AC的长，然后根据四边形CDEF是矩形得到EF∥AC从而得到△BEF∽△BAC，设AE=x，则BE=12﹣x．利用相似三角形成比例表示出EF、DE，然后表示出有关x的二次函数，然后求二次函数的最值即可．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=12，

∴BC=6，AC=AB?cos30°=12?∵四边形CDEF是矩形， ∴EF∥AC．

∴△BEF∽△BAC．

3?63． 2EFBE． ?ACBA设AE=x，则BE=12﹣x． ∴

63(12?x)3=(12?x)．

12211在Rt△ADE中，DE?AE?x．

22∴EF?1332矩形CDEF的面积S=DE?EF=x(12?x)=?x?33x(0?x?12)．

224?6时，S有最大值．

32?(?)4∴点E应选在AB的中点处．

【点评】本题考查了相似三角形的应用及二次函数的应用，解题的关键是从几何问题中整理出二次函数模型，并利用二次函数的知识求最值．

23．某公司产销一种产品，为保证质量，每个周期产销商品件数控制在100以内，产销成本C是商品件数x的二次函数，调查数据如表： 20 30 产销商品件数（x/件） 10 120 180 260 产销成本（C/元） 当x??b??2a331x（每个周期的产销利润=P?x﹣C） 10（1）直接写出产销成本C与商品件数x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） （2）该公司每个周期产销多少件商品时，利润达到220元？ （3）求该公司每个周期的产销利润的最大值． 商品的销售价格（单位：元）为P?35?【分析】（1）根据题意设出C与x的函数关系式，然后根据表格中的数据即可解答本题； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题；

（3）根据题意可以得到利润与销售价格的关系式，然后化为顶点式即可解答本题． 【解答】解：（1）设C?ax2?bx?c，则

?a?102?b?10?c=120?a=0.1??2?a?20?b?20?c=180，解得，?b=3，

?c=80?2a?30?b?30?c=260?? 即产销成本C与商品件数x的函数关系式是：C?（2）依题意，得(35?12x?3x?80； 1011x)x?(x2?3x?80)?220； 1010

解得，x1=10，x2=150，

∵每个周期产销商品件数控制在100以内， ∴x=10．

即该公司每个周期产销10件商品时，利润达到220元；

（3）设每个周期的产销利润为y元，

1111x)x?(x2?3x?80)??x2?32x?80??(x?80)2?1200， 101055∴当x=80时，函数有最大值，此时y=1200，

即当每个周期产销80件商品时，产销利润最大，最大值为1200 元．

【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y?x2?bx?c经过A，B两点．

∵y?(35?

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；

（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据AC=BC，求出BC的长，进而得到点A，B的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，用含m的式表示出E，F的坐标，求出EF的长度最大时m的值，即可求得E，F的坐标；

（3）分两种情况：∠E=90°和∠F=90°，分别得到点P的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点P的值．

【解答】解：（1）∵OA=1，OC=4，AC=BC， ∴BC=5，

∴A（﹣1，0），B（4，5），

抛物线y?x2?bx?c经过A，B两点， ?1?b?c=0?b??2∴?，解得：?，

16?4b?c=5c??3??∴y?x2?2x?3；

（2）设直线AB解析式为：y?kx?b，

∵直线经过点A，B两点， ??k?b=0?k=1∴?，解得：?，

4k?b=5b=1??∴直线AB的解析式为：y?x?1，

设点E的坐标为（m，m+1），则点F（m，m2﹣2m﹣3），

325∴EF=m?1?m2?2m?3??m2?3m?4??(m?)2?，

24∴当EF最大时，m=∴点E（

3， 235315，），F（，?）； 2224（3）存在．

①当∠FEP=90°时，点P的纵坐标为即x2﹣2x﹣3=∴点P1（5， 22?262?265，解得：x1?，x2?，

2222?262?2655，），P2（，）， 222215②当∠EFP=90°时，点P的纵坐标为?，

4即x2﹣2x﹣3=?∴点P3（

1513，解得：x1?，x2?（舍去）， 422115，?）， 242?262?2655115，），P2（，），P3（，?）． 222224【点评】本题主要考查二次函数的综合题，其中第（3）小题要注意分类讨论，分∠E=90°和∠F=90°两种情况．

综上所述，P1（

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