初一数学竞赛系列讲座(16)逻辑原理

初一数学竞赛系列讲座(16)

逻辑原理

一、知识要点

逻辑原理问题，并不需要多少特别专门的知识，关键在于审题，要认真仔细地分析题意，弄清楚各个量之间的关系，深刻理解每句话的含义． 二、例题精讲

例1 小明、小强、小华三人参加迎春杯赛，他们是来自金城、沙市、水乡的选手，并分别获得一、二、三等奖．现在知道： (1) (2) (3) (4) (5)

小明不是金城的选手； 小强不是沙市的选手； 金城的选手不是一等奖； 沙市的选手得二等奖； 小强不是三等奖．

根据上述情况，小华是 的选手，他得的是 等奖．(第三届迎春杯决赛试题) 分析：显然选手所在城市与选手获奖情况有联系，我们就从这里找突破口，搞清了各个城市的选手分别获得哪等奖，问题就解决了．

解：由(4)知：金城的选手获一等奖或三等奖，又由(3)得金城的选手获三等奖，从而水乡的选手获一等奖．

由(2)知：小强是金城或水乡的选手，又由(5)得小强是水乡的选手， 由(1)得小明是沙市的选手，从而小华是金城的选手，他获三等奖．

例2 教室里的椅子坏了，第二天上学时，老师发现椅子修好了．经了解，椅子是A、B、C三人中的一个人修好的，老师找来这三人． A说：“是B做的．” B说：“不是我做的．” C说：“不是我做的．”

经调查，三人中只有一个说了实话，椅子是谁修的呢？

分析：因为三人中只有一个说了实话，所以可以假设椅子是某人修好的，看结论是否符合“三人中只有一个说了实话”这一条件．

解：(1) 假设椅子是A修好的，那么A说的是假话，B、C说的都是实话．这样有两人说了

实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾，所以椅子不是A修好的．

(2) 假设椅子是B修好的，那么B说的是假话，A、C说的都是实话．这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾，所以椅子不是A修好的．

(3) 假设椅子是C修好的，那么A、C说的是假话，B说的是实话，符合“三人中只有一个说了实话”这一条件，所以椅子是C修好的．

评注：本题运用先假设，再根据假设推出一个结论；如果结论与已知条件相矛盾，说明假设不成立；如果结论符合已知条件，说明假设正确．这种假设的方法是逻辑推理中经常使用． 例3 赵、钱、孙、李四人，一个是教师，一个是售货员，一个是工人，一个是个体户，根据以下条件，判断这四人的职业． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

赵、钱是邻居，每天一起骑车上班； 赵年龄比孙大； 赵在教李打太极拳； 教师每天步行上班； 售货员的邻居不是个体户； 个体户和工人互不认识； 个体户比售货员和工人年龄都大．

解：由(4)和(1)可知，赵、钱不是教师．由(2)和(7)知，孙不是个体户．因为假设孙是个体户，则由(2)和(7)知，赵不是售货员，不是工人；由(4)和(1)可知，赵也不是教师；这样赵也是个体户，与假设矛盾．于是我们可得出下表：

赵 钱 孙 李 售货员 工人 教师 个体户

假设赵是工人，个体户是钱或李，由(6)可知，赵与钱或李应互不认识，这与(1)、(3)相矛盾，这样可知赵不是工人．

又假设赵是个体户，由(1)、(3)、(6)可知，孙是工人，钱是售货员，但又与(5)矛盾，所以赵是售货员．这样又可得出下表：

? ? ? 赵 钱 孙 李 售货员 √ 工人 教师 个体户

? ? ? ? ? ? ? 根据(1)、(5)继续分析，把上面的表格填满，可得：钱不是个体户，则钱是工人；则孙不是工人，孙是教师，最后得李是个体户．如下表： 赵 钱 孙 李 售货员 √ 工人 教师 个体户

最后得：赵是售货员，钱是工人，孙是教师，李是个体户．

评注：分析逻辑推理问题，借助表格，能使已知条件和推出的有用结论一目了然．在填表时通常把正确的结论打“√”，错误的打“?”．这样可以确保推理的速度和正确性，而且不易被错误信息干扰．

例4今有棋子100颗，甲、乙两人做取棋子的游戏，甲先取，乙后取，两人轮流各取一次，规定每次取p颗，p为1或20以内的任一质数，不能不取．谁最后取完谁为胜者．问甲、乙两人谁有必胜的策略． 解：乙有必胜的策略．

由于p为1或20以内的任一质数，所以p或者是2，或者可以表示为4 k +1或 4 k +3(k为0或正整数)形式，乙可以采取如下的策略： 若甲取2颗，则乙也取2颗； 若甲取4 k +1颗，则乙取3颗； 若甲取4 k +3颗，则乙取1颗；

这样，每次甲、乙两人取走的棋子之和都是4的倍数．由于100是4的倍数，因此余下的棋子数必定还是4的倍数．从而经过若干回合后，剩下的棋子数必定为不超过20的4的倍数．因为p不是4的倍数，所以这时甲不能取走全部的棋子，从而最终乙可以取走全部的棋子．

? √ ? ? √ ? ? ? √ ? ? ? ? ? ? 评注：本题中，甲虽然先取，但他没有必胜的策略．而乙虽然后取，但他能根据甲的取法，应对有序，后发制人，最终取胜．由此看出，谁能取得最后胜利，一要看他所面临的情形，二要看他采用的策略，两者缺一不可．

例5 有三堆小石子．每次操作从每堆中取走同样数目的小石子(不同次操作，取走的小石子数目可以不同)，或将其中任一堆(如果其小石子数是偶数)的一半小石子移到另一堆上．开始时，第一堆有小石子1989块，第二堆有小石子989块，第三堆有小石子89块．能否使 (1) 某两堆小石子一个不剩？ (2) 三堆小石子都一个不剩？(第十五届全俄数学奥林匹克试题)

分析：(1)很容易发现三堆小石子刚开始时的小石子数的末两位数字相同，因而首先三堆各取89块，这样剩下的石子数是：1900、900、0，接下来将第二堆移450块到第三堆，石子数变为：1900、450、450，再接下来三堆各取走450块就可以了．

(2) 发现最初三堆的石子数的和是：1989+989+89=3067，它不被3整除．而题目中的两种操作方法不改变这个特征，因而可得出结论．

解：(1) 可以使某两堆小石子一个不剩．只要按如下步骤取即可．

(1989，989，89) ? (1900，900，0) ? (1900，450，450) ? (1450，0，0) (2) 最初三堆石子的总数是1989+989+89=3067，它不能被3整除．

而进行任何一次操作后所得的三堆石子的总数被3除所得的余数不变，所以不管进行几次操作，三堆石子的总数被3除所得的余数都不为0，即不可能将三堆石子都取光． 评注：本题第二步中，抓住了三堆石子的总数被3除所得的余数不变这个特征，从而使问题得到顺利解决．因而解题时应认真分析，抓住关键．

例6 人的血型通常为A型、B型、O型、AB型．子女的血型与其父母血型间的关系如下表所示：

父母的血型 子女可能的血型 O、O O、A

O、B O、AB A、A

O

A、O

B、O A、B A、O

A、B A、B、AB、O A、AB

A、B、AB

B、B B、AB

B、O A、B、AB

AB、AB A、B、AB

现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为O、A、B．每个孩子的父母都戴着同样颜色的帽子，颜色也分别为红、黄、蓝三种，依次表示所具有的血型为AB、A、O．问穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子？(第五届华杯赛复赛试题) 分析：因为父母都戴着同样颜色的帽子，所以父母的血型都相同，这样血型表只需保留一、五、八、十这4行．又由于三种颜色的帽子分别表示AB、A、O三种血型，所以第八行也可划去．这样血型表就比原来简单多了，再讨论这个简表就不难得出血型间的关系，从而再得出题目结论．

解：因为父母都戴着同样颜色的帽子，所以父母的血型都相同，根据血型表，只有O、O，A、A，B、B，AB、AB符合条件．

又因为父母都戴着红、黄、蓝三种颜色的帽子，而三种颜色依次表示所具有的血型为AB、A、O，所以符合条件的只有O、O，A、A，AB、AB．因而，可以得出下面的简表： 父母的血型 子女可能的血型 O、O

A、A AB、AB

O A、O A、B、AB

从上面的简表可以看出父母的血型为O的，孩子血型一定为O，即穿红上衣的孩子，父母戴蓝帽子．

划去简表的第一行及子女血型中的O，又三个孩子中没有AB血型，所以子女血型中的AB也可划去，这样只剩第二行．

由第二行，父母的血型为A的，子女的血型一定为A，即穿黄上衣的孩子，父母戴黄帽子． 最后，穿蓝上衣的孩子，父母戴红帽子．

评注：1、本题先将问题简化，再从最简单的情况入手，把结果能确定下来的先确定下来，然后再继续讨论，结果不能确定下来的，就分情况讨论，这种方法叫枚举法．枚举法在逻辑推理中常用．

2、上面的解法是从父母的血型出发分析，从而确定孩子的血型，本题也可从孩子的血型出发分析来确定父母的血型．

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