重庆大学2012秋矩阵论考题及答案

重庆大学研究生矩阵论考题

名姓 密 号学 ） （ 别类 封 ）域领（业专 线 院学校训：耐劳苦、尚俭朴、勤学业、爱国家 重庆大学研究生试卷（2011版） 第 1 页 共 4 页

重庆大学研究生《矩阵论》课程试卷

二、（10分）在R2 2中，（1）求基(I)

2012 ~2013 学年 第 一 学期（秋）

A 开课学院： 数学与统计 课程编号： 考试日期：

21 01 21 13

01 ,A

1 2 22 ,A3 12 ,A4 12

考试方式： 考试时间： 120 分钟

到基(II) B 12 1 1 11 10 ,B2 11 ,B3 2 11 ,B4 1 1

01

的过渡矩阵；（2）求A B1 2B2 3B3 4B4在基(I)下的坐标。

解：不难看出，由简单基E11，E12，E21，E22到基（I）和基（II）的过渡矩阵分别为

一、判断题。(每题3分，共30分)

(1)位于第一象限，以原点为起点的向量构成的集合，按通常向量加法和数乘

2

0 21 113 1

1 1 1 法，在实数域上构成线性空间。 C

12 12 1 1 211 C2

1110

(2)任意线性空间的元素都是无穷多个。

0 1222 ， 0111

（4分）

(3)若u 则有（B x1 1，B 2，B 3，B 4）=（E11，E12，E21，E22 x ,v y1 ,则(u,v) xy2

）C2 11 x1y2 x2y1 3x2y2是R中的内积。(√ )

2 y2 =（A1，A 2，A 3，A 4）C 11 C 2 （2分） (4)上三角的正交阵必为对角阵。 (√ ) 故由基（I）到基（II）的过渡矩阵为

(5)在线性空间V中定义 1，则 是线性变换。 （×）

0

1 11 (6)矩阵A的特征多项式必定是A的零化多项式。 (√ ) C C 11100 1C2 0001 (7) 矩阵A谱半径 (A) max{ 1, 2, , n}，其中 1, 2, , n为A的全体特征

1 11 1 . （2分） 值。

A B1 2B2 3B3 4B4 (B1,B2,BT

3,B4)(1,2,3,4) (AA的任意一种范数。 (√ )

1,A2,A3,A(8) 矩阵A谱半径 (A)小于等于矩阵4)C(1,2,3,4)T

所求坐标为(3,1,4, 2)T. （2分）

(9)对任意矩阵A都有r(A ) r(A)。 (√ ) 三、（10分）写出，并用其证明：对任意的实数a1,a2, ,an有

(10)任意的方阵都可以写成一个对称阵和一个反对称阵的和。 (√ )

命

题（组题）人：

审

题人：

命

题时间：

研究生院制

重庆大学研究生矩阵论考题

i 1

n

ai 11

五、（10分）已知B ，在线性空间V A (aij)2 2a11 a22 0,aij R 01

中定义变换 2

解：柯西-斯瓦兹不等式: ( , ) ( , )( , ),当且仅当 与 线性相关时等式成立.

（5分，不等式4分，等式成立条件1分）

T

取 (a1,a2, ,an)， (1,1, ,1) （3分）

T

(A) BTA ATB，其中A V。

（1） 证明变换 是线性变换。

2T2

又( , ) ( ) a1 a2 an

2

（2） 求V的一组基，使线性变换 在该基下的矩阵为对角阵。

22

( , ) T a12 a2 an

证明：（1）对任意的 , V及k,l R，有

( , ) T n

n

k l BT k l k l B

k BT TB l BT TB

T

故

a

i 1

i

（2分）

=k ( )+l (β)

122

四、(10分)已知A 212 ，求Am1,AF,Am ,A1,A , (A)。

221

故 是线性变换.（4分）

（2）取V的简单基

10

A1 ,

0 1

01

A2 ,

00

00 A3

10

解：（1

）A扣2分）

又因为

15,Am1

F

A

m

6,A1 5,A 5；（8分，错一个

由于 A1 0 1 ,

10

01 , (A) 0 1 , (A2) 3

10 10

I A ( 5)( 1)2, 1 5, 2 3 1

故

.

所以 在基A1,A2,A3下的矩阵为

00 0

R 11 1

1 11 （2分）

(A) lim i 5

i

. （2分）

重庆大学研究生矩阵论考题

R的特征值为 1 2 0, 3 2，对应的线性无关的特征向量为（1，1，0）T（0，1，1）T，（0，1，-1）T，令

100 0 1

CRC . （2分） C 111，，则有 0

12 01

et

故x(t) eAtx(0) et . （2分）

3et

1111 1

七、（10分）假定A 1234 ,b 2

0123 1 11 由（B1，B2，B3）=（A1，A2，A3）C求得V的另一组基为B1 A1 A2 0 1

(1) 求矩阵A的满秩分解；

B2 A2 A3 01 ，B3 A2 A3 01 ， 在该基下的矩阵为 . （2分）

10 10 (2) 求A ；

dx1(t)

dt 2x1 2x2 x3

1

dx(t) 下的解. 1六、(10分)求微分方程组 2 x1 x2 x3，在x 0 dt 3 dx3(t)

dt x1 2x2 2x3

(3) 判断方程组Ax b是否相容？若相容，求其最小范数解；若不相容，求其极小最小二乘解。

1111 10 1 2

解：（1）A 1234 ~ 0123 ，（1分）

0123 0000

11

10 1 2 BCA 12 0123 01 . （2分）

2 2 1110

解：A E 1 1 1 (1 ) 1 1 1 ( 1)3 . （3

1 22 1 22 A是特征值为 1（3重）. （1分）

又因为A E 0, A E 0，所以A的最小多项式为( 1)2.（1分） 设eAt aE bA

et tet2tet tet

e a b a e te

。故eAt tetet 2tettet . （3分） tet b b tet

tet 2tetet tet

t

t

t2

17

91 （2）A

30 1 74 13

3 6

（4分）

21

18

（3）∵ rankA 2；rank(A:b) 2；∴ AX b相容. （2分）

4 3 1 X Ab . （1分） 10 2 1

最小范数解

重庆大学研究生矩阵论考题

0.10.1 2

0 ， 八、（10分）令A 0.050.9

0.110.021

试用圆盘定理估计矩阵A的特征值分布范围，适当选择一组正数对A的特征

值作更精确的估计（要求A的三个圆盘互不相交）。 解：（1） 由矩阵盖尔圆的定义，易求A得三个盖尔圆分别为：

G1: |z 2| 0.2; G2: |z 0.9| 0.05; G3: |z 1| 0.12。（5分）

（3） 图略

0.11 2

0.90 。（4） 选D=diag（1,1,10），B D 1AD 0.05（3分）

0.0110.0021

G1: |z 2| 1.1; G2: |z 0.9| 0.05; G3: |z 1| 0.013（2分）

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