高考数学专题复习:平行、垂直、线面垂直、线面角、二面角知识点及方法总结

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高考数学专题突破——空间几何

课题1:平行、垂直的证法定理

一、平行问题的证明方法 平行问题证明的基本思路:平面平行?线面平行?线线平行. 1、线线平行的证明方法: ①利用平面几何中的定理:三角形(或梯形)的中位线与底边平行; 平行四边形的对边平行; 利用比例、……; ②三线平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行; ③线面平行的性质定理:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面和这个平面相交,则这条直线和交线平行; ④面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行; ⑤线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、线面平行的证明方法: ①线面平行的定义:直线与平面没有公共点; ②线面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行; ③面面平行的性质定理:两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。 3、面面平行的证明方法: ①面面平行的定义:两平面没有公共点; ②面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 ③平行于同一平面的两个平面平行 ④垂直于同一直线的两个平面平行 二、垂直问题的证明方法 垂直问题证明的基本思路:面面垂直?线面垂直?线线垂直. 1.线线垂直的证明方法: ①利用平面几何中的定理:勾股定理、等腰三角形,三线合一、菱形对角线、直径所对的圆周角是直角、点在线上的射影。 ②线面垂直的定义:如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直; ③三垂线定理或三垂线逆定理:如果平面内的一条直线和斜线的射影垂直,则它和斜线垂直;反之亦成立。 ④如果两条平行线中的一条垂直于一条直线,则另一条也 垂直于这条直线。 2.线面垂直的证明方法: ①线面垂直的定义:直线与平面内任意直线都垂直; ②线面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面;

1

③线面垂直的性质定理:两条平行直线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直于这个平面; ④面面平行的性质定理:一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,则必垂直于另一个平面; ⑤面面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3.面面垂直的证明方法: ①面面垂直的定义:两个平面的二面角是直二面角; ②面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个 平面互相垂直;

课题2:平行与垂直常用方法归纳

一、“平行关系”常见证明方法

(一)直线与直线平行的证明

1、利用某些平面图形的特性:如平行四边形的对边互相平行 2、利用三角形中位线性质

3、利用空间平行线的传递性(即公理4):

平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4、利用直线与平面平行的性质定理:

a∥c?a∥bb∥c如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。

a∥?a??β a

b

?a∥bα

????b5、利用平面与平面平行的性质定理:

如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.

?//???????a??a//b????b??

6、利用直线与平面垂直的性质定理:

垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a???a∥bb??2

a

b?

7、利用平面内直线与直线垂直的性质:

在同一个平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8、利用定义:在同一个平面内且两条直线没有公共点

(二)直线与平面平行的证明

1、利用直线与平面平行的判定定理:

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

a??b??a∥ba?a∥??b

2、利用平面与平面平行的性质推论:

两个平面互相平行,则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

a???∥??a∥?α

3、利用定义:直线在平面外,且直线与平面没有公共点

(三)平面与平面平行的证明

常见证明方法:

1、利用平面与平面平行的判定定理:

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

a??b??a∩b?Pa//?b//?3、利用定义:两个平面没有公共点

??//???baP

2、利用某些空间几何体的特性:如正方体的上下底面互相平行等

3

二、“垂直关系”常见证明方法

(一)直线与直线垂直的证明

1、利用某些平面图形的特性:如直角三角形的两条直角边互相垂直等。 2、看夹角:两条共(异)面直线的夹角为90°,则两直线互相垂直。 3、利用直线与平面垂直的性质:

如果一条直线与一个平面垂直,则这条直线垂直于此平面内的所有直线。

a??

b??垂直。

?b?aα b

a

4、利用平面与平面垂直的性质推论:

如果两个平面互相垂直,在这两个平面内分别作垂直于交线的直线,则这两条直线互相

???????la??b??a?lb?l5、利用常用结论:

β ?a?bb l α a

① 如果两条直线互相平行,且其中一条直线垂直于第三条直线,则另一条直线也垂直于第三条直线。

c a∥ba?c相垂直。 a???b?ca

b ② 如果有一条直线垂直于一个平面,另一条直线平行于此平面,那么这两条直线互

b

a ?a?bα

b∥?(二)直线与平面垂直的证明

1、利用某些空间几何体的特性:如长方体侧棱垂直于底面等

2、看直线与平面所成的角:如果直线与平面所成的角是直角,则这条直线垂直于此平面。 3、利用直线与平面垂直的判定定理:

4

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线垂直于此平面。

a??b??a?b?Al?al?b?????l?????lb?Aa

4、利用平面与平面垂直的性质定理:

两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

???????la??a?l?????al?

5、利用常用结论:

① 一条直线平行于一个平面的一条垂线,则该直线也垂直于此平面。

baa∥b?a???b??

② 两个平面平行,一直线垂直于其中一个平面,则该直线也垂直于另一个平面。

?∥?a????a??a?(三)平面与平面垂直的证明

1、利用某些空间几何体的特性:如长方体侧面垂直于底面等

2、看二面角:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角(即平面角是直角的二面角),就说这连个平面互相垂直。 3、利用平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 ?aa??a??

?????

5

课题3:平行常用方法讲解

一、平行四边形法

【2016新课标Ⅲ理】如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明:MN∥平面PAB;

【解析】(1)证明:法一、如图,取PB中点G,连接AG,NG, ∵N为PC的中点, ∴NG∥BC,且NG=又AM=

,BC=4,且AD∥BC,

∴AM∥BC,且AM=BC,

则NG∥AM,且NG=AM,

∴四边形AMNG为平行四边形,则NM∥AG, ∵AG?平面PAB,NM?平面PAB, ∴MN∥平面PAB; 法二、

在△PAC中,过N作NE⊥AC,垂足为E,连接ME, 在△ABC中,由已知AB=AC=3,BC=4,得cos∠ACB=∵AD∥BC, ∴cos

,则sin∠EAM=

在△EAM中, ∵AM=

,AE=

=

由余弦定理得:EM=

∴cos∠AEM=,

而在△ABC中,cos∠BAC=,

6

∴cos∠AEM=cos∠BAC,即∠AEM=∠BAC, ∴AB∥EM,则EM∥平面PAB.

由PA⊥底面ABCD,得PA⊥AC,又NE⊥AC, ∴NE∥PA,则NE∥平面PAB. ∵NE∩EM=E,

∴平面NEM∥平面PAB,则MN∥平面PAB; 【2016天津(理)】如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.(1)求证:EG∥平面ADF;

【解析】(1)证明:取AD的中点I,连接FI, ∵矩形OBEF,∴EF∥OB,EF=OB, ∵G,I是中点,∴GI∥BD,GI=BD.

∵O是正方形ABCD的中心, ∴OB=BD. ∴EF∥GI,EF=GI, ∴四边形EFIG是平行四边形,∴EG∥FI, ∵EG?平面ADF,FI?平面ADF,∴EG∥平面ADF;

【2016四川(理)】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.(Ⅰ)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;

【解析】解:(I)延长AB交直线CD于点M,∵点E为AD的中点,∴AE=ED=AD, ∵BC=CD=AD,∴ED=BC,

∵AD∥BC,即ED∥BC.∴四边形BCDE为平行四边形,即EB∥CD. ∵AB∩CD=M,∴M∈CD,∴CM∥BE, ∵BE?平面PBE,∴CM∥平面PBE, ∵M∈AB,AB?平面PAB,

∴M∈平面PAB,故在平面PAB内可以找到一点M(M=AB∩CD),使得直线CM∥平面PBE.

7

【2015福建理】如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.(1)求证:GF∥平面ADE;

解法一:(1)如图,取AE的中点H,连接HG,HD, ∵G是BE的中点,∴GH∥AB,且GH=AB, 又∵F是CD中点,四边形ABCD是矩形,

∴DF∥AB,且DF=AB,即GH∥DF,且GH=DF, ∴四边形HGFD是平行四边形,∴GF∥DH,

又∵DH?平面ADE,GF?平面ADE,∴GF∥平面ADE.

二、利用三角形中位线的性质

【2016江苏(理)】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;

【解析】解:(1)∵D,E分别为AB,BC的中点,∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥AC,

∵ABC﹣A1B1C1为棱柱,∴AC∥A1C1,∴DE∥A1C1,

∵A1C1?平面A1C1F,且DE?平面A1C1F, ∴DE∥A1C1F; 【2016天津(理)】如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.(1)求证:EG∥平面ADF;

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【解析】(1)证明:取AD的中点I,连接FI, ∵矩形OBEF,∴EF∥OB,EF=OB, ∵G,I是中点, ∴GI∥BD,GI=BD.

∵O是正方形ABCD的中心,∴OB=BD.∴EF∥GI,EF=GI, ∴四边形EFIG是平行四边形,∴EG∥FI, ∵EG?平面ADF,FI?平面ADF, ∴EG∥平面ADF; 【2015江苏理】——超易

如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.求证:(1)DE∥平面AA1C1C;

【解析】根据题意,得;E为B1C的中点,D为AB1的中点,所以DE∥AC; 又因为DE?平面AA1C1C,AC?平面AA1C1C, 所以DE∥平面AA1C1C;

【2014课标全国Ⅱ 理】如图,四棱柱P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;

【解析】(Ⅰ)证明:连接BD交AC于O点,连接EO, ∵O为BD中点,E为PD中点, ∴EO∥PB,(2分)

EO?平面AEC,PB?平面AEC,所以PB∥平面AEC;(6分)

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【2013课标全国Ⅱ,理18】(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=

2AB.(1)证明:BC1∥平面A1CD; 2【解析】(1)连结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点. 又D是AB中点,连结DF,则BC1∥DF. 因为DF?平面A1CD,BC1平面A1CD, 所以BC1∥平面A1CD

.

(4)利用对应线段成比例

【例1 】如图:S是平行四边形ABCD平面外一点,M、N分别是SA、BD上的点,且

AMBN=, SMND求证:MN∥平面SDC

分析:过M作ME//AD,过N作NF//AD 利用相似比易证MNFE是平行四边形

三、利用面面平行

【2016山东(理)】在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O′的直径,FB是圆台的一条母线.(I)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH∥平面ABC;

【解析】证明:(Ⅰ)取FC中点Q,连结GQ、QH, ∵G、H为EC、FB的中点,

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∴GQ又∵EF

,QH∥BO,∴GQ

, BO,

∴平面GQH∥平面ABC,

∵GH?面GQH,∴GH∥平面ABC.

【2014?北京理】如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.(1)求证:AB∥FG;

【解析】证明:在正方形AMDE中,因为B是AM的中点,所以AB∥DE. 又因为AB?平面PDE,所以AB∥平面PDE.

因为AB?平面ABF,且平面ABF∩平面PDE=FG, 所以AB∥FG. 【2015?山东理】——也可用中位线

如图,在三棱台DEF﹣ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点. (Ⅰ)求证:BD∥平面FGH;

【解析】(Ⅰ)证明:根据已知条件,BC=2EF,H为BC中点,EF∥BC;∴EF∥BH,且EF=BH; ∴四边形EFHB为平行四边形;∴BE∥HF,HF?平面FGH,BE?平面FGH;∴BE∥平面FGH; 同样,因为GH为△ABC中位线,∴GH∥AB;

又DE∥AB;∴DE∥GH;∴DE∥平面FGH,DE∩BE=E; ∴平面BDE∥平面FGH,BD?平面BDE;∴BD∥平面FGH; 19.(13分)(2015?安徽)如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F. (Ⅰ)证明:EF∥B1C;

(Ⅱ)求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值.

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(Ⅰ)证明:∵B1C=A1D且A1B1=CD, ∴四边形A1B1CD为平行四边形, ∴B1C∥A1D,

又∵B1C?平面A1EFD, ∴B1C∥平面A1EFD,

又∵平面A1EFD∩平面B1CD1=EF, ∴EF∥B1C;

【2013山东,理18】如图所示,在三棱锥P-ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.(1)求证:AB∥GH;

【解析】(1)证明:因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点, 所以EF∥AB,DC∥AB.所以EF∥DC.

又EF平面PCD,DC?平面PCD, 所以EF∥平面PCD.

又EF?平面EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH, 所以EF∥GH.

又EF∥AB,所以AB∥GH.

课题4:垂直常用方法讲解

一、 应用勾股定理

如果一个三角形的边长满足a【例1】如图1所示,点

2?b2?c2,则这个三角形是直角三角形,可以得到线线垂直的关系.

P是梯形ABCD所在平面外一点,PD?平面ABCD,AB∥CD,已知

BD?2AD?8,AB?45.设M是PC上的一点,求证:BD?平面PAD.

PMDCA

图1

B

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证明:∵PD?平面

ABCD,BD?平面ABCD∴BD?PD.

又∵BD?8,∴∠

AD?4,AB?45, ∴AD2?BD2?AB2,

ADB?90?,∴BD?AD

又∵PD?平面PAD,AD?PAD,PD?AD?D. ∴BD?平面PAD.

【2016新课标Ⅱ(理)】如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB?5,AC?6,点E,

F分别在AD,CD上,AE?CF?(I)证明:D?H?平面ABCD;

5,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D?EF的位置OD??10. 4

【解析】⑴证明:∵AE?CF?AECF5?, ∴, ∴EF∥AC. ADCD4∵四边形ABCD为菱形, ∴AC?BD, ∴EF?BD, ∴EF?DH, ∴EF?D?H. ∵AC?6, ∴AO?3;

又AB?5,AO?OB,∴OB?4, ∴OH?222AE?OD?1, ∴DH?D?H?3, AO∴OD??OH?D'H, ∴D'H?OH. 又∵OHIEF?H, ∴D'H?面ABCD.

【2013天津理17】(本小题满分13分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1⊥CE;

【解析】 (1)证明:因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1?平面A1B1C1D1, 所以CC1⊥B1C1.

经计算可得B1E=5,B1C1=2,EC1=3,

22从而B1E2=B1C1?EC1,

所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E,

又CC1,C1E?平面CC1E,CC1∩C1E=C1, 所以B1C1⊥平面CC1E,

又CE?平面CC1E,故B1C1⊥CE.

【2012课标理】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=(1)证明:DC1⊥BC;

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1AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD。 2C1B1A1D

【解析】(1) 设AC=1,则BC=1,A A1=2,CC1=2 DC=2,DC1=2 ∴DC2+DC12=CC12

∴DC1?DC。

又DC1⊥BD,DCBD?D,

所以DC1?平面BCD。

而BC?平面BCD,所以DC1?BC。

【2011大纲理】如图,四棱锥S﹣ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.(Ⅰ)证明:SD⊥平面SAB;

【解答】(Ⅰ)证明:在直角梯形ABCD中,∵AB∥CD,BC⊥CD,AB=BC=2,CD=1 ∴AD=

=

∵侧面SAB为等边三角形,AB=2 ∴SA=2

∵SD=1 ∴AD=SA+SD∴SD⊥SA 同理:SD⊥SB

∵SA∩SB=S,SA,SB?面SAB ∴SD⊥平面SAB

2

2

2

二、 应用等腰(等边)三角形三线合一

所谓三线合一是等腰三角形底边的中线同时是高和角分线,可以得到线线垂直,从而线面垂直

O所在平面,AB是O的直径,C是O的圆周上异于A、B的任意一点,且PA?AC,点E是线段PC的中点.求证:AE?平面PBC.

证明:∵PA?O所在平面,BC是O的弦,∴BC?PA.

又∵AB是O的直径,?ACB是直径所对的圆周角,∴BC?AC.

【例】如图2所示,已知PA垂直于 ∵PA ∴BCP E AC?A,PA?平面PAC,AC?平面PAC.

?平面PAC,AE?平面PAC,∴AE?BC. ∵PA?AC,点E是线段PC的中点.∴AE?PC. 图2 C ∵PCBC?C,PC?平面PBC,BC?平面PBC. ∴AE?平面PBC.

此题利用AE三线合一是解题的关键,在遇到线段的中点时,要注意向三角形的三线合一转化.同时应用了圆的直径所

对的圆周角是直角这个重要的结论.

A O B

【2016浙江(理)】——难

如图,在三棱台ABC﹣DEF中,已知平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3, (Ⅰ)求证:EF⊥平面ACFD;

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【解析】(I)证明:延长AD,BE,CF相交于点K,如图所示,∵平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°, ∴AC⊥平面BCK,∴BF⊥AC.

又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,∴△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK, ∴BF⊥平面ACFD.

【2015北京理】如图,在四棱锥A﹣EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.(Ⅰ)求证:AO⊥BE.

【解析】(Ⅰ)∵△AEF为等边三角形,O为EF的中点, ∴AO⊥EF,

∵平面AEF⊥平面EFCB,AO?平面AEF, ∴AO⊥平面EFCB ∴AO⊥BE. 【2015?重庆理】如题图,三棱锥P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,∠ACB=BC上的点,且CD=DE=

,CE=2EB=2.(Ⅰ)证明:DE⊥平面PCD

.D,E分别为线段AB,

【解析】(Ⅰ)证明:∵PC⊥平面ABC,DE?平面ABC,∴PC⊥DE, ∵CE=2,CD=DE=,∴△CDE为等腰直角三角形, ∴CD⊥DE,∵PC∩CD=C,

DE垂直于平面PCD内的两条相交直线,∴DE⊥平面PCD

【2013课标全国Ⅰ理18】(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明:AB⊥A1C;

【解析】证明:取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B. 因为CA=CB,所以OC⊥AB. 由于AB=AA1,∠BAA1=60°,

故△AA1B为等边三角形, 所以OA1⊥AB.

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本文来源:https://www.bwwdw.com/article/ango.html

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