2015年中级计量A中期作业题(1)

2014级中级计量经济学A中期练习题

中国金融研究中心 龙夕左 214020204181

1、分别从数理和经济的角度，简述对每一条古典假定的含义和作用的理解。

（1）零条件均值假定：E(u|X)?0, ui的条件均值为零。其作用是它可以保证估计量的无偏性。

（2）球形扰动假定：Var(u|X)??I，随机扰动项的方差-协方差矩阵为同方差且无自相关同时成立时的情况。其作用是保证参数估计的有效性。

（3）外生性假定：E(X?u)?0，即解释变量与扰动项不相关，表示随机扰动项中不包含有解释变量的任何信息。其作用是保证参数估计的一致性，这是最重要的也是最基本的假定，若违反了此假定参数估计也变得没有意义。

（4）满秩性条件：Rank(X?X)?k，含义是解释变量无共线性，作用是为了保证条件期望的唯一性，参数可求解。 （5）正态性条件：u2N(0,?2I)，含义是扰动项服从正态分布，主要与统计检验和推断

有关，作用是使得参数服从正态分布，从而对参数进行估计，但在大样本的条件下，根据中心极限定理这个条件是可以放宽的。

2、对线性回归模型Y?X??u，试用最小二乘法和极大似然法估计参数?和随机扰动项的方差?，并且说明和比较在满足古典假定的条件下，参数?与扰动项方差?的估计量的性质。

2

2

??(X?X)?1X?Y，随机扰动项方差σ2的估计量最小二乘法（OLS）估计的参数β估计量??2?e?e?；

n?k??(X?X)X?极大似然估计法（ML）估计的参数β估计量?Y，随机扰动项方差σ的估计量ML?12

?)?(Y?X??)。与OLS的?2的估计参数不一样，差别在分母上。在满足古?2?(Y?X?ML?MLML典假定的条件下，OLS对?的估计量是最佳线性无偏估计（BLUE）,对?的估计量是一致最小方差无偏估计（UMVUE）。具有线性特性、无偏性和有效性，线性估计量不仅比非线性估计量更为简单，计算更为方便，并且线性估计量比较容易确定其概率分布性质。

ML与OLS对?的估计量是一样的，对随机扰动项方差σ的估计量与OLS的估计参数不一样

2

1n2

是对σ的有偏估计，但是一致估计量。

3、说明在一般线性框架下，检验统计量F?2

(RSSR?RSSU)q的内在含义。

RSSU(n?k)在一般线性框架下，检验统计量F?(RSSR?RSSU)q的内在含义是对多元回归模型

RSSU(n?k)Y??1??2X2???kXk?u的统计检验，进行一般的线性假设（原假设），并拟合一个受约

束的回归，用受约束模型的残差平方和与无约束模型的残差平方和之差RSSR?RSSU的大小即可来推断原假设是否成立，即参数估计是否具有显著性。

4、简述LR、Wald、LM三大检验的基本原理和思路步骤； LR检验：

基本原理：常适用于线性约束的检验，需要估计有约束和无约束的对数似然值。对大样本来

?,??)?lnL(?,?)?说，统计量LR??2ln??2?lnL(??22??,??2)是无约束的?2(q)，L(?2最大似然值，L(?,?)是有约束条件的最大似然值。具体地，统计量LR如果很大，则应拒

绝原假设，或者说似然比检验的拒绝域为LR??12??(q)，其中?1??(q)为卡方分布的1??下侧分位数。

??2??(X?X)?1X??ML?思路步骤：?把?Y与?ML21?)?(Y?X??)代入似然函数得无(Y?X?MLMLn?,??2)；?检验假设Ho:R??r?0；?最大化lnL???(R??r)，约束的最大似然值L(???e，而?的带约束的极大似然可得约束条件下的?，此时的残差为Y?X??Y?X?**2

估计为??2?e*e*n2，最后计算约束条件下的最大似然值L(?,?)；④求得LR，并进行LR

检验。

Wald检验：

基本原理：适用于线性约束和非线性约束检验，只需估计无约束的模型。

思路步骤：Wald检验的一般公式可表述为：对于原假设H0:c(?)?0（?是未知参数），

?)'[Varc(??)]?1c(??)W?c(?LM检验：

?2(q)。如果的值大于卡方分布的上侧分位数，则拒绝原假设。

基本原理：适用于线性约束和非线性约束检验，只需估计有约束模型。对于大样本来说，

LM?nR22?2(q)，当nR2???(卡方分布的?上侧分位数)时，则拒绝原假设。

思路步骤：LM检验方法实际上是从一个较简单的模型开始，检验是否可以增加新变量，第一步就是对简单模型(变量较少)回归，得到残差e*。如果“真实”模型变量很多，则这些变量加入模型应对e*有影响。所以第二步e*对所有变量回归而得到的R的大小就将直接

222决定是否应该增加新变量，即约束R??r是否成立。如果R很大(nR???)，则说明新

2增变量对e*有显著影响，即真实模型应含较多变量，或者说对参数的约束(比如某些?i为

2220)不成立。如果R较小(nR???)，则说明新增变量对e*没有显著影响，真实模型就应

是变量较少的简单模型，即约束条件成立。

5、设定模型为

Y?X??u

其中E??uX???0， Var(u)?E(uu)???

模型的扰动项是非球型扰动。此时的普通最小二乘估计量有什么后果？通常用什么方法估计？White 或 Newey-West 修正的作用是什么？

模型的随机扰动项是非球型扰动时，OLS估计量具有下列特点：

1） OLS估计量是无偏且一致的

2） OLS估计量是非有效的。尽管模型的GLS估计量是一个最优的线性无偏估计量。但

是，如果仍然做OLS回归，只能得到线性无偏但非最小方差的估计量。

3） 传统的OLS估计量的标准差不正确，以这些标准差为依据建立起来的传统的t检验

也是无效的。

使用White 或 Newey-West估计。

White 或 Newey-West的修正作用在于：在OLS估计量在非球形扰动时，t值通常是被夸大的，而在White 或 Newey-West给出了估计量方差的真实改进。

在仅存在异方差的情况下White估计量以ei代替未知的?i，其中，ei是最初OLS估计的残差。且证明了

22'2?)??X?X??1X??2??X?X?X??1Var(???diag?e2,e2,??122,e2n?

是一个一致估计量。而且不需要对异方差形式作任何假定。此时，通常的t检验和F检验是

渐进有效的。而一般的假设检验也可以用Wald统计量来完成。Newey和West提出了更一般的估计量。在存在未知形式的异方差和自相关时仍然是一致的。

6、什么是内生性问题？它有什么后果？通常采用什么方法检验和修正？简述处理内生性的过程步骤。

内生性问题：外生性假定被违背，即内生性问题。

后果：由此产生的后果为最小二乘的估计量将是不一致的。

方法：通常采用Hausman检验方法来检验，采用工具变量法来修正、估计模型。 步骤：Hausman检验的具体步骤如下：第一，可能的内生变量

E?xjui??0，解释变量与扰动项相关，模型就会存在

y2对所有外生变量z回归，生

?；第二，将??加入原模型结构方程成残差序列，得到?的估计????ey1?z1?1??1y2???y2，

估计该结构方程；第三，如果?的t值很小，则接受原假设，表明t较大，则拒绝原假设，表明方法：工具变量法估计模型

是外生的；如果?的

?y2是内生的。

步骤：第一，需要找到一个可观测的工具变量z，且工具变量满足两个条件：1、z与误差项u不相关，

cov?z,u??0；2、z与内生变量

xk高度相关，或者说z与

xk存在偏相关（即

扣除其他外生变量的影响），即用工具变量z替代内生变量

xk??1??2x2???k?1xk?1??z??，有??0。第二，

xk估计原模型。

7、遗漏变量和无关变量选取的后果是什么？有哪些方法可以检验？ 遗漏变量的后果：

1）如果遗漏变量与解释变量相关，则OLS估计量是有偏且不一致的估计量；

2）如果遗漏变量与解释变量不相关，解释变量的估计量即便满足无偏性和一致性，但是截距项的估计也是有偏的；

3）解释变量方差的估计值与真实的方差有偏； 4）随机扰动项的方差的估计值也是有偏的；

5）与方差相关的检验，包括假设检验、区间估计等都容易导致错误的结论。遗漏变量设定误差的检验方法有多种，如DW检验、拉格朗日乘数（LM）检验、一般性检验（RESET）、豪斯曼（Hausman）检验等。 无关变量选取的后果：

1）参数的OLS估计量是无偏，且为一致性的； 2）随机扰动项的方差的估计仍为无偏估计；

3）通常的区间估计和假设检验程序依然有效；

4）解释变量的估计量将不是有效估计量。对于是否误选无关变量的检验，只要针对变量系数是否为零的假设，用t检验或F检验，对可能误选的无关变量系数作显著性检验即可。 1、误选无关变量的检验（t检验、F检验） ： 基本思想是对无关变量系数的显著性进行检验。

Yi??1??2X2i??3X3i???KXKi?ui i?1,2,?,n

1）t检验：检验Xk是否为无关变量，即检验 H0: ?k?0；H1：?k?0

?? t??k~t(n?k)

?)se(?k若

t?t?/2(n?k)，接受H0； 若t?t?/2(n?k)，拒接H0。

2）F检验是对模型的部分变量是否多余的检验。比如检验X2,X3是否为无关变量，即检验约束条件是否成立。

H0: ?2??3?0；H1：?j(j?2,3)不全为零

在H0成立的条件下，用F统计量对假设进行检验。

F?(RSS有约束?RSS无约束)/mRSS无约束/(n?k)~F(m,n?k)

其中，RSS表示残差平方和；m表示约束个数，n表示样本容量；k表示非约束模型中被估参数的个数。 若F?F?(m,n-k)，约束条件成立。若F?F?(m,n-k)，约束条件不成立。

2、相关解释变量遗漏的检验 1）残差图示法

残差图示法可以初步判断是否有相关变量的遗漏或函数形式的设定偏误。我们曾在考察模型是否存在异方差、自相关时用过该方法。许多情况下，异方差性、自相关性往往是由于模型设定时遗漏了重要的解释变量引起的。

对所设定的模型进行OLS回归，得到估计的残差序列et；做出et与时间t或某解释变量X的散点图，考察et是否有规律在变动，以判断是否遗漏了重要的解释变量或选取了错误的

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