第一章习题解答

习 题 一

1.写出下列随机试验的样本空间：

（1）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数. （2）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.

（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果. [解]（1）S??10,11,??; （2）S??(x,y)x2?y2?1?，

,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111?.其中0表示 （3）S??00,100,0100,0101次品，1表示正品.

2.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子，

 A=“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”  B=“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次，  A=“第一次出现正面.”

B=“至少有一次出现正面.”  C=“两次出现同一面.” [解] (1)???12,,3,4,5,6?,A??13,,?;

(2)

???(i,j)|i,j?1,2,?,6?,

A??(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(4,1),(6,1)?,B??(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)?; (3) ??{(正,反),(正，正),(反,正),(反，反)}，

A?{ (正，正), (正,反)},

B?{ (正，正), (正,反),(反,正)} C?{ (正，正), (反,反)}.

3.设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件： （1）A发生，B与C不发生. （2）A与B都发生，而C不发生. （3）A,B,C中至少有一个发生. （4）A,B,C都发生.

（5）A,B,C都不发生.

（6）A,B,C中不多于一个发生. （7）A,B,C中不多于两个发生. （8）A,B,C中至少有两个发生.

[解]（1） ABC （2） ABC （3）A∪B∪C （4）ABC

(5) ABC (6) AB?AC?BC

(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) ABC∪ABC∪ABC∪ABC= AB∪BC∪CA.

4.在某系的学生中任选一名学生.令事件A表示“被选出者是男生”；事件B表示“被选出者是三年级学生”；事件C表示“被选出者是运动员”.

（1）说出事件ABC的含义；

（2）什么时候有恒等式A?B?C?C； （3）什么时候关系式C?B正确； （4）什么时候等式A?B成立.

[解](1)该生是三年级男生但不是运动员;(2)当某系的运动员全是三年级男生时;(3)当某系除三年级外其它年级的学生都不是运动员时;(4)当某系三年级的学生都是女生,而其它年级都没有女生时.

5.盒中有10只晶体管. 令Ai表示“10只晶体管中恰有i只次品”， B表示“10只晶体管中不多于3只次品”， C表示“10只晶体管中次品不少于4只”.问事件Ai(i?0,1,2,3)，

B，C之间哪些有包含关系？哪些互不相容？哪些互逆？

B与C互不相容；B与C互 [解] Ai?B,i?0,1,2,3；A0,A1,A2,A3,C两两互不相容，

逆。

6. A,B是任意两个事件，化简下列式子

（1）?A?B?A?B???A?B??A?B?； （2）AB?AB?AB?AB?AB.

[解] （1）?； （2）AB.

7.若P(A)?0.5，P(AB)?0.2，P(B)?0.4，试求

（1）P(AB)；（2）P(A?B)；（3）P(A?B)；（4）P(AB). [解]（1）因为P(AB)?P(B?A)?P(B)?P(AB)，故

P(AB)?P(B)?P(AB)?0.4?0.2?0.2；

（2）P(A?B)?P(A)?P(AB)?1?P(A)?P(AB)?0.3； （3）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.7；

（4）P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?0.3.

8.观察某地区未来5天的天气情况，记Ai为事件“有i天不下雨”，已知

P(Ai)?iP(A0),i?1,2,3,4,5，求下列事件的概率.

(1) 5天均不下雨； （2）至少有一天不下雨； （3）至多三天不下雨.

[解]易知A0,A1,???,A5两两互不相容且A0?A1?????A5?S，所以

1?P?S??P?A0?A1?????A5??P?A0??P?A1????P?A5?

?P?A0??P?A0??2P?A0????5P?A0??16P?A0?

于是得P?A0??1/16，P(Ai)?i/16,i?1,2,3,4,5.

记（1），（2），（3）所表示的事件分别为A,B,C，则 （1）P?A??P?A0??1/16； （2）P?B??1?P?A0??15/16

（3）P?C??1?P?A4??P?A5??1?4/16?5/16?7/16. 9. 设A,B是两事件，且P(A)?0.6，P(B)?0.7，问

（1）在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？

[解]（1）A?B时，P(AB)取到最大值0.6 （2）P(A?B)?1时，P(AB)取到最小值0.3。

10.某城市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比. 答案: 0.3

11.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率

5332是多少？答案: p=C13C13C13C13/C1352

12.将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率. [解]设A,B,C分别表示杯子中球的最大个数分别为1,2,3的事件，则

P(A)?4?3?234?1?11?P(C)??； ；4384316319P(B)?1?P(A)?P(C)?1???.

8161613.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面4个数全不相同的概率（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2，?，9）.

[解]这是重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列问题.

444用10个数去排4个位置,有A10种排法,故所求概率为P?A10/10.

14.对一个五人学习小组考虑生日问题，求下列事件的概率：

（1）五个人的生日都在星期日； （2）五个人的生日都不在星期日；

（3）五个人的生日不都在星期日.

[解]（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故

1?1?P(A1)?5???

7?7?（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

565?6?P(A2)?5???

7?7??1?(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}, P(A3)?1?P(A1)?1???.

?7?15.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客.问一个定货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？

9[解]与次序无关,是组合问题.从17桶油漆中取9桶,有C17种取法. 由乘法原理,取4桶白漆、

432C10C4C3252. P??9C172431553桶黑漆和2桶红漆的取法为CCC4103423种,所以所求概率为

16.在1500个产品中有400个次品、1100个正品.任取200个.

（1）求恰有10个次品的概率； （2）求至少有2个次品的概率.

10190001199C400C1100C12100?C400C1100[解]（1）；（2）1?. 200200CC1500150017. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆

钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.问发生一个部件强度太弱的概率是多少？

[解]将部件从1到10编号，Ai表示“i号部件强度太弱”，故

P(Ai)?11?,i?1,2,?,10. 3C5019600因A1,A2,?,A10两两互不相容，因此10个部件中有一个部件强度太弱的概率是

P?P?A1?A2???A10??P?A1??P?A2????P?A10??101?.

19600196018. 从1至9这九个数中有放回地取3次,每次任取1个,求所取的三个数之积能被10整除的概率．

[解] 设“所取的3个数中含有数字5”为事件A1,

“所取的3个数字中含有偶数”为事件A2,

“所取的3个数之积能被10整除”为事件A,则A= A1 A2,故

P(A)?P(A1A2)?1?P(A1A2)?1?P(A1?A2)?1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)854?1?()3?()3?()3?0.214.99919.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

[解] 记9点为计算时刻的0时，以分钟为单位．设甲、乙两人到达指定地的时刻分别为

x、y，则样本空间S是0?x,y?60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于

x?y?30.如图阴影部分所示.

题19图

3021P?2?.

604 20.从（0，1）中随机地取两个数，求：

（1） 两个数之和小于

61的概率；（2） 两个数之积小于的概率. 54[解]设两数为x,y，则0?x,y?1.

144617 （1）x?y<，p1?1?255??0.68.

5125

1?1?111 (2)xy<，p2?1???1dx?1dy???ln2.

4 4x?4?42 21.设一个质点一定落在xoy面内由x轴、y轴及直线x?y?1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的可能性与这区域的面积成比例.计算这质点落在直线x?15的左边的概率. 答案: . 39

22.甲、乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车，又这段时间内有四班公共汽

,301:,45,2:00.如果他们约定（1）见车就乘；车，它们的开车时刻分别为1:151:（2）最多等一辆车.求甲、乙同乘一车的概率. 假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且

每人在1时到2时的任何时刻到达车站是等可能的.

答案: （1）

41105?； （2）? 16416823.已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,求PBA?B. 答案: 0.25.

24.某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任

取一件是一等品的概率.答案: 0.72

25.一批零件共100个，次品率为10%.每次从其中任取一个零件,取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率.答案:0.0083.

26.据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：

P{孩子得病}=0.6, P{母亲得病$|$孩子得病}=0.5，P{父亲得病$|$母亲及孩子得病}=0.4.求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率. 答案: 0.18.

27.假设n张体育彩票中只有一张“中奖”, n个人依次排队摸彩（不放回），试求

（1）已知前k?1(k?n)个人都未“中奖”，求第k个人“中奖”的概率； （2）求第k(k?n)个人摸彩时“中奖”的概率.

??11；（2）积事件的概率=.

nn?k?128.两台车床加工同样的零件。第一台加工后的废品率为0.03，第二台加工后的废品率为[解]（1）在缩小的样本空间考虑，

0.02.加工出来的零件放在一起，已知这批加工后的零件中由第一台车床加工的占

2，由第31二台车床加工的占.求从这批零件中任取一件得到合格品的概率.

3[解]A={任取一件是合格品}，Bi={取出的是第i一台加工的}，i?1,2，则由全概率公式

P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)?21?0.97??0.98?0.973 3329.第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一

盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球.求取到白球的概率. [解]A={ 从第二盒子取到白球}，B2={取出的两只都是红球}，B1={取出的两只都是白球}，

B3={取出的是一白一红}，则

P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)?P(B3)P(A|B3)?53 9930.有两箱同种类的零件.第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品.今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样.求（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第

二次取到的也是一等品的概率. [解]（1）0.4；（2）0.4856.

31.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ [解]

20. 2132.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品时，产品确是合格品的概率是多少.

[解] 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}

由贝叶斯公式得

P(AB)? ?P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.96?0.98?0.998

0.96?0.98?0.04?0.0533.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？

[解]设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故}，则由贝叶斯公式得

P(A|D)? ?P(AD)P(A)P(D|A)?

P(D)P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C)0.2?0.05?0.057.

0.2?0.05?0.5?0.15?0.3?0.334.张三欲与李四通话，李的机子为分机电话，假设张接通总机的概率为80%，李的分机占线的概率为10%，求张三与李四通话的概率.

[解] [解] A={张三与李四通话}，B={张接通了总机}，C={李的分机不占线}，则所求概率

P(A)?P(BC)?P(B)[1?P(C)]?0.8?(1?0.1)?0.72

35.加工某一零件需要经过四道工序，只要一道工序出次品，就认为该零件是次品.设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.

[解] 设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.

P(?Ai)?1?P(A1A2A3A4)

i?14 ?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

?1?0.98?0.97?0.95?0.97?0.124.

36.三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？ [解] 设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则

P(?Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)

i?13 ?1?423???0.6 53437.一工人看管三台机床，在一小时内甲乙丙三台机床需工人照看的概率分别是0.9，0.8和0.85，试求在一小时中

（1）没有一台机床需要照看的概率？（2）至少有一台机床不需要照看的概率？ （3）至多只有一台机床需要照看的概率？ [解] 令Ai表示第i台机器不需要照看，则 （1）P{没有一台需要照看}

?P{A1A2A3}?P{A1}P{A2}P{A3}?(1?0.9)?(1?0.8)?(1?0.85)?0.003；

（2）P{至少有一台不需要照看}

?P{A1?A2?A3}?1?P{A1}P{A2}P{A3}?1?0.9?0.8?0.85?0.388.

（3）P{至多只有一台机床需要照看}

?P{A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3}?0.059.

38.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求它是甲射中的概率.

[解] A={甲击中目标}，B={乙击中目标}，C={目标被击中}， 则所求概率

P(A|C)?P(AC)P(A)P(AB?AB)??P(C)P(C)P(AB?AB?AB)P(AB)?P(AB)??0.75P(AB)?P(AB)?P(AB).

39.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都

击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率.

[解] 设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3

由全概率公式，得

P(A)??P(A|Bi)P(Bi)

i?03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458.

* * * * *

40. 设A，B为随机事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小. [解]因为

)? P(A?BP(A)?P(B?)P(A BP(AB)?P(B)?P(AB)?P(B)

所以 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(B)?P(A).

41.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码.

（1）求最小号码为5的概率；（2）求最大号码为5的概率.

2C52C411[解]（1）3?；（2）3?.

C1012C102042.从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？

41111C5C2C2C2C28013[解] p?1??1?? 4C102102143.在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果

为ability的概率.

[解]

2?2?0.0000024. 7A1144.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号.求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率.若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ [解]（1）

191981141431??????0.3；（2）??????0.6. 10109109855454345.某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍为

“MAXAM”的概率.

[解] 字母脱落2个有5种：脱落MX，AX，MA，AA，MM，分别记为Ai，放回后仍为“MAXAM”

2记为B.脱落的总数C5?10，

P?A1??P?A2??241PA?PA?PA???????345，， 1010101P?B/Ai??,i?1,2,3，P?B/Ai??1,i?4,5

2由全概率公式

5P?B???P?Ai?P?B/Ai??i?13 546.设一个口袋中有6个球，令B1,B2,B3依次表示这6个球分别为4红，2白；3红，3白；2红，4白.设验前概率为P(B1)?球，求相应的验后概率. [解]P?A/B1??111,P(B2)?,P(B3)?.现从这口袋中任取一球，得到白263112PA/B?PA/B?????23，，， 3233由全概率公式P?A???P?Bi?P?A/Bi??i?117,所以后验概率为 36P?B1/A??P?B1?P?A/B1?6P?B2?P?A/B2?3?，P?B2/A???，

P?A?17P?A?17P?B3?P?A/B3?8P?B3/A???.

P?A?1747. 随机地向半圆0

2ax?x2 (a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率

1π212πa2.阴影部分面积为a?a， 242与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少？ [解]利用几何概率来求，图中半圆面积为故所求概率为

π212a?a2?1?1. p?4122ππa248. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学

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