函数与几何变换(3)
更新时间:2023-11-01 00:09:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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第三讲二次函数与几何图形
一、二次函数与角
1、已知抛物线y=ax+bx+c过点A(0,2). (1)若点(﹣
,0)也在该抛物线上,求a,b满足的关系式;
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(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;当0<x1<x2时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0.以原点O为心,OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B,C,且△ABC有一个内角为60°. ①求抛物线的解析式;
②若点P与点O关于点A对称,且O,M,N三点共线,求证:PA平分∠MPN.
二、二次函数与直角三角形
1、如图1,抛物线y=ax+bx+3交x轴于点A(﹣1,0)和点B(3,0). (1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)如图2,该抛物线与y轴交于点C,顶点为F,点D(2,3)在该抛物线上. ①求四边形ACFD的面积; ②点P是线段AB上的动点(点P不与点A、B重合),过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q,连接AQ、DQ,当△AQD是直角三角形时,求出所有满足条件的点Q的坐标.
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三、二次函数与等腰三角形
1、如图,已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴相交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,﹣3). (1)求这个二次函数的表达式;
(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH⊥x轴于点H,与BC交于点M,连接PC.
①求线段PM的最大值;
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时,求点P的坐标.
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2、.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示:抛物线经过点B。 (1)求点B的坐标; (2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由。
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四、二次函数与平行四边形及特殊平行四边形
1、如图,抛物线y=ax+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C. (1)求抛物线的解析式;
(2)过点A的直线交直线BC于点M.
①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标; ②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.
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2、.如图1,抛物线L:y=ax2+2(a﹣1)x﹣4(常数a>0)经过点A(﹣2,0)和点B(0,﹣4),与x轴的正半轴交于点E,过点B作BC⊥y轴,交L于点C,以OB,BC为边作矩形OBCD.
(1)当x=2时,L取得最低点,求L的解析式. (2)用含a的代数式分别表示点C和点E的坐标; (3)当S矩形OBCD=4时,求a的值.
(4)如图2,作射线AB,OC,当AB∥OC时,将矩形OBCD从点O沿射线OC方向平移,平移后对应的矩形记作O′B′C′D′,直接写出点A到直线BD′的最大距离.
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3、如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点A(1,0),
+bx+c的
且当x=0和x=5时所对应的函数值相等.一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣图象分别交于B,C两点,点B在第一象限. (1)求二次函数y=﹣
+bx+c的表达式;
(2)连接AB,求AB的长;
(3)连接AC,M是线段AC的中点,将点B绕点M旋转180°得到点N,连接AN,CN,判断四边形ABCN的形状,并证明你的结论.
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