2江苏省南通市2015届高三第二次调研测试数学试题

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南通市2015届高三第二次调研测试

数学试卷

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. ........1. 命题“?x?R,2x?0”的否定是“ ”.

2. 设1?i?a?bi(i为虚数单位,a,b?R),则ab的值为 .

1?i3. 设集合A??1, 0, 1, 3 ,B?x x2≥1,则A2I ← 1 While I < 7 S ← 2 I + 1 I ← I + 2 End While Print S (第4题)

????B? .

4. 执行如图所示的伪代码,则输出的结果为 .

5. 一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位:t/hm2) 如下:9.8,9.9,10.1,10,10.2,则该组数据的方差为 .

6. 若函数f(x)?2sin?x?π(??0)的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2,则实数?的值为 .

37. 在平面直角坐标系xOy中,若曲线y?lnx在x?e(e为自然对数的底数)处的切线与直线 ax?y?3?0垂直,则实数a的值为 .

8. 如图,在长方体ABCD?A1B1C1D1中,AB?3 cm,AD?2 cm,AA1?1 cm,则三棱锥B1?ABD1 的体积为 cm3.

9. 已知等差数列?an?的首项为4,公差为2,前n项和为Sn. 若Sk?ak?5?44(k?N),则k的值为 .

32???D1A1 A

不DB1C1

不C不B不(第8题)

不10.设f(x)?4x?mx?(m?3)x?n(m,n?R)是R上的单调增函数,则m的值为 . 11.在平行四边形ABCD中,AC?AD?AC?BD?3,则线段AC的长为 . 12.如图,在△ABC中,AB?3,AC?2,BC?4,点D在边BC上,

A

?BAD?45°,则tan?CAD的值为 .

lgzlgz13.设x,y,z均为大于1的实数,且z为x和y的等比中项,则的 ?4lgxlgy最小值为 .

B D

(第12题)

C

14.在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x?1)2?(y?6)2?25,圆C2:(x?17)2?(y?30)2?r2.

若圆C2上存在一点P,使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A,B,满足PA?2AB, 则半径r的取值范围是 .

- 1 -

二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演.......

算步骤.

15.(本小题满分14分)

如图,在四面体ABCD中,平面BAD?平面CAD,?BAD?90°.M,N,Q分别为棱AD,

BD,AC的中点.

(1)求证:CD//平面MNQ; (2)求证:平面MNQ?平面CAD.

16.(本小题满分14分)

体育测试成绩分为四个等级:优、良、中、不及格.某班50名学生参加测试的结果如下:

等级

人数

(1)从该班任意抽取1名学生,求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率; (2)测试成绩为“优”的3名男生记为a1,a2,a3,2名女生记为b1,b2.现从这5人中 任选2人参加学校的某项体育比赛. ① 写出所有等可能的基本事件; ② 求参赛学生中恰有1名女生的概率.

- 2 -

A M D N B

(第15题)

Q

C

优 5 良 19 中 23 不及格 3

17.(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy中,已知向量a?(1,0),b?(0,2).设向量x?a?(1?cos?)b, y??ka?1b,其中0???π.

sin? (1)若k?4,??π,求x?y的值;

6(2)若x//y,求实数k的最大值,并求取最大值时?的值.

18.(本小题满分16分)

2y2x如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆2?2?1 ( a?b?0 )的左顶点为A,右焦点为

abF(c,0).P( x0,y0 )为椭圆上一点,且PA?PF.

y P (1)若a?3,b?5,求x0的值; (2)若x0?0,求椭圆的离心率;

(3)求证:以F为圆心,FP为半径的圆与椭圆的右准线x?a相切.

c

- 3 -

(第18题)

2A O F x

19.(本小题满分16分)

设a?R,函数f(x)?xx?a?a. (1)若f(x)为奇函数,求a的值;

3],f(x)≥0恒成立,求a的取值范围; (2)若对任意的x?[2, (3)当a?4时,求函数y?f?f(x)?a?零点的个数.

20.(本小题满分16分)

设?an?是公差为d的等差数列,?bn?是公比为q(q?1)的等比数列.记cn?an?bn. (1)求证:数列?cn?1?cn?d?为等比数列; (2)已知数列?cn?的前4项分别为4,10,19,34. ① 求数列?an?和?bn?的通项公式;

② 是否存在元素均为正整数的集合A??n1,n2,?, nk?(k≥4,k?N?),使得数列 cn1,cn2,?,cnk为等差数列?证明你的结论.

- 4 -

南通市2015届高三第二次调研测试

数学Ⅱ(附加题)

A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)

如图,从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB,C为切点. 求证:AP?BC?AC?CP.

B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)

?2??a2?设??是矩阵M???的一个特征向量,求实数a的值. 332????C O B P

A (第21 - A题)

C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在极坐标系中,设直线??π与曲线?2?10?cos??4?0相交于A,B两点,求线段AB中点

3的极坐标.

D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)

设实数a,b,c满足a?2b?3c?4,求证:a2?b2?c2≥8.

7- 5 -

【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证.......明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)

如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(8,?4),P(2,t)(t?0)在抛物线y2?2px(p?0)上. (1)求p,t的值;

(2)过点P作PM垂直于x轴,M为垂足,直线AM与抛物线的另一交点为B,点C在直线 AM上.若PA,PB,PC的斜率分别为k1,k2,k3,且k1?k2?2k3,求点C的坐标.

(第22题)

y C O B M x P A

23.(本小题满分10分)

设A,B均为非空集合,且A

B??,A

3,?,n?(n≥3,n?N?).记A, B?? 1,2,B中元素的个数分别为a,b,所有满足“a?B,且b?A”的集合对(A,B)的个数为an. (1)求a3,a4的值; (2)求an.

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南通市2015届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议

一、填空题

1. ?x?R,2x≤0 2. 0 3. ??1 , 3? 4. 11 5. 0.02 6. π 7. ?e

28. 1 9. 7 10. 6 11. 二、解答题

15.证明:(1)因为M,Q分别为棱AD,AC的中点, 所以MQ//CD, ?? 2分 又CD?平面MNQ,MQ?平面MNQ, 故CD//平面MNQ. ?? 6分

(2)因为M,N分别为棱AD,BD的中点,所以MN//AB,

B

(第15题)

3 12. 8?15 13. 9 14. ?5 , 55?

87A M D N C

Q

又?BAD?90°,故MN?AD. ?? 8分 因为平面BAD?平面CAD,平面BAD平面CAD?AD, 且MN?平面ABD,

所以MN?平面ACD. ?? 11分

又MN?平面MNQ,

平面MNQ?平面CAD. ?? 14分

(注:若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN?平面ACD”,扣1分.)

16.解:(1)记“测试成绩为良或中”为事件A,“测试成绩为良”为事件A1,“测试成绩为中”

为事件A2,事件A1,A2是互斥的. ?? 2分 由已知,有P(A1)?19,P(A2)?23. ?? 4分

5050 因为当事件A1,A2之一发生时,事件A发生, 所以由互斥事件的概率公式,得

P(A)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?19?23?21. ?? 6分

505025

(2)① 有10个基本事件:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),

(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2). ?? 9分

- 7 -

② 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件B.在上述等可能的10个基本事件中,

事件B包含了(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2). 故所求的概率为P(B)?6?3.

105 答:(1)这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为21;

25 (2)参赛学生中恰有1名女生的概率为3. ??14分

5(注:不指明互斥事件扣1分;不记事件扣1分,不重复扣分;不答扣1分.事件B包含的6种基本事件不

枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分.)

17. 解:(1)(方法1)当k?4,??π时,x?1,2?3,y?(?4,4), ?? 2分

6 则x?y?1?(?4)?2?3?4?4?43. ?? 6分

(方法2)依题意,a?b?0, ?? 2分

?? 则x?y??a?1?3b????4a?2b???4a2?2?1?3b2

2?2????????? ??4?2?1?32????4?4?4 .3 ?? 6分

2?2cos??,y??k,2, (2)依题意,x??1,sin?? 因为x//y,

所以2??k(2?2cos?),

sin? 整理得,1?sin??cos??1?, ?? 9分

k 令f(?)?sin??cos??1?,

则f?(?)?cos??cos??1??sin?(?sin?)

?? ?2co2sc?o?s 1 ??2cos??1??cos??1?. ?? 11分

令f?(?)?0,得cos???1或cos??1,

2 又0???π,故??2π.

3 列表:

? f?(?) f(?) 2π? ?0,3? 2π 3- 8 - π? ?23π,0 极小值?33 ? ↗ ↘

故当??2π时,f(?)min??33,此时实数k取最大值?43. ?? 14分

349(注:第(2)小问中,得到x??1,) 2?2cos??,y??k,2,及k与?的等式,各1分.

sin?

18.解:(1)因为a?3,b?5,所以c2?a2?b2?4,即c?2, 由PA?PF得,

??y0y22??x0?x0?6, ?? 3分 ?0??1,即y0x0?3x0?222x0y0 又??1,

952 所以4x0?9x0?9?0,解得x0?3或x0??3(舍去) . ?? 5分

4 (2)当x0?0时,y02?b2, 由PA?PF得,

y0y0???1,即b2?ac,故a2?c2?ac, ?? 8分 a?c 所以e2?e?1?0,解得e?5?1(负值已舍). ?? 10分

222x02y02aa (3)依题意,椭圆右焦点到直线x?的距离为?c,且2?2?1,① ccab 由PA?PF得,

y0y22??x0?(c?a)x0?ca, ② ?0??1,即y0x0?ax0?c?a?b2?ac????0, 由①②得,(x0?a)?x0?2c???? 解得x0?? 所以PF?a?a2?ac?c2?c2或x0??a(舍去). ?? 13分

?x0?c?22?y0??x0?c?22?x0?(c?a)x0?ca?a?cx0

a22aa?ac?c???a2?c,

?a?c?acc22a 所以以F为圆心,FP为半径的圆与右准线x?相切. ?? 16分 c22 (注:第(2)小问中,得到椭圆右焦点到直线x?a的距离为a?c,得1分;直接使用焦半

cc 径公式扣1分.)

- 9 -

19.解:(1)若f(x)为奇函数,则f(?x)??f(x),

令x?0得,f(0)??f(0),即f(0)?0,

所以a?0,此时f(x)?xx为奇函数. ?? 4分

3],f(x)≥0恒成立,所以f(x)min≥0. (2)因为对任意的x?[2, 3],f(x)?xx?a?a≥0恒成立,所以a≤0; ?? 6分 当a≤0时,对任意的x?[2,2? x?a, ??x?ax?a, 当a?0时,易得f(x)??2在??, a?上是单调增函数,在?a, a?上

??2??2?? x≥a??x?ax?a,? 是单调减函数,在?a, ???上是单调增函数,

当0?a?2时,f(x)min?f(2)?2(2?a)?a≥0,解得a≤4,所以a≤4; 33 当2≤a≤3时,f(x)min?f(a)??a≥0,解得a≤0,所以a不存在;

当a?3时,f(x)min?min?f(2),f(3)?=min?2(a?2)?a,3(a?3)?a?≥0,解得a≥9,

2 所以a≥9;

2 综上得,a≤4或a≥9. ?? 10分

23(3)设F(x)?f?f(x)?a?, 令t?f(x)?a?xx?a

则y?f(t)?tt?a?a,a?4, 第一步,令f(t)?0?tt?a?a,

所以,当t?a时,t2?at?a?0,判别式??a(a?4)?0,

22 解得t1?a?a?4a,t2?a?a?4a;

22 当t≥a时,由f(t)?0得,即t(t?a)?a,

2a?a?4a; 解得t3?22aa 第二步,易得0?t1??t2?a?t3,且a?, 242a① 若xx?a?t1,其中0?t1?, 4 当x?a时,x2?ax?t1?0,记p(x)?x2?ax?t1,因为对称轴x?a?a,

2- 10 -

p(a)?t1?0,且?1?a2?4t1?0,所以方程t2?at?t1?0有2个不同的实根; 当x≥a时,x2?ax?t1?0,记q(x)?x2?ax?t1,因为对称轴x?a?a,

2 q(a)??t1?0,且?2?a2?4t1?0,所以方程x2?ax?t1?0有1个实根, 从而方程xx?a?t1有3个不同的实根;

2a② 若xx?a?t2,其中0?t2?, 4 由①知,方程xx?a?t2有3个不同的实根;

③ 若xx?a?t3,

当x?a时,x2?ax?t3?0,记r(x)?x2?ax?t3,因为对称轴x?a?a,

2 r(a)??t3?0,且?3?a2?4t3?0,所以方程x2?ax?t3?0有1个实根; 当x≤a时,x2?ax?t3?0,记s(x)?x2?ax?t3,因为对称轴x?a?a,

2 s(a)?t3?0,且?3?a2?4t3,

a2?4t3?0?a3?4a2?16?0, ?? 14分

记m(a)?a3?4a2?16,则m?(a)?a(3a?8)?0,

??)上增函数,且m(4)??16?0,m(5)?9?0, 故m(a)为(4,5), 所以m(a)?0有唯一解,不妨记为a0,且a0?(4, 若4?a?a0,即?3?0,方程x2?ax?t3?0有0个实根; 若a?a0,即?3?0,方程x2?ax?t3?0有1个实根; 若a?a0,即?3?0,方程x2?ax?t3?0有2个实根,

所以,当4?a?a0时,方程xx?a?t3有1个实根; 当a?a0时,方程xx?a?t3有2个实根; 当a?a0时,方程xx?a?t3有3个实根.

综上,当4?a?a0时,函数y?f?f(x)?a?的零点个数为7; 当a?a0时,函数y?f?f(x)?a?的零点个数为8;

当a?a0时,函数y?f?f(x)?a?的零点个数为9. ?? 16分

- 11 -

(注:第(1)小问中,求得a?0后不验证f(x)为奇函数,不扣分;第(2)小问中利用分离参数法参照参

考答案给分;第(3)小问中使用数形结合,但缺少代数过程的只给结果分.)

20.解:(1)证明:依题意,cn?1?cn?d??an?1?bn?1???an?bn??d

??an?1?an??d??bn?1?bn?

?bn(q?1)?0, ?? 3分 从而

cn?2?cn?1?dbn?1(q?1)??q,又c2?c1?d?b1(q?1)?0,

cn?1?cn?dbn(q?1) 所以?cn?1?cn?d?是首项为b1(q?1),公比为q的等比数列. ?? 5分

(2)① 法1:由(1)得,等比数列?cn?1?cn?d?的前3项为6?d,9?d,15?d, 则?9?d???6?d??15?d?,

解得d?3,从而q?2, ?? 7分 ?a?b?4, 且?11

a?3?2b?10, ?112 解得a1?1,b1?3,

所以an?3n?2,bn?3?2n?1. ?? 10分

?a1?b1?4,??a1?d?b1q?10, 法2:依题意,得? ?? 7分 2a?2d?bq?19,1?1?a?3d?bq3?34,?11?d?b1q?b1?6,? 消去a1,得?d?b1q2?b1q?9,

?32?d?b1q?b1q?15,2??b1q?2b1q?b1?3, 消去d,得?3 2bq?2bq?bq?6,??111 消去b1,得q?2,

从而可解得,a1?1,b1?3,d?3,

所以an?3n?2,bn?3?2n?1. ?? 10分 ② 假设存在满足题意的集合A,不妨设l,m,p,r?A(l?m?p?r),且cl,cm, cp,cr成等差数列, 则2cm?cp?cl,

因为cl?0,所以2cm?cp, ①

- 12 -

若p?m?1,则p≥m?2,

m?1m?1p?1 结合①得,2??(3m?2)?3?2???(3p?2)?3?2≥3(m?2)?2?3?2,

化简得,2m?m??8?0, ②

3 因为m≥2,m?N?,不难知2m?m?0,这与②矛盾, 所以只能p?m?1, 同理,r?p?1,

所以cm,cp,cr为数列?cn?的连续三项,从而2cm?1?cm?cm?2, 即2?am?1?bm?1??am?bm?am?2?bm?2,

故2bm?1?bm?bm?2,只能q?1,这与q?1矛盾,

所以假设不成立,从而不存在满足题意的集合A. ?? 16分

(注:第(2)小问②中,在正确解答①的基础上,写出结论“不存在”,就给1分.)

南通市2015届高三第二次调研测试

数学Ⅱ(附加题)

A.证明:因为PC为圆O的切线,

所以?PCA??CBP, ?? 3分 又?CPA??CPB,

故△CAP∽△BCP, ?? 7分 所以AC?AP,

BCPC 即AP?BC?AC?CP. ?? 10分

?2?B.解:设??是矩阵M属于特征值?的一个特征向量,

?3??a2??2? 则???3???32?????2??3?, ?? 5分 ??C O B P

A (第21 - A题)

?2a?6?2?,??=4, 故?解得? ?? 10分

12?3?, a?1. ??- 13 -

C. 解:(方法1)将直线??π化为普通方程得,y?3x,

3 将曲线?2?10?cos??4?0化为普通方程得,x2?y2?10x?4?0, ?? 4分

联立???y?3x,并消去y得,2x2?5x?2?0??x2?y2?10x?4?0,

解得x1?12,x2?2,

所以AB中点的横坐标为

x1?x22?54,纵坐标为523, 化为极坐标为?52, π3?. ? (方法2)联立直线l与曲线C的方程组????π3, ???2?10?cos??4?0, 消去?,得?2?5??4?0,

解得?1?1,?2?4, 所以线段AB中点的极坐标为

??1??22, π3?,即?52, π3?. (注:将线段AB中点的极坐标写成?52, π3?2kπ? (k?Z)的不扣分.

D.证明:由柯西不等式,得?a2?b2?c2??12?22?32?≥?a?2b?3c?2, 因为a?2b?3c?4,

故a2?b2?c2≥87, 当且仅当a1?b2?c3,即a?27,b?47,c?67时取“?”.

22.解:(1)将点A(8,?4)代入y2?2px,

得p?1, ?? 2分 将点P(2,t)代入y2?2x,得t??2,

因为t?0,所以t??2. ?? 4分

(2)依题意,M的坐标为(2,0), - 14 -

?? 8分

?? 10分

?? 2分 ?? 6分

?? 10分 ?? 6分 ?? 8分

?? 10分 y C B O M x P A (第22题)

直线AM的方程为y??2x?4,

33?y??2x?4,?33并解得B1, 联立?1, ?? 6分

22??y?2x?? 所以k1??1,k2??2,

3 代入k1?k2?2k3得,k3??7, ?? 8分

6 从而直线PC的方程为y??76x?13,

?y??2x?4 联立??33,并解得C??2,8?. ??y??76x?13 3

23.解:(1)当n?3时,A

B?{1,2,3},且A

B??,

若a?1,b?2,则1?B,2?A,共C01种;

若a?2,b?1,则2?B,1?A,共C11种,

所以a3?C011+ C1?2; 当n?4时,AB?{1,2,3,4},且AB??,

若a?1,b?3,则1?B,3?A,共C02种; 若a?2,b?2,则2?B,2?A,这与A

B??矛盾;

若a?3,b?1,则3?B,1?A,共C22种,

所以a4?C022+ C2?2. (2)当n为偶数时,AB?{1,2,3,?,n},且AB??,

若a?1,b?n?1,则1?B,n?1?A,共C0n?2(考虑A)种; 若a?2,b?n?2,则2?B,n?2?A,共C1n?2(考虑A)种; ??

若an

?n2?1,b?n2?1,则n2?1?B,n2

?1?A,共C2?2

n?2(考虑A)种;若a?n,b?n,则n222?B,n2?A,这与A

B??矛盾;

n若a?n22?1,b?n2?1,则n2?1?B,n2

?1?A,共Cn?2(考虑A)种; ??

- 15 -

?? 10分

?? 2分

?? 4分

?2 若a?n?1,b?1,则n?1?B,1?A,共(考虑A)Cnn?2种,

n?2

2n?2

所以an?C0n?2?C1n?2???C?Cn2n?2???Cn?2n?2?2n?2?Cn?12n?2; ?? 8分

1n?2n?2 当n为奇数时,同理得,an?C0, n?2?Cn?2???Cn?2?2n?1?n?22?2?Cn ?2,n为偶数, 综上得,an?? ?? 10分 n?2? n为奇数.?2,

- 16 -

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