二次函数初中数学中考题汇总

二次函数初中数学中考题汇总

三、解答题：（共x分）

（2011?岳阳市）26．(本题满分l0分)九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一应用——探究的过程：

(1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道(如图①)进行测量，测得一隧道的路面宽为10m．隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图．建立了如图②所示的直角坐标系．请你求出抛物线的解析式． (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全．问该隧道能否让最宽3m．最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车间的空隙)?

(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型塑．提出了以下两个问题，请予解答：

Ⅰ．如图③，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上．顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值。

Ⅱ．如图④，过原点作一条y?x的直线OM，交抛物线于点M．交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q。问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

y6.256.25QPO510xOy6.25DC5N10Myx

125

26、（1）y=－ x＋ x

42（2）当x=2或x=8时

125121412

（3）（Ⅰ）AB=2x-10 BC=y=－ x＋ x l=－ x＋9x－20=－ （x－9）＋

42222（Ⅱ）存在，这样的点有四个

125

∵P点在直线y=x上，设P（x,x），Q（x, － x＋ x）

42（A） 当∠P1Q1N=90°时，

125

Q点在OM的上方时，P1Q1=NQ1，P1Q1=－ x＋ x －x，NQ1=5-x

42125

Q点在OM的下方时，P2Q2=NQ2，P2Q2= x－（－ x＋ x），NQ1=x – 5

42125

∴ x－ x＋5=0 42

∴P1（5＋5 ，5＋5 ）、P2（5－5 ，5－5 ） （B） 当∠P3N Q3=90°时，过点Q3作Q3K⊥对称轴

当△NQ3K1为等腰直角三角形时，△NP3Q3为等腰直角三角形 125

Q点在OM的上方时，P3Q3=2Q3K1，P3Q3=－ x＋ x －x，Q3K1=5-x

42

A y C OA5B10xO D B x (第26题图) 125127

Q点在OM的下方时，P4Q4=2Q4K2，P4Q4= x－（－ x＋ x），Q4K2= x – 5∴ x－ x＋10=0∴P3（4，4）、P4（10，10）

4242

26．（2011·钦州）（本题满分12分）． 9 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C (0，4)，顶点为（1，）．

2

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有

点P的坐标．

（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，

连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．

9【答案】（1）∵抛物线的顶点为（1，）

2

9

∴设抛物线的函数关系式为y＝a ( x－1) 2＋ ………………2分

2∵抛物线与y轴交于点C (0，4)， 91

∴a (0－1) 2＋＝4解得a＝－

22

19

∴所求抛物线的函数关系式为y＝－( x－1) 2＋ ………………4分

22（2）解：P1 (1，17)，P2 (1，－17)， P3 (1，8)，P4 (1，

17

)， ………………8分 8

19

（3）解：令－( x－1) 2＋＝0，解得x1＝－2，x1＝4

22

19

∴抛物线y＝－( x－1) 2＋与x轴的交点为A (－2，0) C (4，0) ………………9分

22

过点F作FM⊥OB于点M，

MFEB∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝

OCABEB2

又∵OC＝4，AB＝6，∴MF＝×OC＝EB

AB3

2

设E点坐标为 (x，0)，则EB＝4－x，MF＝ (4－x) …………10

3

111121281

∴S＝S△BCE－S△BEF＝ EB·OC－ EB·MF＝ EB(OC－MF)＝ (4－x)[4－ (4－x)]＝－x2＋x＋＝－( x－1) 2＋3

2222333331

∵a＝－＜0，∴S有最大值

3

当x＝1时，S最大值＝3 此时点E的坐标为 (1，0) …………12分 （2011?徐州）28.（本题12分）如图，已知二次函数y?x2?bx?c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，

?2）顶点为C（1，。

（1）求此函数的关系式；

（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D。若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出嗲你P的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由。

y43D2E1APOBxA1O2B46810P2C(F)C28．解： （1）抛物线的顶点坐标公式可知： 34b－ =1,a=1,所以得b=－2 ; 2a4ac－b2

=－2,a=1,b=－2,求得c=－1； 4a

所以，此抛物线的解析式为y=x2－2x－1

或者：因为y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，－2）， 所以y=(x－1)2－2,即y= x2－2x－1.

(2)由于点A、点B是关于对称轴对称的两个点，点C是对称轴上的点，所以，AC=BC。

又，点D是点C关于x轴的对称点， 所以，AD=BD=AC=BC，

因此，四边形ACBD是菱形，直线PE把四边形ACBD分成两个面积相等的四边形，所以PE经过四边形ACBD的对称中心即（1，0），

所以设PE所在的直线解析式为：y=kx－1 将(1，0）代入直线PE的解析式解得：得k=1 所以， PE所在直线的解析式为：y=x－1

设E（x,x－1）,代入y= x2－2x－1，得x－1= x2－2x－1, 解得：x1=0,x2=3,

根据题意得，E（3，2）

（3）假设存在这样的点F，可设F（x，x2－2x－1），过点F作FG⊥y轴，垂足为点G， 在Rt △POM和Rt △FGP中，

因为∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°， 所以，∠OMP=∠FPG，

OMGP

又，∠POM=∠PGF，所以，△POM ∽△FGP，所以， = .

OPGF

又，OM=1，OP=1，所以，GP=GF，即－1－（x2－2x－1）=x,

解得x1=0,x2=1,根据题意得，F（1，－2）。以上各步均可逆，故点F（1，－2）即为所求。 11

S△PEF=S△MFP+S△MFE= × 2 × 1+ × 2 ×2=3.

22

23、（2011?黑河）已知：二次函数y=x+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式．

（2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积．

2

5注：二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣

2

．解答：解：（1）由已知条件得，

（2分）

2

2

解得b=﹣，c=﹣，∴此二次函数的解析式为y=x﹣x﹣；（1分）（2）∵x﹣x﹣=0， ∴x1=﹣1，x2=3，∴B（﹣1，0），C（3，0），∴BC=4，（1分） ∵E点在x轴下方，且△EBC面积最大，

∴E点是抛物线的顶点，其坐标为（1，﹣3），（1分） ∴△EBC的面积=×4×3=6．（1分）

（2011?乌兰察布市）24 . (本题16分）如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ，把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x轴、y轴分别交于C、D两点。 (1）求 m的值；

( 2 ）求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式；

( 3 ）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点 E ，使四边形 OECD 的面积S1 ，是四边形OACD 面积S的

24 . 解：（1）设之比例函数为y?k1x，反比例函数为y?

2?若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 3k， x

k9，∴k?9，∴反比例函数为y?， 3x

把A(3,3)代入，得3?k1?3，∴k1?1，∴正比例函数为y?x 3?∵B(6,m)在反比例函数上，∴m?93? 62（2）设直线BD的解析式为y?x?b，

)，∴∵直线BD过B(6，式为y?x?3239=6?b，∴b??∴直线BD的解析229， 2999

?)。 在y?x?中，令x?0，得y??，∴D(0，

222

在y?x?999 0)。 中，令y?0，得x?，∴C(，222设过 A、B、D 三点的抛物线的解析式为y?ax2?bx?c，得

9?c???2??9a?3b?c?3 ?3?36a?6b?c?2?解得：a??，b?4，c??129129∴抛物线的解析式为y??x?4x?。 222（3）假设存在E（x，y）满足条件，

199811927S?OCD????，S?OAC???3?

2228224129在y??x?4x?中，令y?0，解得x?4?7，∴E的坐标应满足4?7?x?4?7，y?0

2222811928127???y?(?) ∵S四边形OECD?S四边形OACD∴S?OCD?S?OCE?(S?OCD?S?OCA)∴

33822384112912解得：y?∴?x?4x??即x?8x?10?0∴x?4?6∵4?7?x?4?7 22221 ) ∴x?4?6∴E(4?6，2（2011?抚顺）26. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD＋∠CDA＝90°，且tan∠BAD＝2，AD在x轴上，点A的坐标(－1,0)，点B在y轴的正半轴上，BC＝OB.

(1)求过点A、B、C的抛物线的解析式； (2)动点E从点B(不包括点B)出发，沿BC运动到点C停止，在运动过程中，过点E作EF⊥AD于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠，得到四边形A1B1EF，点A、B的对应点分别是点A1、B1，设四边形A1B1EF与梯形ABCD重合部分的．．．．面积为S，F点的坐标是(x,0)．

①当点A1落在(1)中的抛物线上时，求S的值；

②在点E运动过程中，求S与x的函数关系式．

OB

26. (1)△ABO中∠AOB＝90°tanA＝＝2，

OA

∵ 点A坐标是(－1,0)，∴ OB＝2.∴ 点B的坐标是(0,2)． ∵ BC∥AD，BC＝OB， ∴ 点C的坐标是(2,2)．

设抛物线表达式为y＝ax2＋bx＋2，

??0＝a－b＋2，

∵ 点A(－1,0)和点C(2,2)在抛物线上，∴ ?∴ 解得

?2＝4a＋2b＋2.?

?

?4?b＝3.2a＝－，

3

24

∴ y＝－x2＋x＋2.

33

(2)①当点A1落在抛物线上，根据抛物线的轴对称性可得A1与点A关于对称轴对称， 由沿直线EF折叠，所以点E是BC中点， 重合部分面积就是梯形ABEF的面积．

1

∴ S＝S梯形ABEF＝(BE＋AF)×BO＝2x＋1.

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/am7.html