工程数学(06)解线性代数方程组的直接解法

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第三章 线性代数方程组的数值解法第一节 求解线性代数方程组的基本定理 第二节 高斯消元法及其计算机实现 第三节 用矩阵分解法求解线性方程组 第四节 误差分析和解的精度改进 第五节 大型稀疏方程组的迭代法 第六节 极小化方法n

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第一节 求解线性代数方程组的基本定理线性代数方程组的一般形式 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm 用矩阵形式表示为 Ax b Rm ( n 1) 其增广矩阵记为 A a11 a12 a1 n a a22 a2 n 21 A A, b am 1 am 2 amn

b1 b2 bm

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定理1 (线性代数方程组有解判别定理)线性方程组 ) Ax b有解的充分必要条件是：秩(A)=秩(A

定理2 线性方程组Ax b有解(即相容)时， ) r n, 则方程组Ax b存在唯一解。 (1)秩( A) 秩( A ) r n, 方程组Ax b有无穷多解。 (2)r ( A) r ( A 通解 原方程组一个特解 对应齐次方程组的基 础解系的线性组合。常见是m n,称为欠定方程组(方程数少于未知数) 此时，从Ax b的无穷多个解中需求出2 范数最小的解。 即求 x , 使 || x ||2 min || x ||2 ,x满足Ax b。工程数学

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)方程组Ax b无解(即不相容)。 r ( A) r ( A 常见是m n,称为超定方程组(又称矛盾方程组) 此时，向量b不在A的列空间R( A)之中，原方程组 无解，但可求出最小二乘意义下的解 x。 即求 x使 || b Ax ||2 2 min

MATLAB实现:

x=A\b

本章介绍求解n阶线性方程组的数值方法 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 工程数学

an1 x1 an 2 x2 ann xn bn

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数值求解方法有以下三条途径(三种框架)直接法：利用Gauss消元或矩阵分解，通过有限次运算

可求出精确解。迭代法：构造迭代格式，产生迭代序列，通过无限

次迭代过程求解。有限次截断得近似解。极小化方法：构造二次模函数，用迭代过程求二次 模函数的极小化问题，即变分法(经n

次运算，理论上得精确解)要求A对称正定(S.P.D)工程数学

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第二节 高斯消元法及其计算机实现求 解 Ax b A R n n Ux g

将 原 方 程 组 Ax b 化 为 同 解 的 上 三 角 方 组 程 Ux g

初 等 变 换 Ax b 同解 用增广矩阵表示为工程数学

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一、顺序高斯消元法 A(1) (1) a11 a12 (1) (1) a a 22 21 (1) (1) a n1 a n 2

b

b a b (1) (1) a nn bn U (1) (1) (1) a11 a12 a1n ( 2) ( 2) a 22 a 2 n (n) a nn a(1) 1n (1) 2n (1) 1 (1) 2

g

b ( n) bn b(1) 1 ( 2) 2工程数学

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例1 用Gauss消元法求解方程组 x1 2 x2 3 x3 6 2 x1 3 x2 4 x3 9 x 3x 2x 6 2 3 1解： 增 广 矩 阵 ：A(1)

1 [ A b] 2 1

2 3 3

3 4 2

6 9 6

n 3, a11 1 0 m 21 a 21 / a11 2 / 1 2 m 31 a 31 / a11 1 / 1 1 1 ,L Ax L b完成第一步消元, 得 : L1 = 2 1 1 1 1 1 工程数学

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A

( 2)

a22( 2) 1 0, m32 a32( 2) / a22( 2) 1 /( 1) 1 1 ,L L Ax L L b完成第二步消元, 得 L2 = 1 2 1 2 1 1 1

3 6 1 2 0 1 2 3 0 1 1 0

A

( 3)

x1 2 x 2 3 x 3 6 3 6 1 2 x 2 2 x 3 3 0 1 2 3 3 x 3 3 0 0 3 3

回代求得

x 3 3 / 3 1 x2 ( 3 2 x3 ) ( 3 2 1) 1 x1 6 2 x2 3 x3 6 2 1 3 1 1 故所求解为 x1 1, x2 1, x3 1

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消元法是解线性方程组的基本方法，具有计算简

单的优点，但有时由于主元过小，使得计算结果严重失真,实际中常采用选主元高斯消元法。

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例2:讨论下面方程组的解法0.0001x1+x2=1x1+x2=2 解:本题用机器数系表示为 假设求解是在四位浮点十进制数 的计算机上进行

0.1000 10-3 x1 + 0.1000 101 x2 = 0.1000 101 0.1000 101 x1 +0.1000 101 x2 = 0.2000 101 a11 =0.0001, m21=a21/a11=1/0.0001= 104, 消元得 0.1000 10-3 x1 + 0.1000 101 x2 = 0.1000 101 -0.1000 105 x2 = -0.1000 1054 0.1000 回代解得 x2=1 x10 严重失真 a22(2)= 0.1000 10,1 101 ! 1=0

(本题的准确解为 10000/9999, = 0.00001 105 x - 1= 0.1000 105 x2= (9998/9999 对阶计算) ) 主元a 过小 11

= - 0.1000 105

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二、选主元高斯消元法 选主元基本思想 用高斯消元法求解线性方程组时,为避免小的主元.在进 (k ) 行第k步消元前,应该在第k列元素 aik (i=k,…,n)中找出第 ( k ) , 再把第 一个出现的绝对值最大者,例如 ai( kk) max aik k i n (k ) ik

个方程与第k个方程组进行交换,使 a i k 成为主元.我们 称这个过程为选主元.由于只在第k列元素中选主元,通常 也称为按列选主元.k

k

如果在第k步消元前,在第k个方程到第n个方程所有 的xk到xn的系数 ( k )(i=k,…,n;j=k,…,n)中,找出绝对值 aij 最大者,例如工程数学

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(k ) ai(kkj)k max aij k i , j n

再交换第k,ik两个方程和第k,jk列,使 a

称这个过程为完全选主元.

(k ) ik jk 成为主元.

不论是哪种方式选出主元,而后再按上面介绍的计 算步 骤进行消元的计算,一般都称为选主元的高斯消元法.在

实际计算中,常用按列选主元的高斯消元法.工程数学

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现在我们再用列主元法解例20.0001x1+x2=1 x1+x2=2 将两个方程对调，得 x1+x2=2 0.0001x1+x2=1 消元，得

假设求解是在四 位浮点十进制数 的计算机上进行x1+x2=2

(1-0.0001) x2=1

在四位浮点十进制数的计算机上,上式为 x1+x2=2 即 x1+x2=2

(0.1000×101-0.00001 ×101x2=1 解得： x1=1, x2=1

x2=1

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例3 用列主元消去法解方程组-0.002x1+2x2+2x3 =0.4 x1+0.78125x2 =1.3816 3.996x1+5.5625x2+4x3=7.4178

解 第一次消元对-0.002 2 2 0.4 [A(1) |b(1) ]= 1 0.78125 0 1.3816 3.996 5.5625 4 7.4178

因列主元素为a31(1),故先作行交换E1 消元计算可得3.996 [A(2) |b(2) ] = 0 0

E3,然后进行

5.5625 4 7.4178 -0.61077 -1.0010 -0.47471 2.0029 2.0020 0.40371工程数学

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第二次消元对[A(2) |b(2) ],因列主元素为a32(2) ,故 先作行交换E2 E3,然后进行消元计算可得3.996 5.5625 4 [A(3) |b(3) ]= 0 2.0029 2.0020 0 0 -0.39050 7.4178 0.40371 -0.35160

由此回代,得x=(1.9272,-0.69841,0.90038)T 与精确解 x=(1.9273,-0.69850,0.90042)T相 比较是比较准确的.工程数学

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/am34.html