宝山区2014学年度质量管理考试数学试卷定稿

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宝山区2014年第一学期期末 高三年级数学质量监测试卷

(满分150分,其中学业水平考试卷120分,附加题30分,完卷时间130分钟)

2014.12

考试注意:

1.答卷前,考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚. 2.本试卷共有 32道试题,满分 150 分.考试时间 130分钟. 3.请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答.

一.(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,要求直接填写结果,每题填对3分,否则一律得 0 分.

1. 函数y?3tanx的周期是 .

2.计算

2413= .

3.计算limn??1?2?3?n210?n= .

4.二项式(x?1)展开式中,x 的系数为 .

85.设矩阵A???2?2??24??24?,,若BA?B??????,则x? .

?111x?1?2??????6.现有6位同学排成一排照相,其中甲、乙二人相邻的排法有 种. 7.若cos(???)??13,????2?,则sin?? . 228.若一个球的体积为43?,则它的表面积为__________. 9.若函数y?sin(2x??)(0????)是R上的偶函数,则?的值是 .

10.正四棱锥P?ABCD的所有棱长均相等,E是PC的中点,那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于 .

PEDABC11.直线x?2y?0被曲线x2?y2?6x?2y?15?0所截得的弦长等于 .

12.已知函数f(x)?Asin(?x??),(A?0,??0,0????)的部分图像如图所示, 则y?f(x)的解析式是f(x)? .

二.选择题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的.考生必须把正确结论的代码写在题后的括号内,选对得 3分,否则一律得 0 分.

13.已知点P(tan?,cos?)在第三象限,则角?的终边在( )

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 14.已知函数y?x?b,x?(0,??)是增函数,则 ( )

(A)??0,b是任意实数 (B)??0,b是任意实数 (C)b?0,?是任意实数 (D)b?0,?是任意实数 15.在?ABC中,若b?2asinB,则这个三角形中角A的值是( ) (A)30?或60? (B)45?或60? (C)60?或120? (D)30?或150? 16.若loga3?logb3?0,则( )

??a?b?1(B)?0b?a?1C(a)?b?1D(b)? a? (A)0x2y217.双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为( )

412(A)23 (B)2 (C)3 (D)1

18.用数学归纳法证明等式1?3?5?????(2n?1)?n2(n∈N*)的过程中,第二步假设n=k时等式成立,则当n=k+1时应得到( )

(A)1?3?5?????(2k?1)?k2 (B)1?3?5?????(2k?1)?(k?1)2 (C)1?3?5?????(2k?1)?(k?2)2 (D)1?3?5?????(2k?1)?(k?3)2 219.设z?1?i(i是虚数单位),则复数

z?z2对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20.圆x2?y2?4x?0在点P(1,3)处的切线方程为 ( ) (A)x?3y?2?0 (B)x?3y?4?0 (C)x?3y?4?0 (D)x?3y?2?0

21.“tanx??1”是“x???4?2k?(k?Z)”的( )

(A)充分非必要条件; (B)必要非充分条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件.

22. 在四边形ABCD中,AC?(1,2),BD?(?4,2),则四边形的面积为((A)5 (B)25 (C)5 (D)10

23.函数y?x2?1?1(x?0)的反函数是( )

(A)y?x2?2x(x?0) (B)y??x2?2x(x?0)

(C)y?x2?2x(x?2) (D)y??x2?2x(x?2)

24.曲线y2?|x|?1的部分图像是( )

(A) (B)

(C) (D)

三、解答题(本大题满分 48 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 25.(本题满分 8 分)

?|x?1|?3?解不等式组?2

?1??x?3

26.(本题满分 8 分)

如图,正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面边长AB?2, 若异面直线A1A与B1C所成角的大小为arctan1,求正四棱 2柱ABCD?A1B1C1D1的体积.

第26题

27.(本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分6分.

已知点F为抛物线C:y2?4x的焦点,点P是准线l上的动点,直线PF交抛物线C于

A,B两点,若点P的纵坐标为m(m?0),

点D为准线l与x轴的交点. (1)求直线PF的方程;

(2)求?DAB面积S的取值范围.

PyADOFxlB28.(本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分6分.

已知函数f(x)?x?a(x?R). 2x?2(1)写出函数y?f(x)的奇偶性;

(2)当x?0时,是否存实数a,使y?f(x)的图像在函数g(x)?求a的取值范围;若不存在,说明理由.

29.(本题满分 12 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分4分,第 3 小题满分5分.

已知抛物线x2?4y,过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点P又过点1,

2图像的下方,若存在,x11P1作斜率为的直线交抛物线于点P2,再过P2作斜率为的直线交抛物线于点P3,,如

241此继续。一般地,过点Pn作斜率为n的直线交抛物线于点Pn?1,设点Pn(xn,yn).

2(1)求x3?x1的值;

(2)令bn?x2n?1?x2n?1,求证:数列{bn}是等比数列;

?2y2?1?x? (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足? 4?y?kx?1?消去y并整理得(k2?4)x2?2kx?3?0,

故x1?x2??2k3. ????????????????5分 ,xx??1222k?4k?4由OA?OB,即x1x2?y1y2?0. ??????????????????6分 而y1y2?k2x1x2?k(x1?x2)?1,

33k22k2?4k2?1于是x1x2?y1y2??2. ???1?2k?4k2?4k2?4k?4所以k??1时,x1x2?y1y2?0,故OA?OB.?????????????8分 2当k??4112时,x1?x2?,x1x2??.

17217AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(1?k2)(x2?x1)2,

424?343?13而(x2?x1)?(x2?x1)?4x1x2?2?4?, ?217171722所以AB?465.???????????????????????10分 171n?1?3??3n?532. 证明:(1)因为??2,所以数列?an??是等比数列;??3分 1n5??an??3?5an?1??393n?(2)?an??是公比为-2,首项为a1??的等比数列.

5105??3n?3?3n9n?1通项公式为an???a1??(?2)??(?2)n?1, ???????4分

5?5?510若?an?中存在连续三项成等差数列,则必有2an?1?an?an?2,

3n?193n93n?29nn?1?(?2)]??(?2)??(?2)n?1 即2[510510510解得n?4,即a4,a5,a6成等差数列. ???????????????7分

3n?1?3?3n?3?n(3)如果an?1?an成立,即??a1??(?2)???a1??(?2)n?1对任意自然

5?5?5?5?数均成立.

化简得

4n3?3??(a1?)(?2)n ????????????????9分 155

343n?(), 5152当n为偶数时a1?因为p(n)?343n?()是递减数列,所以p(n)max?p(2)?0, 5152即a1?0; ???????????????????????10分 当n为奇数时,a1?343n343?(),因为q(n)??()n是递增数列, 51525152所以q(n)min?q(1)?1,即a1?1;???????????????11分 故a1的取值范围为(0,1). ???????????????????12分

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