11级高数2期末复习题强化版

高等数学2期末复习题一

一、 填空题：（共10小题，每小题2分，共20分） 1、limxy?1?1xy1yyx?0y?0?________。

2、积分?dy?0f(x,y)dx交换积分次序后，为___________。

3、若f(x?y,xy)?x2?xy?y2，则fx?(1,1)?______________。

4、在坐标面xoz上的抛物线z2?5x绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为 ___________。

?5、若级数?(un?nsinn?11n)收敛，则limun? n?? 。

6、 函数z?x3?y3?3xy的驻点是_____________。

7、某产品的需求量Q是价格p和消费者平均收入y的函数，即Q?Q(p,y)，且Q对

p、y的偏导都存在，则Q对y的偏弹性为________。

8、函数y?2x的麦克劳林公式中xn项的系数是_____________。

?9、若级数?un的部分和数列为sn?n?12n?1n，则un?_____________。

10、微分方程y''?2y'?15y?0的通解为y?_____________。 二、 单项选择：（共5小题，每小题2分，共10分）

1、设线性无关函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的解，则该方程的通解是 ( )。

(A) C1y1?C2y2?y3； (B) C1y1?C2y2?(C1?C2)y3； (C) C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3； (D) C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3。 2、设Ii???Die?(x?y)22dxdy,i?1,2，3, 其中: D1?{(x,y)|x?y?r},

222D2?{(x,y)|x?y22?2r}2, D3?{(x,y)||x|?r,|y|?r}则下列结论正确的是

1

( )。

(A) I1?I2?I3 (B) I2?I3?I1 (C) I1?I3?I2 (D) I3?I2?I1 3、下列级数条件收敛的是（ ）。

?(A)

?(?1)n?； (B)

?(?1)n? (C)

(?1)n? (D)

(?2)n。

n?1nn?12n； ?n?1n2； ?n?1n4、将ln(1?x)展开成幂级数是（ ）。（?1?x?1）

?n?1?(A)

?(?1)nx(B)?xn?(C)

nxn?xn?1n?0n?1； n?0n?1； ?(?1)n?0n?1； (D) ?n?0n?1。5、设z?f(u,v)连续可微，且u?x2,v?xy，则

?z?x?( )。

(A) 2xfu?(x2,xy)； (B) 2xfu?(x2,xy)?yf2v?(x,xy)； (C) f?(2x,y)； (D) f2u?(2x,xy)?fv?(x,y)。 三、 计算题（共7小题，每小题7分，共49分）

1、设z?yf(x)?xg(y)，其中f和g?2zyx具有二阶连续导数，求

?x?y。

2、计算二重积分?1sinx。

0dy?yyxdx

3、求微分方程?y2?1?ydx??2xy2?1?dy?0满足条件y?1??1的特解。

24、已知z?f(x,y)由方程ez?z?xy确定，求?z?z?x,?x2及全微分dz。

5、设f(x,y)在闭区域D?{(x,y)|x2?y2?y,x?0}上连续，且

f(x,y)?1?x2?y2?8???f(x,y)dxdy

D

2

求f (x , y)。

6、求幂级数?(2n?1)xn的收敛域，并求其和函数；

n?0?

7、设函数?(x)连续，且满足?(x)?e??t?(t)dt?x??(t)dt，求?(x)。

x00xx

四、应用题（共2小题，1题7分，2题8分，共15分）

1、求曲线y?lnx在区间（2，6）内一点，使该点的切线与直线x?2,x?6以及y?lnx所围成的平面图形面积最小。

2、设某工厂生产A和B两种产品，产量分别为x和y (单位：千件)，利润函数为

L(x,y)?6x?x?16y?4y?2(单位：万元)。已知生产这两种产品时，每千件产品

22均需消耗某种原料2000公斤，现有该原料10000公斤，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？最大总利润为多少？ 五、证明题（6分）

?2?证明当级数?un收敛时，级数?n?1n?1unn收敛。

高等数学2期末复习题二

一、填空题：（请将正确答案填在横线上。每小题2分，共20分）

1. 在坐标面xoz上的抛物线z2?5x绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为 .

2. 若f(x?y,x?y)?x2?y2?xy，则f(x,y)? . 3. 设二元函数f(x,y)?4x?y222ln(1?x?y)，则

lim(x,y)?(,0)21f(x,y)? .

3

y4. 已知f(x,y)?esinx?ln(x3?xy2)，则 fx(1,0)= .

5. 函数在点P0处偏导数存在且连续是它在该点全微分存在的 条件． 6. 设D??(x,y)|x2?y2?a2,a?0?，则当a? 时，有??a2?x2?y2dxdy??.

D7. 交换二次积分的次序?dy?01?y?1f(x,y)dx= .

8. 若级数?(un?nsinn?1?1n)收敛，则limun? n?? .

?9. 幂级数?n?1(?1)xnn的收敛域为 .

n?110. 微分方程y''?2y'?2y?0的通解为 .

二、选择题：（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内. 每小题2分，共10分）

1. 设非齐次线性微分方程y??P(x)y?Q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的通解是 ( ).

(A) y?C?y1(x)?y2(x)? (B) y?y1(x)?C?y1(x)?y2(x)? (C) y?C?y1(x)?y2(x)? (D) y?y1(x)?C?y1(x)?y2(x)? 2. 已知二元函数f(x,y) 在点(0, 0) 的某个邻域内连续，且

limf(x,y)?xy(x?y)222(x,y)?(0,0)?1，则下述四个选项中正确的是( ).

(A) 点(0, 0)不是f(x,y)的极值点 (B) 点(0, 0)是f(x,y)的极大值点 (C) 点(0, 0)是f(x,y)的极小值点 (D) 无法判定点(0, 0)是否为f(x,y)的极值点

3. 设z?f(x,y),且f(x,x2)?x3?1,fx?(x,x2)?x2?2x3，则fy?(x,x2)?( )．

(A) 0

(B) x4?2x6

(D) x?x

2(C) (x2?2x3)2

4

4. 设Ii???Die?(x?y)22dxdy,i?1,2，3, 其中: D1?{(x,y)|x?y?r},

222D2?{(x,y)|x?y22?2r}2, D3?{(x,y)||x|?r,|y|?r}则下列结论正确的是

( ).

(A) I1?I2?I3 (B) I2?I3?I1 (C) I1?I3?I2 (D) I3?I2?I1 5. 设un?(?1)nln(1???n2n1n), 则（ ）.

?n?2n(A)

?u与?u都收敛 (B) ?u与?u都发散

n?1n?1n?1n?1??n2n?n?2n (C)

?u发散, ?u收敛 (D) ?u收敛, 而?u发散

n?1n?1n?1n?1三、计算题：（每小题7分, 共56分）

?z?z1. 设z?arctan，求偏导数，2.

?x?x1?xyx?y2

2. 设f(x?y,y?z,z?x)?0且f2'?f3'?0，求方程所确定函数的全微分dz.

3. 求函数z?x2?xy?y3?x?3y的极值.

4. 计算二重积分??(xy?Dy)dxdy，其中D由y = x2，y =1所围成的平面区域.

5. 计算二重积分??Dxyx?y22dxdy,其中D: y ? x及1 ? x2 + y2 ? 2所围成的平面区域.

?6. 判断级数

?(?1)n?1n3n!nnn是绝对收敛还是条件收敛还是发散？

5

?7. 求级数?n?1x2n?12n?1的和函数.

8．求一阶常微分方程y??2xy?excosx的通解.

四、应用题：（本题8分）

某厂生产甲、乙两种型号的汽车，当日产量分别为x辆、y辆时，总成本函数

C(x,y)?x?xy?2212y2（万元），总收入函数为R(x,y)?4x?2y，且两种汽车日产

量共19辆。问各生产多少辆时，总利润最多？

五、证明题：（本题6分）：

设由方程F(yz,)?0确定隐函数z?f(x,y),其中F具有连续的一阶偏导数,证明：xx?z?x?y?z?y?z.

x (4分)

6

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