应用数理统计习题答案 西安交大 施雨

应用数理统计答案

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目录

第一章 数理统计的基本概念 .................................................................. 2 第二章 参数估计 .................................................................................... 14 第三章 假设检验 .................................................................................... 24 第四章 方差分析与正交试验设计 ........................................................ 29 第五章 回归分析 .................................................................................... 32 第六章 统计决策与贝叶斯推断 ............................................................ 35

对应书目：《应用数理统计》 施雨 著 西安交通大学出版社

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第一章 数理统计的基本概念

1.1 解：∵ X?N(?,?)

∴ X∴

2?N(?,n)

??2n(X??)?N(0,1)分布

n(X??)?∴P(X???1)?P(??n)?0.95

又∵ 查表可得u0.025?1.96 ∴ n?1.96?

1.2 解：(1) ∵ X?Exp(0.0015)

∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为：

22P(X??800)?1?P(X?800)

?1??0.0015e?0.0015xdx0800

?e?1.2?1.26?7.2 ∴ 6个元件都没失效的概率为：P?(e)?e

(2) ∵ X?Exp(0.0015)

∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为：

P(X??3000)??300000.0015e?0.0015xdx?4.5?1?e

?4.56 ∴ 6个元件没失效的概率为：P?(1?e)

1.4 解：

2

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?12?2P(x1,x2,.....xn)?

ne?i?1n(lnxi??)2n2n(2??)?xii?12

1.5证：?(x?a)??x?2nxa?na?

22iii?1i?1n??xi?2x?xi?2x?2nxa?na2i?1ni?12nn2??(xi?x)?n(x?a)i?12

a) 证：

1xn?1?(?xi?xn?1) n?1i?11?(nxn?xn?1)n?11?xn?(xn?1?xn)n?1n

3

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n12S2n?1?(x?x)n?1?in?1i?1112?[xi?xn?(xn?1?xn)]?n?1i?1n?1n2n?11n22?[(xi?xn?1)?(xi?xn)(xn?1?xn)?? n?1i?1n?1i?1n?12 ?(x?x)n]n?12(n?1)

1222?[nSn?(xn?1?xn)?(xn?1?xn)(nx?xn?1?(n?1)xn)n?1n?11 (xn?1?xn)2 ] n?1

1n2?[nSn?(xn?1?xn)2] n?1n?1n122?[Sn?(xn?1?xn)] n?1n?11.6证明 (1) ∵

2(X??)?(X?X?X??)?i?i2i?1i?1nnn??(Xi?X)?2(X??)?(Xi?X)?n(X??)2

2i?1ni?1n??(Xi?X)2?n(X??)2i?1

(2) ∵

4

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?? ???(a?1)?(b)?(a?b)??(a?b?1)?(b)?(a)?(a?1)?(a?b)?(a?b?1)?(a)a?(a)?(a?b) (a?b)?(a?b)?(a)aa?b2

B(a?2,b)E(X)?B(a,b)

?(a?2)?(b)?(a?b)???(a?b?2)?(b)?(a) a(a?1)?(a?b?1)(a?b) D(X)?E(X)?[E(X)] ?22a(a?1)a??(a?b?1)(a?b)a?bab

?(a?b?1)(a?b)21.19 解：∵ X?F(n,m)分布

P(Y?y)?P(

nnX(1?X)?y)mmy?P(X?n)m(1?y)y

??

n(1?y)m0m?(n?nnnn?n?2m?12)2()(x)(1?x)dxnm?(2)?(2)mmm10

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f(y)?P?(Y?y)m?(n?yny?n?2m1?12)2?n()(1?)m?(2)?(2)1?y1?y(1?y)2?yn?12(1?y)mB(n,22)m?12

∴ Y?nnmX(1?X)??(n,22)分布 mm1.20 解：∵ X?t(n)分布

P(Y?y)?P(X2?y)?P(?y?X?y)?2?y?(0x(1?)nnn??(2)n?12)2

?1?n2dxf(y)?P?(Y?y)y?n2?1?12?(1?)ynn??(n2)?1?(n2)1y?n2?1y?12?1()(1?)()n?(2)?(2)nnn?1?(n2)

n(1,分布) ∴ Y?X?F221.21 解: (1) ∵ X?N(8,4)分布

5(X?8)4?N(0,1) ∴ X?N(8,) 分布，即

252∴ 样本均值落在7.8?8.2分钟之间的概率为：

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P(7.8?X?8.2)?P(5(7.8?8)5(X?8)5(8.2?8)??)222

?0.383 (2) 样本均值落在7.5?8分钟之间的概率为：

P(7.5?X?8)?P(5(7.5?8)5(X?8)5(8?8)??)2225(X?8)?P(0??1.25)

2?0.3944

若取100个样品，样本均值落在7.5?8分钟之间的概率为：

10(7.8?8)10(X?8)10(8.2?8)P(7.8?X?8.2)?P(??)222?2*(0.8413?0.5) ?0.6826单个样品大于11分钟的概率为：P1?1?0.7734?0.2266 25个样品的均值大于9分钟的概率为P2?1?0.9798?0.0202 100个样品的均值大于8.6分钟的概率为P3?1?0.9987?0.0013 所以第一种情况更有可能发生

1.23 解：(1) ∵ X?N(0,?)分布 ∴ X?N(0,2?2n)分布

∴ (nX?)2??2(1)

n2222 ∵ a(?Xi)?anX?an?i?1(nX?)

2 ∴ a?1n?2

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同理 b?1 m?22X?N(0,?)分布 (2) ∵

∴

X2?22??2(1)分布

由?分布是可加性得：

c?Xii?1n?mn??i?1nXi22??2(n)

cn??m?n?mnXnX?cmnm?X2i2?n?mi?n?1i?n?1?Xi2i?n?1????X2i2?t(m) m

m ∴ c?

n (3) 由(2)可知

??i?1nXi22??2(n)

d?Xi?1n?mn2ii?n?1?X2in?dmi?1n?m??nXi222i2n?F(n,m)m

i?n?1??X

m∴ d?

n2X?N(?,?1.25 证明：∵ 11)分布

∴ (?1

Xi??1)2??2(1)

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∴ ?(i?1n2n1Xi??1?1?2n1)2??2(n1) )2??2(n2)

同理 ?(i?1Yi??2n2??1??F(n1,n2) Yi??2222n1?1?(Yi??2)()n2??2i?1i?1i?1n2i?1n222?(Xi??1)n12?(Xi??1)2n1第二章 参数估计

2.1 (1) ∵ X?Exp(?)分布

∴ E(X)?1?

??X 令 1?解得?的矩估计为: ??1X ?(2) ∵ X?U(a,b)分布

∴ E(X)?a?b 2(b?a)2 D(X)?

12???ba令 ?A1?X

2??a?)2?)2(a??b(b1n21n2 ??A2??Xi （?Xi?X2?S2）

ni?1124ni?1解得a和b的矩估计为:

??X?3S2a??X?3S2b

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(3) E(X)??0x??x??1dx?令

????1??A1?X

1???1

∴???X 1?X1(4) E(X)??0x? 令

k?X ??k X?k(k?1)!xk?1e??xdx?k?

?? ∴ ?

(5) 根据密度函数有

E(X)?1??a2?2a

?a2E(X2)??2?根据矩估计有

1??A1?X?a???22a222???a?A?S?X2?2???1S2

解得?和a的矩估计为:

???

??X?S2a(6) ∵ X?B(m,p) ∴ E(X)?mp

??A1?X 令 mp解得p的矩估计为:

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?? pX m2.3解：∵ X服从几何分布，其概率分布为：

P(X?k)?p(1?p)k?1

故p的似然函数为： L(p)?p(1?p)i?1 对数似然函数为：

n?xi?nn

lnL(p)?nlnp?(?xi?n)ln(1?p)

i?1nn?lnL(p)n1??(x?n)?0 令 ?i?ppi?11?p1?? ∴ pX2.4 解：由题知X应服从离散均匀分布，

?11?k?N? p(x?k)??N

? 其它?0

NE(X)?2?

?N?710 ?N?1420 矩估计： 令 2?11?710?N? 极大似然估计：?L(N)??N

? 其它?0 要使L(N)最大，则N?710

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?N?710 2.5 解：由题中等式知：

?

???1??()?0.025??????1(1?0.025)??????1.96??????1.96??X?1.96S2???

2.6 解：（1） ?R?2.14?2.09?0.05

?R ???d?0.4299?0.05?0.0215

5 （2）将所有数据分为三组如下所示： x3 x5 x1 x2 x4 2.14 2.10 2.11 2.10 2.15 2.14 2.15 2.12 2.10 2.13 2.14 2.11 2.12 2.10 2.15 1 2 3 x6 Ri 2.13 2.13 2.10 0.05 0.05 0.05 1?R?(0.05?0.05?0.05)?0.053?R ????0.3946?0.05?0.0197d6??x???1?1 ?f(x)??2.7 解：（1） 0 其它?1?E(X)????22? 1E(?)?E(X)?????2 ? ??X不是?的无偏估计，偏差为????

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?????1?12西安交通大学Minwell版

?11 （2） ?E(X?)?? ???X?是?的

22无偏估计

22MSE?D(?)?(E(?)??)?D(X)?(E(X)??) （3）

??

?11?? 12n4?2.8 证：由例2.24，令??a1x1?a2x2，则? 为?无偏估计应 满足

a1?a2?1

因此?1，?2，?3都是?的无偏估计

?D(?)??aiD(Xi)?D(X)(a1?a2)222i?1?2145?D(?1)?D(X)(?)?D(X)999?13D(?2)?D(X)25 ?1D(?3)?D(X)2?

?D(?3)?D(?2)?D(?1)???11 ??3?X1?X2最有效

22?2.9 证： ?X~p(?) ?E(X)?? D(X)??

2 ?X是E(X)??的无偏估计，S*是 D(X)??的无偏估计

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?E(?X?(1??)S)??E(X)?(1??)E(S) ?

*2*2????(1??)???

是?的无偏估计

?X?(1??)S*22.10 解：因为

E(?X?(1??)S?2)??E(X)?(1??)E(S?2)n?a??(1??)E(S2)n?1n ?a??(1??)E(S2)n?1nn?1?a??(1??)???n?1n所以 ?X?(1??)S?2是?的无偏估计量

2.15 解：因为??是?的有效估计量

??b)?aE(??)?b?a??b?u ?)?E(a?E(u??b)?a2D(??)?a2D(??) ?)?D(a?D(u1（其中,??1是?的任意无偏估计量中的一个）

?是u的有效估计量 所以 u2．26 解： 因为总体服从正态分布，所以

U?n(X??)??N（，01）

对于给定的1??，查标准正态分布表可得u?2，使得

P(U?u?2)?1??

即： P(X?SSu?2?p?X?u?2)?1?? nn 区间的长度d?2?nu?2?L，

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?21(lyy?blxx)?3.92 Qe?n?2 所以b的置信区间为（-0.2071，1.4071）

同理，

1x??(a?a)nlxxQe(n?2)?2~t(n?2)

a的置信区间为：(a?t?2(n?2)Qe(n?2) 代入各计算结果为（-0.3148，1.8748）

1x?) nlxx2第六章 统计决策与贝叶斯推断

6.4P的后验分布：20.8?C10(0.05)2(0.95)8?(0.05/x)??0.60652282280.8?C10(0.05)(0.95)?0.2?C10(0.1)(0.9)20.2?C10(0.1)2(0.9)8?(0.1/x)??0.39352282280.8?C10(0.05)(0.95)?0.2?C10(0.1)(0.9)

6.6?192111?***,??8???(?|x)??(?)*P(x|?)???4??????0,??8???192???k?7,??8?19所以?(?|x)???,又d??1,k?3*2?7??8??0,??8???3*219?,??8??所以?的后验分布为?(?|x)???7?.?0,??8???

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6.7顾客等待的时间T?exp(?), ??T(?,?)其中?的先验分布均值为0.2，标准差为1.0即 ?/??0.2,?/?2?1.0,得??0.04，?=0.2?i?1n?(?|x)??(?)?(x|?)????1???e*?en??xi??n???1??(??e?xi)i?1n??n???1e??(??nx)为?分布的核E?=(n+?)/(??nx)将??0.04，?=0.2，n=20,x?3.8代入得??0.2636.8由题意得p(x?)???xi(1??)in1?xi??nx(1??)n?nx??A(?x)??(?)p(x?)??nx?1(1??)7121003n?nx?Ax~?(nx?2,n?nx?1)??(712,291)??E(?x)??AA

n?nx??B(?x)??(?)p(x?)??nx?3(1??)714??B?E(?Bx)?10056.9由题意知x1?2,x2?4,且???(3,1)2得?0?3，?0?1?Bx~?(nx?4,n?nx?1)??(714,291)由例题6.2.5知a?(所以a?U?/2nx?2??0n1n1)/(?),b?1/(?), 22222?0??0??0121?3,b??0.25n?1n?1?1.96,置信区间为(2.02,3.98).

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误差E 总和T QE?7.6301 15 0.5087 QT?12.7397 17 F?(r?1,n?r)?F0.05(2,15)?3.68 F?3.68，所以拒绝原假设，认为不同速率对硅晶圆的刻蚀的均

匀性有显著影响

4.2 解：提出假设H0：这三组玻璃碎片的平均折射率无显著差异

计算结果如下表： 方差来源 平方和 因素A 误差E 总和T 自由度 均方和 3220.2335 90.9259 F值 35.4160 QA?6440.467 2 QE?2455 27 QT?8895.467 29 F?(r?1,n?r)?F0.05(2,27)?3.35 F?3.35，所以拒绝原假设，认为这三组玻璃碎片的平均折射率

有显著差异

4.3 解：提出假设H0：这三种净化器的行车里程之间无显著差异

方差来源 因素A 误差E 总和T 平方和 自由度 均方和 7.7228 1.2167 F值 6.3473 QA?15.4456 2 QE?8.5116 7 QT?23.9572 9 F?(r?1,n?r)?F0.05(2,7)?4.74 F?4.74，所以拒绝原假设，认为这三种净化器的行车里程之间

有显著差异

4.4 解：（1）提出假设 H0：抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值无显著差异

计算结果如下表： 方差来源 平方和

自由度 30

均方和 F值 西安交通大学Minwell版

因素A 误差E 总和T QA?1480.8228 4 QE?134.2322 15 QT?1615.0550 19 370.2057 8.9488 41.3693 F?(r?1,n?r)?F0.05(4,15)?3.06 F?3.06，所以拒绝原假设，认为抗生素与血浆蛋白质结合的百

分比的均值有显著差异

ni(Xi??i)~t(ni?1)， （2）总体X服从正态分布，所以*Si 因此?i的置信区间为：(Xi?Si*t?2(ni?1)ni) ni?4，

i=1，2,…5

t?2(ni?1)?t0.025(3)?3.1824 Si* ?i的置信区间(Xi?Si*t?2(ni?1)3.2177 3.1711 2.3838 1.8062 3.9230

(23.4800,33.7200) (26.3291,36.4209) (4.0318,11.6182) (16.2009,21.9491) (21.4510,34.1490) ni) (Xi?Xk)?(?i??k)~t(n?r)

11(?)QEnink (?i??k)的置信区间为：

((Xi?Xk)?t?2(n?r)(11?)QE) nink t?2(n?r)?t0.025(15)?2.1315

?1??3的置信区间为（16.2397，25.3103）?4??5的置信区间为

（-13.2603，-4.1897） 4.5 解：（1） 方差来源 离差平方和 自由均方离F值 31

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处置方案因子 区组因子 误差 总和 21.5556 0.8889 7.7778 30.2223 度 2 2 4 8 差 10.7778 0.4445 1.9445 5.5427 0.2286 （2）提出假设：H01：处置方案因子对实验无显著影响H02：区组因子对实验方案无显著影响

备择假设：H11：处置方案因子对实验有显著影响H12：区组因子对实验方案有显著影响

F0.05(2,4)?6.94，FA?6.94，FB?6.94，所以接受H01，接受H02，认

为处置方案因子和区组因子对实验都无显著影响。

第五章 回归分析

n2Q(b)?(y?bx)?ii 5.1 解：

i?1?Q(b)n??(yi?bxi)(?xi)?0 令：

?bi?1b? 解得：

??xyii?1nni?xii?12

5.2 解：X?6.6667 Y?15

?xi?1n2i?338

?xyii?1ni?79 932

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b???xyii?1nni?nxy?nx2?2.790?xi?12

i

a?y?bx??3.598

??5.4 解：

1）X?42.5 Y?18.6n ?x2i?20125

i?1?nxiyi?8365

i?1n??xiyi?nxyi?1

b?n?0.223?x2i?nx2

i?1?? a?y?bx?9.121

n （2）lxx??(xi?x)2?2062.5 i?1n lyy??(y2i?y)?104.46 i?1*2 ???1n?2(l?2yy?blxx)?0.2442

??*?0.4942 t?b???*lxx?20.4912

t?2(n?2)?t0.025(8)?2.3060

t?2.3060，所以拒绝原假设，认为线性回归显著33

（

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y0?y0 （3）

???*1(x?x)1??0nlxx?2~t(n?2)

y0的置信区间为：(y0?? ??*?*1(x0?x)21??t?2(n?2)) nlxx1(x0?x)21???0.5784

nlxx y0的置信区间为（17.3203，19.6566） 5.5 解：?b?b~N(0,1)

?lxx?

Qe??2~?2(n?2)

~t(n?2)

? ?lxx(b?b)Qe(n?2) b的置信区间为：(b?t?2(n?2)Qe(n?2)lxx)

b???xyii?1ni?1ni?nxy2?xi?nx2?0.6 a?y?bx?0.78

2?? lxx??(x?x)??x2ii?1i?1nn2i?nx?4

2 lyy??(y?y)??y2ii?1i?134

nni?ny?5.36

2

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