成人专升本高等数学一模拟试题之九答案

模拟试题九

一、选择题（每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填写在题后的括号中） 1．当x?0时，3x?2x是tan3x的 A：高阶无穷小 答案：D

B：低阶无穷小

C：同阶非等价无穷小

D：等价无穷小

232?x2?1?x?1在点x?1处连续，则：等于

2．设y??x?1a??a?xx?1A：?1

答案：C

B：0

C：1

D：2

3．设f(0)?0，且limx?0f(x)f(x)存在，则：lim等于

x?0xxB：f?(0)

C：f(0)

D：

A：f?(x) 答案：B

1f?(0) 24．曲线y?lnx?2在点(e,?1)的切线方程为 A：y?1x e

B：y?1x?1 e

C：y?1x?1 e

D：y?1x?2 e答案：D

5．设f?(x)在点x0的某邻域内存在，且f(x0)为f(x)的极大值，则：limh?0f(x0?2h)?f(x0)等于

h

D：?2

A：2 答案：C

3

B：1

C：0

6．设f(x)?x?x，则：A：0 答案：A 7．设f(x)?A：?1 答案：B

?2?2f(x)dx等于

C：

B：8

?20f(x)dx

D：2?20f(x)dx

???，则：sintdtf??等于 ?0?2?x

B：1

C：?cos1

D：1?cos1

8．设平面?1：x?2y?z?1?0与平面?2：2x?y?4z?3?0，则：两个平面的关系是 A：平行但不重合 答案：C

? B：重合 C：垂直 D：不平行不垂直

(?1)nk9．级数?（k?0） 3nn?1A：绝对收敛 答案：A

B：条件收敛 C：发散

D：收敛性与k有关

10．微分方程y???y??0的通解为 A：C1ex?C2e?x

B：C1ex?C2

C：C1?C2e?x

D：C1ex?C2x

答案：B

二、填空题（每小题4分，共40分） 11．lim解答：

1sinx2?x?2x

11limsinx2?sin4 x?2x212．设y?arcsinx2，则：dy?解答：

y??2x1?x4，所以：dy?2x1?x4dx

13．函数y?ln(1?x2)的单调增区间解答：

2x?0，解得：x?0，所以：当x?(0,??)时，该函数单调递增 1?x2xdx?14．? 24?xy??解答：

x1112dx??d(4?x)?ln|4?x2|?C 2?4?x2?24?x215．设F(x)?解答：

?ln(1?t)dt，则：F?(x)?0x

F?(x)?ln(1?x)

16．lim解答：

n?sinn?n??2n?cosn

sinnn?sinnn?1 lim?limn??2n?cosnn??cosn22?n??dx17．设?是收敛的，则：k的取值范围是

exlnkx1?解答： 因为：

???edx是收敛的， kxlnxbbdlnxdxdx111?kb?lim?lim?lim(lnx)|?lim[(lnb)1?k?1]存在 所以：?ekkk??exlnxb???exlnxb???elnx1?kb???1?kb???所以：k?1

??18．设平面?：2x?y?3z?2?0，则：过点(0,0,0)且与?垂直的直线方程为解答：

?因为直线与已知平面垂直，所以：直线的方向向量与平面的法向量平行，则：s?(2,1,?3)

因为：直线过点(0,0,0)，所以：直线方程是19．设z?tan(xy?x2)，则：解答：

xyz?? 2?1?3

?z??x?z?sec2(xy?x2)?(y?2x) ?x20．微分方程y???y?0的通解为解答：

2特征方程是r?1?0，解得特征根为：r??i

所以：微分方程的通解是y?C1cosx?C2sinx 三、解答题 21．（本题满分8分） 设y?3x?lnx，求：y? 解答：

1y??3xln3?

x22．（本题满分8分） 计算：

?x1?x2dx

解答：

?1111122222dx??dx??(1?x)?2?C??(1?x)?C 22221?x1?xx23．（本题满分8分）

22求：z?x?y在条件x?y?1下的条件极值

解答：

构造拉格郎日函数：F(x)?x?y??(x?y?1) 则：

221?z?z?z?2x??，?2y??,?x?y?1，令所有偏导数为零，解得：x?y?

2?x?y??所以：点(,)为其最小值点，且最小值是24．（本题满分8分） 求：y???2y??y?0的通解 解答：

11221 2特征方程是：r?2r?1?0，解得特征根是r1?r2?1 所以：微分方程的通解是y?(C1?C2x)ex 25．（本题满分8分） 计算：

2?e1xlnxdx

解答：

?e1121e1111eexlnxdx?xlnx|1??xdx?e2?x2|1?e2?

22124442222Dy?xy?0，其中区域由、、x?y?1围成的在第一象限内的区域 (1?x?y)dxdy??26．（本题满分10分） 计算：

D解答：

?22402??(1?x?y)dxdy??d??(1?r)rdr?D01?11? ?(r2?r4)|1??04241627．（本题满分10分） 在曲线y?sinx(0?x??2)上求一点M(x,y)，使图中阴影部分面积

S1、S2的面积之和S1?S2最小

解答：

xS1??(sinx?sint)dt?(tsinx?cost)|0?xsinx?cosx?1

0x?2x?2S2??(sint?sinx)dt?(cost?tsinx)|x?cosx??2sinx?xsinx

所以：S?S1?S2?2xsinx?2cosx?则：S??2sinx?2xcosx?2sinx?令S??0，即：2x??2sinx?1

?cosx?(2x?)cosx

22??2?0，解得：x??4或x?

?2

（舍）

S???2cosx?(2x?)sinx，计算：S??|??2?0，所以：x?为极小值点

x?244此时S1?S2最小，为

??2?2，即：点M坐标是(,) 242 28．（本题满分10分） 证明： 4x?1?解答：

dt?01?t3?0在区间(0,1)内有唯一的实数根

xxdt?01?t3，则：f(x)在区间(0,1)上是连续函数 xdtx1dt??dt?1，f(0)??1，f(1)?3???2 因为：0??01?t3001?t3令f(x)?4x?1?可知：函数f(x)在区间(0,1)的两个端点处函数值异号，根据闭区间上连续函数的零点定理，有： 至少存在一点使得f(x)?0

1?3?0，则：f(x)在区间(0,1)上单调递增，可知f(x)在区间(0,1)上至多有1?x3xdt?0在区间(0,1)内有唯一的实数根 一个零点，综上所述：4x?1??01?t3因为：f?(x)?4?

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